De Kettingfontein
Het heeft even geduurd, maar hier is dan een eenvoudige berekening die zowel de breedte als de hoogte van het boogje oplevert. Om het de lezer gemakkelijk te maken zal ik niet naar vorige berichtjes terugverwijzen, maar in dit bericht het bewijs van begin tot eind plaatsen. Gezien de voorgeschiedenis durf ik niet te beweren dat dit het laatste woord is. Kritiek blijft zoals altijd welkom.
Hieronder is de kettingfontein nog eens schematisch weergegeven:
- ketting 650 keer bekeken
We gebruiken de volgende symbolen:
l = de lengte van de ketting in beweging.
\( \lambda \)
= de lineaire massadichtheid van de ketting.
s = de lengte van één schakel (kraal met verbindingsstukje) van de ketting.
r = de straal van de kralen.
m = de massa van de kralen.
\( \alpha \)
= de fractie van r die de kralen in bakje A al omhoog zijn
geduwd voordat ze omhoog worden
getrokken.
a = de diameter van het ronde bakje A.
v = de stationaire snelheid van de ketting.
\( \tau \)
= de tijd waarin er verticaal in de bewegende ketting één schakel passeert.
g = de gravitatieversnelling.
\( \mbox{F}_A \)
= is de kracht waarmee de ketting uit bakje A wordt getrokken.
\( \mbox{F}_r \)
= is de reactiekracht waarmee de ketting uit bakje A wordt geduwd.
\( \mbox{F}_i \)
= de inslagkracht van de in bakje B neerkomende ketting.
(De afmetingen d, h, R en H spreken voor zich.)
We nemen aan dat de kralen die op het punt staan uit het bovenste bakje omhoog te worden getrokken door het stuiteren tegen de kralen waar zij overheen zijn gegleden gemiddeld al een fractie α van de straal van de kralen r omhoog zijn gekomen. De vertrekkende kralen krijgen vanuit het bakje A (op grond van de reactiekracht F
r) dus al een beginsnelheid en beginimpuls mee.
We berekenen eerst de krachten F
A , F
r en F
i .
\( \mbox{F}_A = \frac{\Delta p}{\tau} \)
\( \mbox{F}_A = \frac{\mbox{m}.v \, - \, \mbox{m}. \frac{\alpha . \mbox{r}}{\tau}}{\tau} \)
\( \mbox{F}_A = \frac{\mbox{m}}{\tau} . \left ( v \, - \, \frac{\alpha . \mbox{r}}{\tau} \right ) \)
\( \mbox{F}_A = \frac{\lambda . \mbox{s}}{\tau} . \left ( v \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} .\frac{ \mbox{s}}{\tau} \right ) \)
\( \mbox{F}_A = \lambda . v . \left ( v \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} . v \right ) \)
\( \mbox{F}_A = \left ( 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \right )\, . \, \lambda v^2 \)
.
\( \mbox{F}_r = \frac{p}{\tau} \)
\( \mbox{F}_r = \frac{\mbox{m} . \frac{ \alpha . \mbox{r} }{ \tau }}{\tau} \)
\( \mbox{F}_r = \frac{\lambda . \mbox{s} . \alpha . \mbox{r}}{\tau^2} \)
\( \mbox{F}_r = \frac{\lambda . \mbox{s}^2 . \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}}}{\tau^2} \)
\( \mbox{F}_r = \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \, . \, \lambda v^2 \)
.
\( \mbox{F}_i = \frac{\mbox{m} . v }{ \tau } \)
\( \mbox{F}_i = \frac{\mbox{s} . \lambda . v }{ \tau } \)
\( \mbox{F}_i = \lambda v^2 \)
.
Het bewegende deel van de ketting wordt in stationaire toestand gedragen door dat deel van de normaalkracht op bakje B dat de inslagkracht F
i compenseert en door de reactiekracht F
r in bakje A. Zodat:
\( l . \lambda . \mbox{g} \, = \, \mbox{F}_i \, + \, \mbox{F}_r \)
\( l . \lambda . \mbox{g} \, = \, \lambda v^2 \, + \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \, . \, \lambda v^2 \)
\( l . \mbox{g} \, = \, v^2 \, + \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \, . \, v^2 \)
\( l \, = \, \left (1 \, + \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \right ) . \frac{ v^2 }{ \mbox{g} } \,\,\,\,\, (1) \)
.
