Is het aantal reëele getallen overaftelbaar zoals Cantor met zijn diagonalseer methode beweert?

[Bartjes]

Het eerste getal zou dan 0,00000000000-----------1 zijn .De 1 staat dan op de- oneindigste-plaatst achter de komma.

Het tweede getal is dan 0,00000000000-------------2 enz.

Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/A._H._Ligh ... hyperreals

Maar let wel - dat zijn geen reële getallen!

[descheleschilder]

Ik wou reageren op Evilbro die gisteren om 14:33 stelde dat 1/3 niet in de lijst voorkomt. Maar wat is 0,3333 etc. dan?

[descheleschilder]

De rij getallen 0,1 0,2 0,3 0,4 etc. is bijectief met de verzameling Natuurlijke getallen. Dat geldt ook voor de rijen 0,01 0,02 0,03 0,04 etc, de rijen 0,001 0,002 0,003 0,004 etc. Etcetera. Al die getallen tussen 0 en 1 zijn echter niet bijectief met de verzameling Natuurlijke getallen. Ze zijn injectief met betrekking tot de3 Natuurlijke getallen hetgeen maakt dat de getallen tussen 0 en 1 overaftelbaar zijn.

[EvilBro]

Ik wou reageren op Evilbro die gisteren om 14:33 stelde dat 1/3 niet in de lijst voorkomt. Maar wat is 0,3333 etc. dan?

Dat is een getal dat niet voorkomt op jouw lijst. Om het getal 1/3 te maken heb je met jouw strategie een natuurlijk getal nodig dat uit een oneindig aantal drieen bestaat. Dat natuurlijke getal bestaat niet.

Al die getallen tussen 0 en 1 zijn echter niet bijectief met de verzameling Natuurlijke getallen.

Als je met "al die getallen" de getallen 0.1, 0.2, .., 0.01, enz. bedoelt dan is dit onjuist. Al die getallen vormen een bijectie met de verzameling van de natuurlijke getallen.

Ze zijn injectief met betrekking tot de3 Natuurlijke getallen hetgeen maakt dat de getallen tussen 0 en 1 overaftelbaar zijn.

Deze conclusie volgt niet uit het gestelde. Kijk maar wat er gebeurt als je hetzelfde beweert in het volgende geval: "De verzameling van alle even natuurlijke getallen is injectief op de natuurlijke getallen hetgeen maakt dat de verzameling van alle even natuurlijke getallen overaftelbaar is". Dit is hopelijk overduidelijk niet juist.

[descheleschilder]

0,333 enz. komt wel voor op de lijst. Als je het aantal drieën naar oneindig laat gaan verkrijg je 1/3.

Er is een bijectie tussen 0,1 0,2 0,3 0,4...0,15 0,16 0,17...0,600 0,601 0,602 0,603...0,998 0,999 0,1000 (hetzelfde als 0,1, maar even voor de duidelijkheid) 0,1001 0,1002...0,10000(weer hetzelfde als 0,1) 0,10001 0,10002 etc, tot in het oneindige. Ditzelfde doe je vanaf 0,01 (dus niet tot 0,99), hetgeen oneindig veel getallen oplevert. Twee keer zoveel zelfs als de Natuurlijke getallen. Er is geen bijectie tussen deze twee verzamelingen en de Natuurlijke getallen, net zoals er geen bijectie is tussen de getallen 1 t/m 100 en 1 t/m 200. Voeg je 0,001 etc. (naar oneindig), 0,0001 etc. (naar oneindig, dan zijn er oneindig maal zoveel getallen als oneindig (dat heeft nu juist met die kardinaliteit te maken. Je zou denken 2xoneindig =oneindig, hetgeen ook zo is, maar toch is er een verschil in het aantal elementen)

[EvilBro]

0,333 enz. komt wel voor op de lijst.

Niet met de door jouw gesuggereerde strategie vanwege al gegeven redenen.

Er is een bijectie tussen 0,1 0,2 0,3 0,4...0,15 0,16 0,17...0,600 0,601 0,602 0,603...0,998 0,999 0,1000 (hetzelfde als 0,1, maar even voor de duidelijkheid) 0,1001 0,1002...0,10000(weer hetzelfde als 0,1) 0,10001 0,10002 etc, tot in het oneindige. Ditzelfde doe je vanaf 0,01 (dus niet tot 0,99), hetgeen oneindig veel getallen oplevert. Twee keer zoveel zelfs als de Natuurlijke getallen.

"Twee keer zoveel" heeft in dit soort gevallen geen zinnige betekenis. Het feit dat je dat niet weet/inziet is het teken dat je fundamentele misvattingen op dit gebied hebt.

Bekijk de even getallen. Kun je een bijectie maken tussen de natuurlijke getallen en de positieve even getallen? Ja, dat kan. De functie die dit vastlegt is

\(f(n) = 2 \cdot n\)

. Er zijn dus 'evenveel' natuurlijke getallen als even getallen. Dit ondanks dat de natuurlijke getallen bestaan uit alle even getallen plus de oneven getallen.

