En dat is helaas niet ondubbelzinnig en al helemaal niet helder...
Je beweert dat je niet zegt dat Cantor ongelijk had, maar ondertussen beweer je wel dat je alle reeele getallen tussen 0 en 1 in een tabel kunt zetten. Deze twee beweringen zijn tegenstrijdig. Als Cantor gelijk had dan is het onmogelijk om alle reeele getallen tussen 0 en 1 in een tabel te zetten.
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
EvilBro
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.081
- Lid geworden op: vr 30 dec 2005, 09:45
-
Math-E-Mad-X
- Artikelen: 0
- Berichten: 2.907
- Lid geworden op: wo 13 sep 2006, 17:31
Re: Is het aantal re
Hij beweert dat alle reële getallen er in staan, omdat hij ook de getallen die op 'de oneindigste plaats' staan meetelt. Dat is dus een kwestie van definitie.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
EvilBro
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.081
- Lid geworden op: vr 30 dec 2005, 09:45
Re: Is het aantal re
Nee, dat is niet een kwestie van definitie (tenzij je natuurlijk wilt beargumenteren dat alles een kwestie van definitie is, maar dat lijkt me niet heel zinnig). Het is onmogelijk om een (oneindig grote) tabel te maken met daarin alle reeele getallen. Met andere woorden beweert hij dat er een bijectie mogelijk is tussen
Overigens is het al diverse malen aangegeven waarom de redenatie niet werkt. De tabel bevat simpelweg niet alle reeele getallen tussen 0 en 1 (er ontbreken zelfs 'meer' getallen dan dat er in de tabel staan).
\(\rr\)
en \(\nn^2\)
. Aangezien er een bijectie mogelijk is tussen \(\nn\)
en \(\nn^2\)
beweert hij dus impliciet dat er een bijectie is tussen \(\rr\)
en \(\nn\)
. Dit zou betekenen dat Cantor ongelijk zou hebben.Overigens is het al diverse malen aangegeven waarom de redenatie niet werkt. De tabel bevat simpelweg niet alle reeele getallen tussen 0 en 1 (er ontbreken zelfs 'meer' getallen dan dat er in de tabel staan).
-
PeterPan
- Artikelen: 0
Re: Is het aantal re
Je gebruikt in je constructie alleen maar getallen met een eindig aantal decimalen achter de komma, dus
in jouw constructie ontbreken ALLE irrationale getallen en ALLE rationale getallen met een oneindig aantal decimalen achter de komma.
Als 1/3 in jouw constructie voorkomt, dan moet je kunnen zeggen op welke plaats hij staat (b.v. in de 2000ste kolom en in de 300111de rij).
N.B.
Merk op dat 1/3 NIET voorkomt in de oneindige rij
in jouw constructie ontbreken ALLE irrationale getallen en ALLE rationale getallen met een oneindig aantal decimalen achter de komma.
Als 1/3 in jouw constructie voorkomt, dan moet je kunnen zeggen op welke plaats hij staat (b.v. in de 2000ste kolom en in de 300111de rij).
N.B.
Merk op dat 1/3 NIET voorkomt in de oneindige rij
\(0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \cdots\)
-
Math-E-Mad-X
- Artikelen: 0
- Berichten: 2.907
- Lid geworden op: wo 13 sep 2006, 17:31
Re: Is het aantal re
Nouja, okee, ik overdrijf inderdaad door te zeggen dat het puur een definitie kwestie is. Ik bedoel alleen te zeggen dat hij blijkbaar niet accepteert dat een getal dat 'op de oneindigste plaats' staat in feite gewoon niet in de lijst staat.EvilBro schreef: ↑di 04 mar 2014, 09:39
Nee, dat is niet een kwestie van definitie (tenzij je natuurlijk wilt beargumenteren dat alles een kwestie van definitie is, maar dat lijkt me niet heel zinnig).
Het is dus een beetje een welles-nietes discussie.
