Projectielbeweging met luchtweerstand en wind weerstand

[rockinmath]

Een projectiel wordt afgevuurd met snelheid (V0cos(a),V0sin(a)) in een wind met snelheid (-V,0). De luchtweerstand is evenredig met het vectoriële verschil van de snelheid van het projectiel en de windsnelheid en tegengesteld gericht aan de beweging. Als de eindsnelheid van het projectiel 60 m/s bedraagt, V₀ = 30 m/s, a=30 graden and V = 3 m/s, bereken dan het horizontale schootsbereik van het projectiel. Bereken tevens hoe groot de windsnelheid moet zijn opdat het projectiel op zijn afvuurplaats terugkomt.

Diffvgln opgesteld en opgelost..........maar uitkomsten totaal afwijkend van wat ze

moeten zijn. Wie helpt me die diffvgln opstellen zodat ik ze kan vergelijken met de mijne.

Als ik afzie van de windweerstand zijn de diffvgln correct en kloppen alle uitkomsten.

[Flisk]

Toon eens wat je al hebt? Dan kunnen we op fouten wijzen.

[rockinmath]

Mijn berekeningen beslaan een pagina of 10 inclusief grafieken.

Hoe krijg ik dit uitvoerige Word-bestand HIER?

[rockinmath]

De ODE's zijn in componentvorm:

du/dt = -k(u+V) en dw/dt = -g-kw; u is de horizontale snelheid en w de verticale

u0 = V0cos(a) en w0 = V0sin(a); x(0)=y(0)=0.

Oplossen ervan is standaard! Helaas kloppen de antwoorden niet. De grafiek van x(t) bijv.

snijdt de x-as wederom na ongeveer 52 s.; de grootste x-waarde wordt bereikt na 11.3 s en bedraagt

100,9 m. Echter die grootste x-waarde zou ongeveer 58 m moeten bedragen.

Kennelijk zit de fout in de modellering van de windsnelheid ??????

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Hoe krijg ik dit uitvoerige Word-bestand HIER?

via deze handleiding , waarbij je je dan alleen wat aantrekt van het uploadgedeelte natuurlijk.

[rockinmath]

Totale bestand met mijn berekeningen en plaatjes gaat hierbij

[Flisk]

Ik zie wel wat foutjes.

Eerst en vooral hangt luchtweerstand (kracht) niet af van je massa.

Daarna, luchtweerstand is evenredig met snelheid kwadraat, niet met snelheid. (Behalve als het gaat over heel kleine objecten in een heel viskeus medium).

Je moet dus

\(mkv_y\)

bijvoorbeeld veranderen naar

\(kv_y^2\)

.

Dat is ook logisch, denk er eens over na, nu heeft je massa zogezegd geen invloed op de baan. Je deelt hem immers overal weg. In het geval zonder weerstand is dit correct. Maar je kan je ook wel voorstellen dat een zwaardere massa veel minder hard wordt afgeremd door het fluïdum. (luchtweerstand (kracht) bij éénzelfde snelheid is dezelfde, maar een zwaarder object zal minder vertragen, F=m.a).

[rockinmath]

In de oorspronkelijke opgave wordt over de massa van het projectiel niet gerept.

Die afhankelijkheid wordt verdisconteert in de evenredigheidsconstante. Dit heeft

men kennelijk gedaan met het oog op rekengemak.

De steller van de opgave heeft met een schuin oog gekeken naar het boek van

Hart en Croft "Modelling with projectiles" en naar dat van de Mestre

"Mathematics of projectiles in sport". Tot en met figuur 19.7 kloppen mijn berekeningen

volkomen met hun bevindingen. Waar het fout gaat is bij figuur 19.8. De z.g. drag force

is evenredig met het vectoriële verschil van de beginsnelheid en de windsnelheid.

De Mestre doet in een paar opmerkingen iets dergelijks en laat het daar vervolgens bij.

Bij hem is V de beginsnelheid en W de windsnelheid. Zijn drag force is tegengesteld

gericht aan V en groot k|W-V| (wx-vx, wy-vy) in vectoriële schrijfwijze; die k is in ons

geval gemakkelijk te bepalen want g/k = 60!! Alle belangrijke factoren betreffende het

projectiel en de dichtheid van de lucht heeft men in die k geveegd.

De differentiaalvergelijkingen die nu resulteren zijn precies degene die ik heb opgesteld.

Helaas kloppen de verkregen antwoorden niet met de resultaten!

De steller van de opgave meldt dat de maximale schootsafstand ongeveer 59 m moet bedragen en

dat die waarde verkregen is door de factor (1- exp(-kt)) in een Taylorreeks te ontwikkelen

waarbij er gerekend wordt tot en met t^3. Eventueel kan men Maple of Mathematica gebruiken

om de transcedente vergelijking op te lossen.

Een windsnelheid W van ongeveer 104 m/s zou het projectiel terugbrengen op zijn

afvuurpositie (zegt hij).

Via scholar.google.com met als zoekterm "projectile movement with air drag and wind"

heb ik een aantal artikelen gedownload. Qua opzet komen ze overeen met wat ik berekend

heb, alleen over het effect van kop- dan wel staart wind rept niemand expliciet.

Ze nemen het net als de Mestre op in de drag force, die dan tegengesteld gericht is

aan de snelheid van het projectiel. Een enkeling zegt dat het probleem simpeler is op

te lossen door z.g. intrinsieke coördinaten in te voeren. Men kijkt dan naar de

tangentiële resp. de normale versnelling.

(staat als opmerking in Timoshenko-Young, "Advanced Dynamics" en bij

Kooy en Uytenbogaardt, "Ballistics of the future").

