Is het aantal reëele getallen overaftelbaar zoals Cantor met zijn diagonalseer methode beweert?

[descheleschilder]

Stel dat je na de nul achter de komma alle Natuurlijke getallen plaatst, te beginnen met 1. Vervolgens een 2, 3 enz. Bij tien zet je een 0 en een 1 achter de komma, vervolgens 11, 21, 31, (het omgekeerde van 12, 13 ,14 enz.). Bij 20 zet je 02 achter de komma (20), 12, 22, 32 (het omgekeerde van 21, 22 en 23), en zo ga je door tot 0,99. Alle getallen staan onder elkaar. Dan komt er 001 (100) achter de komma, hetgeen zo doorgaat tot 0,999, waarna er 0,0001 (van achteren naar voren 1000). Zo kan je doorgaan tot alle Natuurlijke getallen achter komma een plaatsje krijgen. De Natuurlijke ge tallen gaan naar oneindig, maar alle Natuulijke getallen achter de komma hebben een plaatsje. Zo zal de decimale ontwikkeling van π of √13 of elk ander reëel (irationeel) in de lijst voorkomen. Alle Natuurlijke getallen worden achter de komma gebruikt.

Hoe kan het dan als je het recept van Cantor loslaat op deze zowel horizontaal als verticaal oneindige lijst er een getal tevoorschijn komt dat niet in de lijst staat. Alle Natuurlijke getallen zijn immers al in gebruik?

[EvilBro]

De Natuurlijke ge tallen gaan naar oneindig

Dit is een uitspraak zonder betekenis.

Zo zal de decimale ontwikkeling van π of √13 of elk ander reëel (irationeel) in de lijst voorkomen.

Nee. Elk natuurlijk getal heeft een eindig aantal cijfers in zijn representatie. Er staan dus alleen getallen in het lijstje met een eindig aantal cijfers ongelijk aan nul. Een getal als

\(\pi - 3\)

zal dus niet in het lijstje staan.

Hoe kan het dan als je het recept van Cantor loslaat op deze zowel horizontaal als verticaal oneindige lijst er een getal tevoorschijn komt dat niet in de lijst staat.

Jouw lijstje is bij voorbaat al incompleet. Je hebt het argument van Cantor niet nodig om aan te tonen dat het lijstje incompleet is. Het bewijs van Cantor laat echter zien dat het onmogelijk is om een lijst te hebben waarop alle reeele getallen staan (door middel van een bewijs uit het ongerijmde).

[descheleschilder]

Ik zie dat ik een fout gemaakt heb. Beschouw het interval [0,1]. De fout die ik maakte is dat ik de helft van de getallen (als je daarvan kan spreken als het om oneindigheden gaat) ben vergeten. Begin het interval te schrijven als 0,1 0,2, 0,3...0,9 0,10 0,11 0,12 etcetera, zonder einde. Het interval kun je ook opdelen op de volgende manier: 0,1 0,2 0,3... 0,9 0,01, 0,11 0,21 0,31 0,41 (11, 12, 13 en 14 van rechts naar links) etcetera (op deze manier genereer je getallen die met nullen achter de komma beginnen), zonder einde. Getallen als 0,11 0,22 0,66 0,111, 0,888888 komen zo dubbel voor en beschouwen we als één getal. Mijn (triviale) bewering is dat op deze manier álle reële tussen 0 en 1 getallen in het interval terecht komen, inclusief 0 en 1, en er op die manier een lijst te vinden is (oneindig wat betreft kolommen en oneindig wat betreft rijen), die hen ook allemaal bevat. Maar hoe kan een lijst die alle reële getallen (en dus alle Natuurlijke getallen) bevat d.m.v. de diagonaliseringsmethode van Cantor een Natuurlijk getal opleveren dat er nog niet instaat? Alle Natuurlijke getallen zijn immers al vertegenwoordigd. Reële getallen groter dan 1, zoals π (3+0,145...), kun je uit het interval verkrijgen door een Natuurlijk getal voor de komma met daarachter de decimale ontwikkeling.

[EvilBro]

De fout die ik maakte is dat ik de helft van de getallen (als je daarvan kan spreken als het om oneindigheden gaat) ben vergeten.

Dat is niet de fout die je maakt en je kunt niet zeggen dat er zoiets is als de helft van alle natuurlijke getallen (je kunt het wel zeggen, maar het is betekenisloos).

Begin het interval te schrijven als 0,1 0,2, 0,3...0,9 0,10 0,11 0,12 etcetera, zonder einde.

De fout die je maakt is dat je denkt dat "zonder einde" betekent dat er een getal in deze reeks zit dat een oneindige decimale representatie heeft. Dit is niet het geval. Er is geen natuurlijk getal met oneindig veel cijfers in zijn representatie. Dit is simpel in te zien met het volgende bewijs: Elk natuurlijk getal groter dan 1 heeft een voorganger. Stel dat er een natuurlijk getal is dat oneindig veel cijfers in zijn representatie heeft. Hieruit volgt dan dat er ook een natuurlijk getal is dat deze eigenschap heeft en kleiner is dan alle andere getallen met deze eigenschap. Dit zal dan het eerste oneindige natuurlijke getal zijn. Dit getal moet een voorganger hebben. Hoeveel cijfers zijn er nodig om deze voorganger weer te geven? Als je antwoord op deze vraag "oneindig" is dan gaat er iets mis, want dan was het getal niet het eerste getal met de oneindige eigenschap. Als je antwoord een eindig aantal is dan zeg je dat er een getal is met een eindig aantal cijfers waarbij je 1 op kan tellen om dan op oneindig veel cijfers te krijgen. Dit kan echter niet. Een opvolger heeft maximaal 1 extra cijfer in zijn representatie (als het getal uit enkel negens bestaat). In alle andere gevallen heeft het de opvolger evenveel cijfers. Er is dus geen kleinste natuurlijk getal met oneindig veel cijfers in zijn representatie.

