Berekening aan een vleugelboot.

[rockinmath]

Als een vleugelboot start ligt een deel van zijn romp nog onder water; dit noemen we fase (a). Bij het bereiken van een geschikte snelheid wordt dit deel van de romp uit het water getild; dit noemen we fase (b).

In fase (a) is de waterweerstand gegeven door 3mkv, waarbij m de massa is van de boot, v zijn snelheid en k een constante. Verder ondervindt de boot in fase (a) een constante kracht F1 waarmee een maximale eindsnelheid V kan worden bereikt.

In fase (b) is de waterweerstand mkv en zorgt een andere comstante kracht F2 er voor dat de boot zijn maximale eindsnelheid van 2V kan bereiken.

Gevraagd is de geschikte snelheid waarbij de romp uit het water komt maar zo dat er een minimale tijd nodig is om een snelheid V1 te bereiken met 2V > V1 >= V.

Laat bovendien zien dat de minimale tijd om de snelheid V te bereiken gelijk is aan

(1/3k)ln(27/4)

Aanpak:

De DVGL vor fase (a) is: mdv/dt = F1 -3mkv.

Uiteindelijk vinden we voor fase (a): va(t) = V(1-exp(-3kt)).

Analoog voor fase (b) vind ik: vb(t) = 2V(1-exp(-kt)).

Maar dan? Aan de eis voor V1: 2V > V1 >= V, kan ik niet voldoen.

Wie helpt??

[Anton_v_U]

Noem de snelheid waarmee de boot uit het water komt V_u. Natuurlijk moet Vu<V anders komt het ding nooit uit het water.

Bepaal een uitdrukking voor de tijd die nodig is om in fase a te versnellen van 0 tot V_u en de tijd om in fase b van V_u tot V₁te versnellen.

Optellen, minimaliseren, klaar. Lukt dat?

Het is niet de vraag of je kunt voldoen aan de eis voor V₁ maar je mag V₁ gewoon niet anders kiezen van de vraagsteller. Als V₁>2V bereik je de snelheid nooit dus dat is een zinvolle begrenzing. Als V₁<V kan het nog steeds een zinvolle vraag zijn denk ik maar de vraagstellers willen er kennelijk niet aan.

[rockinmath]

Uit de opgestelde DVGLn voor de fases a) en b) volgt dat er een tijdstip T is

zo dat va(T) = vb(T). Het blijkt dat T = (1/k)ln((1+sqrt(5))/2) en dat de

er bij horende snelheid va(T)=vb(T)=V*(3-sqrt(5))

Dat heb ik als antwoord genomen voor de V1 waarvan in de opgave sprake is.

Die V1 is kleiner dan V. Bovendien V wordt slechts bereikt na een oneindige tijd,

zo blijkt uit de DVGL voor fase a).

De minimale tijd om de snelheid V te bereiken gelijk is aan (1/3k)ln(27/4)!

Dat kan dus nooit in fase a) gebeuren. In fase b) kan ik wel degelijk na een

bepaalde tijd die snelheid V bereiken; die is nl (1/k)*ln2.

De totale minimale tijd om de snelheid V te bereiken is dus gelijk aan

tmin = (1/k)ln((1+sqrt(5))/2) + (1/k)*ln2 = (1/k)ln((1+sqrt(5))/4).

Blijft over de vraag: wat doet die V1 (te bereiken in fase b)!) in de opgave??

[rockinmath]

Advies van gebruiker Anton_v_U opgevolgd. Berekening staat in bijgevoegd

Word document.. Hoe verder?

Zowel Vu als V1 zijn onbekend!

[rockinmath]

Oeps! Een rekenfout gemaakt!

Nu klopt het wel. Zie bijgaande Word document.

Dank voor de hulp!

Math.