Maximale lengte lijnstuk

[dawdaw007]

Ik geef bijles wiskunde aan een leerling 4e middelbaar (in België) en er staat een "extra oefening" in de cursus die mij volkomen in het donker doet tasten. Ik weet wel dat jullie geen huiswerk helpen oplossen maar ik heb een hele tijd lopen zoeken en weet echt niet hoe ik de laatste stap moet oplossen. Een kleine tip is dus meer dan welkom!

Het gaat zo:

Gegeven:

y= x²- 4

y= x+2

a) duidt in een assenstelsel aan: A en B snijpunten beide figuren.

b) D is een willekeurig punt op lijnstuk AB en s is een rechte door D evenwijdig met de Y-as. C is het snijpunt tussen s en de parabool.

c) wat is de maximale lengte van het lijnstuk CD

Ik kom dus tot een figuur met A (-2,0) en B (3,5). Top vd parabool is (0,-4) en 0-punten -2 en 2.

Ik zou echt niet weten hoe ik dit lijnstuk maximaliseer gebruik makend van de theorie van vierkantsvergelijkingen (ze heeft nog niet meer gezien).

Elke tip is welkom! Het antwoord is trouwens 25/4.

[EvilBro]

Vergelijking voor de lengte opstellen en deze differentieren en gelijk stellen aan nul.

[dawdaw007]

Hmm moest ik een vergelijking hebben zou ik er wel uit geraken maar ik kom er niet. En differentiëren zit er niet in, moet puur op basis algebra van 2e graads functies zijn.

[Safe]

Differentiëren is niet nodig ...

[317070]

De vergelijking opstellen, en de formule voor de top van een parabool gebruiken.

[Safe]

Kan je de verg voor de lengte opstellen? Zo nee, kies x=q met -2<= q <=3. Bepaal y_r(q) van de rechte en y_p(q) van de parabool. Wat is dan de lengte die je zoekt ...

Je krijgt een kwadratische functie in q ... , waarvan je (eenvoudig) het max kan bepalen.

[Fuzzwood]

Hint: zolang X niet gelijk is aan de x-coordinaat van 1 der snijpunten, kan X een waarde aannemen voor de 2 vergelijkingen. De lengte van CD is het verschil tussen beide vergelijkingen.

[dawdaw007]

Hint: zolang X niet gelijk is aan de x-coordinaat van 1 der snijpunten, kan X een waarde aannemen voor de 2 vergelijkingen. De lengte van CD is het verschil tussen beide vergelijkingen.

Dit is inderdaad zo maar CD is "willekeurig gekozen" en ik kan dus niet zomaar 2 vgl aftrekken aangezien ik de specifieke lijn zoek die maximaal van lengte is.

Kan je de verg voor de lengte opstellen? Zo nee, kies x=q met -2<= q <=3. Bepaal y_r(q) van de rechte en y_p(q) van de parabool. Wat is dan de lengte die je zoekt ...

Je krijgt een kwadratische functie in q ... , waarvan je (eenvoudig) het max kan bepalen.

q is dan een parameter? Kan me niet herinneren dat ik ooit een "vergelijking voor de lengte" ben tegengekomen. Dit is dus wat ik mis...

[Safe]

Volg de aanwijzingen ...

De lengte van het lijnstuk is het verschil van de genoemde y-waarden ... , dat is immers ter plaatse van q.

Maak daarvoor een tekening!

De letter q dient alleen maar ter onderscheiding van de gegeven functies, en kan je evengoed vervangen door x (naar believen).

[dawdaw007]

Bedankt. Hoe dom van mij dat ik niet heb gedacht om de x-waarde gewoon in te vullen.

[Safe]

Ok, wat, en hoe, heb je gevonden ...

[dawdaw007]

Noem q de lengte van het lijnstuk, gelijk aan het verschil tussen Y rechte en Y parabool.

q = x +2 - x² +4

Top (dus x-coordinaat voor maximale lengte) = 1/2

Dit invullen in de vergelijking voor q geeft dan de maximale lengte van het lijnstuk. Dit bevindt zich op het punt x = 1/2 en heet dus lengte 25/4.

[EvilBro]

Heb je de top gevonden door te zeggen:

\(-x^2 + x + 6 = -(x^2 - x - 6) = -(x^2 - x - 6) = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 6)\)

\(= -((x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 6}{4}) = = -((x-\frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4})\)

?

[dawdaw007]

Niet echt, ik heb de top gevonden door:

X-coordinaat top: -b/2a voor Y=aX² + bX + c

Dit is dan de maximale x-waarde die het lijnstuk (zijnde het verschil tussen de twee figuren) kan aannemen.

Gezien dit verschil gedefinieerd werd als q = - x² + x + 6 en de top 1/2 is, moet de maximale waarde van q 25/4 zijn en is het probleem opgelost.

Niet?

[EvilBro]

Als je mag gebruiken dat de top op -b/2a zit dan werkt dat wel.