Helaas blijft het bij die losse opmerkingen. Kennelijk is het probleem lastiger dan

gedacht.

[Flisk]

De z.g. drag force

is evenredig met het vectoriële verschil van de beginsnelheid en de windsnelheid.

Gaat het over kleine deeltjes in een vrij viskeus medium? Of grote projectielen in bvb normale lucht?

Bij dat eerste, klopt dit, anders is het boek dat je volgt fout. Bij grote projectielen is de drag force evenredig met snelheid kwadraat, niet met snelheid.

[rockinmath]

Tsja, daar rept het boek niet over. Bij voorgaande/nagaande opgaven wordt er altijd expliciet bij gezegd of het om een lineaire dan wel een kwadratische afhankelijheid van de snelheid gaat. Alleen HIER niet.

Mogelijk is dat een vergissing. Ik ga nu uit van uw suggestie en probeer een kwadratische afhankelijheid.

Kijken of dit wel het gewenste resultaat oplevert.

[pgbakker]

Er zit een foutje in de analyse van Exercise 19. Smith.doc.

Vanaf fig 19.8 begint de vergelijkingen opnieuw te tellen.

In vgl. 6 wordt de randvoorwaarde vx(0) verkeerd ingevuld. Hierdoor zijn de volgende uitdrukkingen voor vx(t) ook fout.

Zie je wat ik bedoel?

Gr. PGB

[rockinmath]

Verandering doorgevoerd, maar...............het effect is practisch nihil.

Feitelijk moet de grafiek van x(t) naar een grenswaarde tenderen; dat gebeurt echter niet.

Je vindt vrijwel dezelfde grafiek terug als in mijn eerdere berekeningen.

[pgbakker]

De juiste formule voor x(t) is:

x(t) = -Vt + (1-e^kt)(V0cosα +V)/k.

Heb jij deze formule ook?.

Zo ja differentieer naar t en zie of er een extreem is.

PGB

[pgbakker]

In postb12 heb je het over de grafiek x(t) waarvan je verwacht dat die moet tenderen naar een grenswaarde.

Bedoel je niet de grafiek van vx(t), die gaat inderdaad naar een limietwaarde voor t naar oneindig . De grafiek x(t) heeft daarentegen een extreem(maximum). Of bedoel je dat met grenswaarde?. Ik vond je opmerking in post 12 niet geheel duidelijk.

Gr. PGB

[rockinmath]

Die formule voor x(t) heb ik uiteraard ook.............maar die levert informatie

op die "nog slechter" is als mijn eerdere formule.

De bijhorende grafiek van x(t) klopt weliswaar met die van v(t) maar kan niet juist

zijn. De maximale range treedt op bij t = 13.9 s en bedraagt meer dan 100 m.

Daarna blaast de wind het projectiel weer terug naar zijn afvuurpositie; na ongeveer

59 s is het daar terug.

Dat strookt niet met de antwoorden van de steller van de opgave!! Pas bij een

windsnelheid van rond de 100 m/s zou dit het geval mogen zijn.

In één van mijn eerdere reacties vermelde ik het boek van de Mestre over projectielen

in de sport. Sommige van de Mestre's resulaten zijn afgeleid van een boek van Daish,

"Physics of ball games".

In zijn boek maakt de Mestre opmerkingen over de differentiaalvergelijkingen waarbij

zowel luchtweerstand als wind (hetzij kop-, staart- of dwarswind) optreedt.

Meer dan wat losse opmerkingen zijn het niet..........maar om toch uitspraken te

kunnen doen over de schootsafstand c.q. de vluchttijd maakt hij gebruik van iets

vereenvoudigde tabellen uit het boek van Daish.

Gisterenavond heb ik zijn voorbeeld over een voetbal doorgerekend met de gegevens uit

de opgave en wat blijkt? Die berekeningen leveren bijna de schootsafstand van 58,2 m op

waar ik naar op zoek was! Bij een onbekende kopwind V kun je terugrekenen om te zien

wanneer er een schootsafstand 0 wordt bereikt. En ja hoor, je vindt vrijwel 100 m.

Saillant detail is dat over die voetbal van alles bekend is zodat er een ballistische

coëfficient van ongeveer 0.2 berekend kan worden. In de opgave is de "terminal velocity"

60 m/s maar ook is dit gelijk aan g/k en die k wordt dan 0.16, afgerond 0.2

Ik durf de stelling wel aan dat de steller van de opgave die opgave NOOIT heeft door-

gerekend via het opstellen van de benodigde differentiaalvergelijkingen!

Zijn opgave is gebaseerd op een voorbeeld in het boek van Daish (uitgegeven in 1970);

in de eerste uitgave komt dit probleem (opgave 19) niet voor in de tweede uitgave

plotseling wel.

Vanmorgen heb ik een artikel gedownload van ene R. McCoy, geschreven in opdracht van

het Amerikaanse Ministerie van Defensie. Daarin wordt het effect besproken van wind-

effecten op een projectiel (granaat, raket?) en dan blijkt dat de betreffende

differentiaalvergelijkingen er afschrikwekkend uitzien. Integratie kan alleen nog numeriek!

Via 4orde Runge-***ta (zie ook Ballistics of the Future blz. 123-131)

Zelfs in een eenvoudig geval als opgave 19 is de klus aanzienlijk. In het betreffende

boek (een spin off van een cursus Mechanica voor de Britse Open Universiteit) is

nergens sprake van numerieke benaderingen m.b.v. een computer m.u.v. het voorwoord

in de 2de druk.