Of nog leuker: bekijk de functie

\(g(e) = \frac{e}{4}\)

. Deze functie genereert voor alle even getallen deelbaar door vier een natuurlijk getal. Je kunt dus met alleen de even getallen deelbaar door vier alle natuurlijke getallen genereren. Je hebt dus de even getallen niet deelbaar door vier over. Er zijn dus, als je jouw manier van redeneren toepast, meer even getallen dan dat er natuurlijke getallen zijn.

Ik hoop dat het hiermee duidelijk is dat regels die gelden voor eindige verzamelingen niet klakkeloos gebruikt kunnen worden voor oneindige verzamelingen.

Er is geen bijectie tussen deze twee verzamelingen en de Natuurlijke getallen,

Echt wel. Als je een even natuurlijk getal hebt dan deel je door twee. Dit nieuwe getal gebruik je voor de eerste verzameling. Als je een oneven getal hebt dan trek je er een van af en dan deel je door twee. Dit nieuwe getal gebruik je voor de tweede verzameling. Als je een bijectie hebt tussen de natuurlijke getallen en de eerste verzameling en een bijectie tussen de natuurlijke getallen en de tweede verzameling dan heb je nu een bijectie tussen de natuurlijke getallen en de gecombineerde verzamelingen.

net zoals er geen bijectie is tussen de getallen 1 t/m 100 en 1 t/m 200.

Dit is dus de kern van jouw probleem. Je past eindige regels toe op oneindige verzamelingen. Dat werkt niet (wat eenvoudig blijkt uit wat ik hierboven geschreven heb).

Voeg je 0,001 etc. (naar oneindig), 0,0001 etc. (naar oneindig, dan zijn er oneindig maal zoveel getallen als oneindig (dat heeft nu juist met die kardinaliteit te maken. Je zou denken 2xoneindig =oneindig, hetgeen ook zo is, maar toch is er een verschil in het aantal elementen)

"2xoneindig = oneindig" is onzin. Oneindig is geen getal. Je kunt er niet mee rekenen (tenminste niet zonder daarvoor extra regels in te voeren).

"het aantal elementen" is in deze context betekenisloos.

Even ter verduidelijking: mijn geduld begint op te raken. Als je geen kennis wenst te nemen van je eigen fouten en het allemaal beter denkt te weten dan ga ik mijn tijd hier niet aan verdoen. Moet je niet raar opkijken als mensen het vervolgens oneens zijn met wat je over dit onderwerp verkondigd.

[Math-E-Mad-X]

0,333 enz. komt wel voor op de lijst. Als je het aantal drieën naar oneindig laat gaan verkrijg je 1/3.

Op welke plek in de lijst komt hij dan? Je hoeft geen exact antwoord te geven op die vraag, maar je moet op z'n minst een strategie of berekening kunnen geven om te bepalen op welke plek 1/3 komt in je lijst.

Als je antwoord is: "op de oneindigste plek" dan is dat equivalent aan te zeggen dat hij niet op de lijst staat.

[Drieske]

Even ter verduidelijking: mijn geduld begint op te raken. Als je geen kennis wenst te nemen van je eigen fouten en het allemaal beter denkt te weten dan ga ik mijn tijd hier niet aan verdoen. Moet je niet raar opkijken als mensen het vervolgens oneens zijn met wat je over dit onderwerp verkondigd.

Opmerking moderator

Ik denk dat niemand het nog duidelijker kan verwoorden. Als er dus blind blijft doorgegaan worden door descheleschilder of jeanmens, gaat dit topic op slot. Toekomstige, inhoudsloze opmerkingen zullen ook verwijderd worden. Dit is en blijft een wetenschapsforum.

[descheleschilder]

Maar als ik de lijst getallen die ik maak onderverdeel in een die begint met 0,1, waarna alle Natuurlijke getallen aan bod komen (0,1 0,2...0,11 0,12... 0,101 0,102 etc. naar oneindig; deze lijst getallen tussen 0 en 1 heeft een bijectie met de Natuurlijke getallen, aangezien alle Natuurlijke getallen precies één keer in de sub-lijst voorkomen). Dan een lijst met getallen die begint met 0,01, waarna weer alle Natuurlijke getallen volgen (en er dus voor deze getallen ook een bijectie met de Natuurlijke getallen bestaat). Dan, je raadt het al, een sub-lijst die begint met 0,001, waarna je weer alle Natuurlijke getallen erachter plant.

In dit geval is er wel een injectie tussen de gehele lijst getallen en de Natuurlijke, maar geen bijectie, aangezien elk element van de Natuurlijke getallen het beeld is van meerdere elementen uit de gehele lijst.. 0,1 beeld je af op 1; 0,2 op 2; 0,3 op 0,3; 0,314253 op 31 en ga zo maar door. Dezelfde afbeelding vindt plaats als je de sub-lijst 0,01 0,02 0,03..0,034 0,035... 0,07345 0,07346 bekijkt. Elk getal staat in een 1 op 1 verband met de Natuurlijke getallen. Elk Natuurlijk getal is het beeld van meerdere getallen in de lijst. Als je het aantal cijfers achter de komma naar oneindig laat gaan, zal elk Natuurlijk getal het beeld zijn van een naar oneindig reikend aantal getallen (kardinaliteit oneindig).

En nu stop ik er nu mee. Ik drink nog een kop koffie met Els en ga wat doen. Misschien heb je ook wel gelijk, maar om gelijk krijgen gaat het míj absoluut niet. Ik probeer duidelijkheid te verkrijgen.

[EvilBro]

Maar ...

Nee.

Probeer eerst eens te begrijpen wat ik heb geschreven. Als je daar specifieke vragen over hebt, stel die dan. Het heeft geen zin om je verhaal gewoon weer van voor af aan te beginnen alsof het je niet al is uitgelegd waarom het fout is.

Ik probeer duidelijkheid te verkrijgen.

Als dat waar is dan moet je misschien eens wat meer vragen stellen in plaats van enkel dingen te poneren.

[Math-E-Mad-X]

Als je het aantal cijfers achter de komma naar oneindig laat gaan, zal elk Natuurlijk getal het beeld zijn van een naar oneindig reikend aantal getallen (kardinaliteit oneindig).

Laat ik het je uitleggen als een spelletje:

1) jij maakt een lijst van reële getallen, op de manier zoals je zelf wil.

2) Ik kies een reëel getal x

3) jij vertelt op welke plek n in jouw lijst dat getal komt.

(bijvoorbeeld, als x het 2e getal in jouw lijst is, dan zeg je: n=2)

Dit getal n moet een natuurlijk getal zijn (en n mag dus niet het getal 'oneindig' zijn!).

Als jij voor ieder reëel getal x dat ik kan verzinnen de bijbehorende index n kunt noemen, dan heb je gewonnen en heb je het ongelijk van Cantor bewezen. Als je dat niet kunt dan heeft Cantor gelijk.

Je kunt het eens of oneens met de regels van dit spel zijn, maar dat is gewoon een definitie kwestie. Cantor heeft bewezen dat, als we deze spelregels aannemen, jij dit spel nooit kunt winnen.

Ready to play?

[descheleschilder]

De bewering dat aantal getallen tussen 0 en 1 overaftelbaar is zoals Cantor beweert bestrijd ik niet, ik wou alleen maar aantonen dat het ook op een andere manier kan, door de lijst van alle getallen tussen 0 en 1 op te sommen. Voor de rij zonder een nul achter de komma heb je dan al alle Natuurlijke getallen nodig. Dat geldt ook als er een nul achter de komma staat. Of twee nullen, of drie nullen, etcetera. Als je de rij zonder nul achter de komma bekijkt is het kardinaal getal 1. Voeg je daar de lijst aan toe met één nul achter de komma aan toe dan wordt het kardinaal getal 2. Voeg je die met twee nullen achter de komma daar aan toe dan wordt het 3, en zo wordt het kardinaal getal steeds een stapje hoger als er een extra nul achter de komma komt. Elke sub-rij (0,1 etc. 0,01 etc. 0,001 etc.) is bijectief met de Natuurlijke getallen en op die manier overaftelbaar. En wat dat spelletje betreft weet ik wel zeker dat ik dat ga verliezen.

[EvilBro]

Ik heb geen idee hoe ik dit duidelijker kan zeggen: Jij hebt fundamentele misvattingen over dit soort wiskunde. Dit blijf je echter negeren. Je pogingen tot een zinnige bijdrage zijn daardoor zonder enig succes. In ongeveer elke zin die je schrijft, maak je fouten. Mocht je interesse hebben iets te leren dan zie ik dat wel doordat je vragen gaat stellen over hetgeen je al vertelt is (ipv weer dezelfde fouten te herhalen). Tot die tijd ga ik je geraaskal zoveel mogelijk proberen te negeren.

[PeterPan]

De kracht van de wiskunde is, dat het zijn eigen taal heeft. Een taal die ondubbelzinnig en helder is. Zo kunnen Chinezen en Nederlanders elkaar vlekkeloos verstaan als zij beiden zich in de wiskundetaal uitdrukken.

Wiskunde kletsen is te vergelijken met politiek, kortom niet te volgen.

Misschien dat de descheleschilder even zijn bewijs geeft. Ik bedoel een wiskundig bewijs, zodat een Chinees kan meekijken.

[descheleschilder]

<p>O.K. Beschouw de kolommen: 0.011       0.0011     etc.  0.1        0.2       ....                   0.9

                           0.012       0.0012           0.11       0.21                             0.91

                           0.013       0.0013           0.12       0.22                             0.92

                             .            .               .          .                                .                                               .           ..               .          .                                .                                             0.09999..   0.009999..       0.19999..  0.29999..                        0.99999..  

Hoeveel keer komen hier de Natuurlijke getallen in voor? Oneindig maal lijkt mij toch? En dat wordt toch bedoet met verschillende soorten oneindig (hier zelfs oneindig maal: kardinaal getal oneindig). Als dit niet duidelijk overaftelbaar is! Ik heb trouwens nooit beweerd dat Cantor het bij het verkeerde eind had. Er is geen getal tussen 0 en 1 dat niet in deze kolommen getallen voorkomt.