Op twee plaatsen in de kettingfontein wordt noemenswaardige energie opgestookt: in bakje A en in bakje B. In bakje A wordt het ene deel van de door F
A geleverde energie gestoken in het op snelheid brengen van de ketting, en het andere deel in warmteverliezen, geluid, trillingen in de ketting, etc. De energie die gedurende een tijdje
\( \tau \)
op de laatstgenoemde wijzen in bakje A "verloren gaat", noemen we E
A . In bakje B verliezen de daar aankomende schakels hun volledige kinetische energie. De energie die zo in bakje B gedurende een tijdje
\( \tau \)
wordt opgestookt noemen we E
B. De energie E
A + E
B is gelijk aan de hoeveelheid potentiële energie E
p die de schakels van de ketting gedurende een tijdje
\( \tau \)
kwijt raken. Dus:
\( \mbox{E}_A \, + \, \mbox{E}_B \, = \, \mbox{E}_p \)
\( \left ( \mbox{F}_A . \mbox{s} \, - \, \frac{1}{2} . \mbox{m} . v^2 \right ) \, + \, \frac{1}{2} . \mbox{m} . v^2 \, = \, d . \mbox{m} . \mbox{g} \)
\( \mbox{F}_A . \mbox{s} \, = \, d . \mbox{m} . \mbox{g} \)
\( \mbox{F}_A \, = \, d . \frac{\mbox{m}}{ \mbox{s} } . \mbox{g} \)
\( \mbox{F}_A \, = \, d . \lambda . \mbox{g} \)
\( \left ( 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \right )\, . \, \lambda v^2 \, = \, d . \lambda . \mbox{g} \)
\( \left ( 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} \right )\, . \, v^2 \, = \, d . \mbox{g} \)
\( \frac{v^2}{ \mbox{g} } \, = \, \frac{d}{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } \,\,\,\,\, (2) \)
.
Combinatie van formules (1) en (2) geeft:
\( l \, = \, \frac{ 1 \, + \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } \, . \, d \,\,\,\,\, (3) \)
.
Voor de lengte l van de ketting in beweging geldt:
\( l = d + 2.h + \pi . R \)
\( l = d + 2.h + 2.R + (\pi - 2). R \)
\( l = d + 2.(h + R) + (\pi - 2). R \)
\( l = d + 2.H + (\pi - 2). R \,\,\,\,\, (4) \)
.
Combinatie van formules (3) en (4) levert:
\( d + 2.H + (\pi - 2). R \, = \, \frac{ 1 \, + \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \)
\( d + 2.H + (\pi - 2). R \, = \, \frac{ 1 \, - \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} + \, 2. \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \)
\( d + 2.H + (\pi - 2). R \, = \, \left ( 1 \, + \, \frac{ 2. \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } \right ) . d \)
\( d + 2.H + (\pi - 2). R \, = \, d \, + \, \frac{ 2. \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \)
\( 2.H + (\pi - 2). R \, = \, \frac{ 2. \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \)
\( H + \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ) . R \, = \, \frac{ \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 \, - \, \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \)
\( H \,\, = \,\, \frac{ \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 - \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \,\,\, - \,\,\, \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ). R \,\,\,\,\, (5) \)
.
In stationaire toestand bevat de kettingfontein een zekere hoeveelheid horizontale impuls die niet meer wordt aangevuld; deze hoeveelheid impuls zal daarom langzaam aan weglekken. Het boogje zal dan smaller worden. Bij de normale wijze van opstarten is het boogje ook al zo smal mogelijk. Wanneer we aannemen dat de ketting neerwaarts
naast het bakje A ongeveer evenveel heen en weer zwabbert als bij het opwaartse vertrek
in het bakje A, dan zal de ketting wanneer R kleiner is dan de diameter a van bakje A geregeld tegen de buitenkant van bakje A aantikken. Daarbij wordt de horizontale impuls van de ketting dan weer wat aangevuld. De stationaire straal R van het boogje zal daarom gelijk aan de diameter a van het bakje A of net ietsjes groter zijn. We hebben dan:
\( R \,\, = \,\, \mbox{a} \,\,\,\,\, (6) \)
.
Combinatie van (5) en (6) geeft:
\( H \,\, = \,\, \frac{ \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} }{ 1 - \alpha . \frac{\mbox{r}}{\mbox{s}} } . d \,\,\,\,\, - \,\,\, \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ). \mbox{a} \,\,\,\,\, (7) \)
.
En dan is het nu verder aan anderen om na te pluizen of dit klopt....
)
