Bestaat een lijnstuk uit losse punten?

[descheleschilder]

Aangezien punten elkaar niet kunnen raken vraag ik mij af hoe je met punten een lijnstuk kunt opbouwen. Ik zie niet in dat je een lijnstuk zou kunnen "opbouwen" zonder gebruik te maken van punten. Of zijn e punten de reëele getallen?

[Math-E-Mad-X]

Ja. Een lijstuk wordt normaal gesproken geassocieerd met een continue deelverzameling van de reële getallen. Ieder punt op de lijn correspondeert dan met een reëel getal.

[mathfreak]

Een lijnstuk is in ieder geval altijd bepaald door het begin-en eindpunt. Laat A het beginpunt en B het eindpunt zijn, dan is de verzameling punten tussen A en B het lijnstuk AB. Nu geldt volgens het ordeningsaxioma van de vlakke meetkunde dat er een punt C bestaat dat tussen tussen A en B ligt, waarbij A, C en B op dezelfde lijn liggen en waarbij C tevens tussen B en A ligt. Verder geldt het axioma van Archimedes: als AB en CD 2 gegeven lijnstukken zijn, dan liggen er op AB punten A₁, A₂,...A_n waarvoor AA₁, A₁A₂,...A_n-1A_n lijnstukken zijn die congruent zijn met CD en waarbij B tussen A en A_n ligt. Een lijnstuk wordt dus altijd opgebouwd door gebruik te maken van punten, aangenomen dat je daarbij uitgaat van Hilberts axiomasysteem van de meetkunde. Volgens Hilbert geldt verder dat uit het vrij zijn van tegenspraak in de theorie van de reële getallen ook het vrij zijn van tegenspraak binnen de meetkunde volgt.

[Bartjes]

Hoe dicht je een lijnstuk met punten wilt opvullen kun je (binnen zekere grenzen) zelf kiezen. Gebruikelijk is het model dat uitgaat van de reële getallenlijn (of van axioma's die op het zelfde neer komen). Maar je zou bijvoorbeeld ook kunnen uitgaan van de berekenbare getallen (voor een minder dichte opvulling) of van de hyperreële getallen (voor een dichtere opvulling).

[PeterPan]

Aangezien punten elkaar niet kunnen raken

vraag ik mij af hoe je met punten een lijnstuk kunt opbouwen.

Een punt heeft geen afmetingen (lengte=breedte=0). Het is dus niet iets concreets, het is een abstractie.

"Punten die elkaar raken". Je bedoelt zeker, punten die tegen elkaar liggen, maar dat veronderstelt dat een punt iets concreets is.

Dat is het niet.

Punten bouwen geen lijnstuk op. Lijnstukken bevatten punten.

Dat is axiomatisch vastgelegd. Er is axiomatisch weinig verband tussen een punt en een lijn. Een lijn heeft dikte 0, dus ook een lijn is een abstractie.

Hoe dicht je een lijnstuk met punten wilt opvullen kun je (binnen zekere grenzen) zelf kiezen.

Dat is niet zo. Een beroemde stelling van Dedekind toont aan dat er een natuurlijke bijectie bestaat tussen de reële getallen en een getallenlijn.

De getallenlijn bevat geen "gaten" meer.

Een lijnstuk is in ieder geval altijd bepaald door het begin-en eindpunt.

Dat is een definitie. Het gaat om het begrip lijn en niet om een lijnstuk.

[Bartjes]

Dat is niet zo. Een beroemde stelling van Dedekind toont aan dat er een natuurlijke bijectie bestaat tussen de reële getallen en een getallenlijn.

De getallenlijn bevat geen "gaten" meer.

Normaal gesproken kiest men inderdaad voor de reële getallenlijn, en zolang je het daarbij houdt voldoen - uiteraard - de reële getallen uitstekend. Maar wanneer je om de een of andere reden met de reële getallenlijn niet tevreden bent, zou je andere opties kunnen proberen. Zolang dergelijke alternatieve getallenlijnen maar netjes wiskundig gedefinieerd, uitgewerkt en toegepast worden, is daar niets mis mee.

[PeterPan]

...

Je kunt hyperreële getallen creëren of nog exotischer zaken, maar verwar dat niet met een getallenLIJN.

Ik toon aan dat de reële getallen een overaftelbare verzameling vormen.