Jij zegt: "getal x staat niet in de lijst"
hij zegt: "jawel, getal x staat op de oneindigste plek in de lijst"
Uiteraard ben ik het volledig met je eens dat volgens alle gangbare definities een getal zoals 1/3 niet in de lijst staat. En bovendien zullen eventuele alternatieve definities waarschijnlijk tot enorme problemen leiden.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
EvilBro
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.081
- Lid geworden op: vr 30 dec 2005, 09:45
Re: Is het aantal re
Het is meer een "hier heb je argumenten waarom het niet kan"-nietes-discussie. Het grote probleem is dat descheleschilder geen argumenten geeft of weerlegt, maar enkel zijn fout blijft herhalen.Het is dus een beetje een welles-nietes discussie.
-
PeterPan
- Artikelen: 0
Re: Is het aantal re
In zijn constructie ontbreken SLECHTS de "oneindige plekken".
Als hij die "oneindige plekken" ook nog even in zijn constructie stopt, dan zijn we eruit.
Als hij die "oneindige plekken" ook nog even in zijn constructie stopt, dan zijn we eruit.
-
Math-E-Mad-X
- Artikelen: 0
- Berichten: 2.907
- Lid geworden op: wo 13 sep 2006, 17:31
Re: Is het aantal re
Zo kun je het ook noemen jaEvilBro schreef: ↑di 04 mar 2014, 11:46
Het is meer een "hier heb je argumenten waarom het niet kan"-nietes-discussie.
PeterPan schreef: ↑di 04 mar 2014, 12:07
In zijn constructie ontbreken SLECHTS de "oneindige plekken".
Als hij die "oneindige plekken" ook nog even in zijn constructie stopt, dan zijn we eruit.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
descheleschilder
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.156
- Lid geworden op: zo 21 jul 2013, 11:08
Re: Is het aantal re
Ik ben een groot aantal kolommen vergeten, zie ik nu:
0.101 0.1001 etc.
0.102 0.1002
0.103 0.1002
. .
. .
0.1099... 0.100999...
En ditzelfde voor de kolommen 0.2 0.3....0.9. Nog meer rijen Natuurlijke getallen!
0.101 0.1001 etc.
0.102 0.1002
0.103 0.1002
. .
. .
0.1099... 0.100999...
En ditzelfde voor de kolommen 0.2 0.3....0.9. Nog meer rijen Natuurlijke getallen!
Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!
-
Safe
- Pluimdrager
- Artikelen: 0
- Berichten: 10.058
- Lid geworden op: wo 17 nov 2004, 12:37
Re: Is het aantal re
Waarom,denk je, maakt Cantor niet zo'n lijst ...
Je hebt het over natuurlijke getallen? Ik zie ze niet of bedoel je de cijfers 0 t/m 9?
Je hebt het over natuurlijke getallen? Ik zie ze niet of bedoel je de cijfers 0 t/m 9?
-
descheleschilder
- Artikelen: 0
- Berichten: 1.156
- Lid geworden op: zo 21 jul 2013, 11:08
Re: Is het aantal re
In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor. In elke kolom (oneindig in aantal) is een kolom getallen te zien die overeenkomt met de Natuurlijke getallen. bijvoorbeeld:
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor. In elke kolom (oneindig in aantal) is een kolom getallen te zien die overeenkomt met de Natuurlijke getallen. bijvoorbeeld:
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor. In elke kolom (oneindig in aantal) is een kolom getallen te zien die overeenkomt met de Natuurlijke getallen. bijvoorbeeld:
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor. In elke kolom (oneindig in aantal) is een kolom getallen te zien die overeenkomt met de Natuurlijke getallen. bijvoorbeeld:
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor. In elke kolom (oneindig in aantal) is een kolom getallen te zien die overeenkomt met de Natuurlijke getallen. bijvoorbeeld:
0.101
0.102
0.103
.
.
0.109999... (10 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.001
0,002
0.003
.
.
0.009999.... (00 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.4
0.41
0.42
.
.
0.49999... (4 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9001
0.9002
0.9003
.
.
0.9009999... (900 na de komma blijft gelijk)
Of:
0.9
0.91
0.92
0.93
.
.