Het interval kun je ook opdelen op de volgende manier: 0,1 0,2 0,3... 0,9 0,01, 0,11 0,21 0,31 0,41 (11, 12, 13 en 14 van rechts naar links) etcetera (op deze manier genereer je getallen die met nullen achter de komma beginnen), zonder einde.

Kun je mij een getal noemen dat wel in de eerste reeks zit, maar niet in de tweede? (Hint: alle getallen in de eerste reeks zitten in de tweede reeks).

Getallen als 0,11 0,22 0,66 0,111, 0,888888 komen zo dubbel voor en beschouwen we als één getal.

Alle getallen in de eerste reeks komen dubbel voor. De eerste reeks kun je dus net zo goed weglaten. Dit heeft echter geen enkele invloed. Net zomin heeft het invloed dat op de eerste lijst sowieso al getallen dubbel voorkomen (bijvoorbeeld 0.1, 0.10, 0.100, enz.). In de tweede reeks ontbreken oneindig veel getallen.

Mijn (triviale) bewering is dat op deze manier álle reële tussen 0 en 1 getallen in het interval terecht komen, inclusief 0 en 1, en er op die manier een lijst te vinden is (oneindig wat betreft kolommen en oneindig wat betreft rijen), die hen ook allemaal bevat.

En die (triviale) bewering is onjuist. Je mist alle getallen met een oneindige decimale representatie (getallen die dus niet eindigen in een oneindige reeks nullen). Jouw lijst bevat dus niet eens alle rationale getallen (laat staan alle reeele getallen).

[descheleschilder]

Maar als je nou eens het interval [0,1] beschouwt en op de volgende manier een lijst maakt: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 etc. Vervolgens 0,01 0,02 0,03 0,04 etc. Vervolgens 0,001 0,002 0,003 0,004 etc. heb je dan niet alle getallen tussen 0 en 1 een decimale representatie gegeven? Met andere woorden, is er dan nog wel plaats voor een getal in de lijst (al deze getallen onder elkaar) dat niet in de lijst staat. Of is de lijst overaftelbaar omdat 1 2 3 4 5 6 oneindig maal tevoorschijn komt (0,1 etc. 0,01 etc. 0,001 etc, etcetera)

[EvilBro]

Maar als je nou eens het interval [0,1] beschouwt en op de volgende manier een lijst maakt: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 etc. Vervolgens ...

Hoezo vervolgens? Op de hoeveelste plek staat volgens jou 0.01? (hint: je komt er nooit aan toe dat getal op de lijst te plaatsen) Bovendien los je het probleem niet op. Alle getallen die jij op de lijst zet hebben een eindig aantal cijfers ongelijk aan nul. Getallen als 1/3 staan dus nog steeds niet op de lijst.

Cantor's bewijs is een bewijs dat laat zien dat het niet mogelijk is om een lijst te maken ongeacht welke strategie je gebruikt. Elke poging die je doet laat enkel zien dat je dat punt niet begrepen hebt.

[Safe]

Beschrijf de strategie van Cantor eens ...

[Jeanmens]

Van ieder reeel getal is bekend of het groter of kleiner is dan een

ander reeel getal .

Dus zijn de reele getallen op volgorde van grootte te zetten(?)

Het is een hels karwei en je komt er nooit mee klaar.

Als het dan lukt het kleinste reeel getal te vinden,dan is dit nummer een.

Het op een na kleinste getal is dan nummer twee,enz enz

Op deze manier zijn de reele getaalen dus toch aftelbaar(?)

[Safe]

Op deze manier zijn de reele getaalen dus toch aftelbaar(?)

Bekend met Cantor ... ?

[Jeanmens]

In zijn diagonaalmethode begint Cantor met een willekeurig getal,wat op plaats een

achter de komma veranderd wordt.

Als alle reele getallen op volgorde van grootte worden gezet dan zijn de veranderingen van Cantor niet geoorloofd omdat het veranderde getal ergens anders staat.

[Safe]

Begin eens bij het begin ...

[Jeanmens]

Het eerste getal zou dan 0,00000000000-----------1 zijn .De 1 staat dan op de- oneindigste-plaatst achter de komma.

Het tweede getal is dan 0,00000000000-------------2 enz.

[317070]

Het eerste getal zou dan 0,00000000000-----------1 zijn .De 1 staat dan op de- oneindigste-plaatst achter de komma.

Het tweede getal is dan 0,00000000000-------------2 enz.

Wel, 0,00000----0001 met de 1 een plaats verder dan je eerste getal, komt niet in je rij voor.

[Drieske]

De 1 staat dan op de- oneindigste-plaatst achter de komma.

Dat is een nonsens-zin. De oneindigste plaats bestaat niet. Wat zou de op een na oneindigste plaats dan wel moeten zijn bijv.?

Verdiep je eerst wat in de materie en vertel dan je idee (of nog beter: heb ingezien dat je het verkeerd voorhad). Nu zijn het meer wat uitspraken in het luchtledige.

[Safe]

Het eerste getal zou dan 0,00000000000-----------1 zijn .De 1 staat dan op de- oneindigste-plaatst achter de komma.

Het tweede getal is dan 0,00000000000-------------2 enz.

Hoe begint Cantor met zijn redenering ... , heb je 'zijn' eerste getal 'gezien'?