Stel

\(\mathbb{R}\)

is aftelbaar.

Hier de aftelling (ik gebruik hiervoor de corresponderende punten op de getallenlijn).

\(P_1, P_2, P_3, \cdots\)

.

Dan is de lengte van de reële getallenlijn L:

\(\mbox{lengte(L)} = \mbox{lengte}(P_1) + \mbox{lengte}(P_2) + \mbox{lengte}(P_2) + \cdots =\)

\(0+0+0+\cdots = 0\)

Echter

\(\mbox{lengte(L)} = \infty \neq 0\)

.

Dus

\(\mathbb{R}\)

is niet aftelbaar.

[Bartjes]

@ PeterPan.

Hoort dat niet eerder thuis in een inmiddels gesloten topic? Ik zie in elk geval niet wat het met mijn berichtjes te maken heeft...

[Flisk]

Dan is de lengte van de reële getallenlijn L:

\(\mbox{lengte(L)} = \mbox{lengte}(P_1) + \mbox{lengte}(P_2) + \mbox{lengte}(P_2) + \cdots =\)

\(0+0+0+\cdots = 0\)

Deze redenering klopt ook niet. Oneindig keer 0 is niet gedefinieerd (en dus niet 0). Op dezelfde manier kan je dan aantonen dat de natuurlijke getallen overaftelbaar zijn... Wat niet het geval is.

[Safe]

Oneindig keer het getal 0 bij zichzelf optellen verandert niets aan het getal 0 ...

[PeterPan]

@ PeterPan.

Hoort dat niet eerder thuis in een inmiddels gesloten topic?

[Flisk]

Oneindig keer het getal 0 bij zichzelf optellen verandert niets aan het getal 0 ...

Wat bedoel je hiermee en waarom reken je met oneindig alsof het een getal is?

Limietgeval is inderdaad 0, de 'echte' waarde is niet gedefinieerd. Mocht dit toch zo zijn en je hiervoor een bron hebt,ben ik geïnteresseerd.

[Safe]

Jij vergelijkt het met een limiet,

\(\lim_{n\to \infty} 0\cdot n=0\)

[De leek]

Deze redenering klopt ook niet. Oneindig keer 0 is niet gedefinieerd (en dus niet 0). Op dezelfde manier kan je dan aantonen dat de natuurlijke getallen overaftelbaar zijn... Wat niet het geval is.

Feit is wel dat als je een aftelbare verzameling getallen neemt je er enkel een lengte 0 mee kan associëren. Bij een overaftelbare een dimensionale verzameling neem je een oneindige sommatie van punten vermenigvuldigd met getallen die in een limiet naar 0 gaan. In dat geval kan er wel een getal uitrollen, en dit is in feite het proces dat integreren heet.

Lengte is in feite een soort functie van de machtsverzameling van R(of R^n zo je wilt) naar R. Om even op de TS in te gaan. Die punten zijn elementen uit R^n en dus in feite getallen paren. Een lijnstuk is een bepaalde deelverzameling daarvan. Verder moet je ook kijken wat bedoelt wordt met 'elkaar raken' dit is in feite zeggen dat de doorsnee van 2 verzamelingen niet leeg is, maar een punt is een element van een verzameling of een verzameling met 1 element(als je dat zo zou willen interpreteren) en die kan geen niet lege doorsnee hebben met een andere verzameling met een ander element en kardinaliteit 1. Dus de punten raken elkaar inderdaad niet maar de verzameling die wij een lijnstuk noemen is wel volledig in de zin dat elke cauchy rij binnen die verzameling convergeert naar een element binnen die verzameling.

Het kan intuitief raar klinken maar een lijnstuk is dan ook altijd een overaftelbaar oneindig grote verzameling, als het aftelbaar oneindig was was het een ander verhaal geweest en zou dit een punt van zorg moeten zijn.

[Safe]

Wat bedoel je hiermee en waarom reken je met oneindig alsof het een getal is?

Limietgeval is inderdaad 0, de 'echte' waarde is niet gedefinieerd. Mocht dit toch zo zijn en je hiervoor een bron hebt,ben ik geïnteresseerd.

Ok, zeg dan bv: het vele malen optellen van het getal 0 bij zichzelf verandert niets aan de uitkomst 0. Of:

0+0+0+...=0

Of:

\(\sum_{i=1}^\infty 0=0\)