0.99999... (9 na de komma blijft gelijk)
Achter elkeserie cijfers achter de komma zoals in voorgaande kolommen10, 01, 4, 900, 9, kun je de hele rij van de Natuurlijke getallen plaatsen. De verzameling van al deze kolommen is overaftelbaar, zoals Cantor beweerde. Vandaar dat er geen enkel getal bestaat (Cantor beweerde dat er een getal gevonden kan worden, via zijn diagonaalmethode, dat niet in de oorspronkelijke verzameling, voor de methode tehebben toegepast, voorkomt. Aangezien volgens al mijn kolommen alle reëele getallen tussen 0 en 1 in decimale vorm te vinden zijn, ga ik er van uit dat de verzameling waar Cantor vanuit ging een andere is dan de mijne. M.a.w. de verzameling waar Cantor vanuit gaat bevat niet alle reëele getallen.
Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!
-
mathfreak
- Pluimdrager
- Artikelen: 0
- Berichten: 3.505
- Lid geworden op: zo 28 dec 2008, 16:22
Re: Is het aantal re
Kijk eens of je de volgende gedachtengang kunt volgen: neem aan dat we aan ieder natuurlijk getal (te beginnen bij 1) een uniek reëel getal tussen 0 en 1 kunnen toevoegen. Neem nu van het aan 1 toegevoegde getal de eerste decimaal, van het aan 2 toegevoegde getal de tweede decimaal, enzovoort. We hebben nu, uitgaande van Cantors diagonaalargument, een reëel getal tussen 0 en 1 geconstrueerd, waarbij de n-de decimaal
in een 1-op-1 relatie met het n-de natuurlijke getal staat. Wijzig vervolgens de decimalen van dit getal door de decimaal 9 te vervangen door 0 en de overige decimalen door hun opvolger. We krijgen nu een reëel getal tussen 0 en 1 waarbij de n-de decimaal niet meer in een 1-op-1 relatie met het n-de natuurlijke getal staat. Dit is in strijd met de veronderstelling dat we aan ieder natuurlijk getal een uniek reëel getal tussen 0 en 1 kunnen toevoegen. Dit betekent dus dat de verzameling reëele getallen niet aftelbaar is, wat te bewijzen was.
in een 1-op-1 relatie met het n-de natuurlijke getal staat. Wijzig vervolgens de decimalen van dit getal door de decimaal 9 te vervangen door 0 en de overige decimalen door hun opvolger. We krijgen nu een reëel getal tussen 0 en 1 waarbij de n-de decimaal niet meer in een 1-op-1 relatie met het n-de natuurlijke getal staat. Dit is in strijd met de veronderstelling dat we aan ieder natuurlijk getal een uniek reëel getal tussen 0 en 1 kunnen toevoegen. Dit betekent dus dat de verzameling reëele getallen niet aftelbaar is, wat te bewijzen was.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
EvilBro
- Artikelen: 0
- Berichten: 7.081
- Lid geworden op: vr 30 dec 2005, 09:45
Re: Is het aantal re
Als dat waar zou zijn (en dat is het niet) dan zou je bewezen hebben dat er een bijectie zou zijn tussen de natuurlijke en reeele getallen. Dit is echter niet wat Cantor beweert. Je hebt dus twee opties: 1. Je beweert dat de verzameling van reeele getallen aftelbaar is (en dat Cantor ongelijk heeft), of 2. je komt onder ogen dat je je vergist. Ongeacht van welke optie jij kiest, de juiste is nummer 2. Het probleem is nog steeds hetzelfde als voorheen. Het gaat fout bij getallen zoals:In de kolommen die ik gegeven heb komen alle reëele getallen, in decimale vorm, tussen 0 en 1 voor.
Dit stelt volgens jou een 0, een komma, een 1, een nul en dan een natuurlijk getal voor. Er bestaat echter geen natuurlijk getal dat uit een oneindige reeks negens bestaat. Zoals al eerder gezegd: Elk natuurlijk getal heeft een eindig aantal cijfers.
-
Safe
- Pluimdrager
- Artikelen: 0
- Berichten: 10.058
- Lid geworden op: wo 17 nov 2004, 12:37
Re: Is het aantal re
Weet je het verschil tussen een rationaal en reëel getal tussen 0 en 1 in decimaalvorm?
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Is het aantal re
Wat een verbijsterende discussie! Waar komt volgens de descheleschilder het onderstaande getal in zijn tabel voor?
http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant
http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant
