Bestaat een lijnstuk uit losse punten?

[Flisk]

Punt is dat dat bewijs totaal niet klopt. Ik kan ermee aantonen dat rationale getallen ook overaftelbaar zijn (wat niet zo is). Het is zinloos om over 'de lengte van een punt' te spreken wanneer lengte een begrip is dat tussen twee punten is gedefinieerd. Binnen de rationale getallen kan ik perfect het begrip lijnstuk en lengte definiëren en dezelfde redenering volgen.

[Safe]

Punt is dat dat bewijs totaal niet klopt.

Waar heb je het over? Welk bewijs?

Het is totaal zinloos een lijn of lijnstuk (meetkundig) op te vatten als een verzameling van losse punten!

[Flisk]

Waar heb je het over? Welk bewijs?

Ik toon aan dat de reële getallen een overaftelbare verzameling vormen.

Stel

\(\mathbb{R}\)

is aftelbaar.

Hier de aftelling (ik gebruik hiervoor de corresponderende punten op de getallenlijn).

\(P_1, P_2, P_3, \cdots\)

.

Dan is de lengte van de reële getallenlijn L:

\(\mbox{lengte(L)} = \mbox{lengte}(P_1) + \mbox{lengte}(P_2) + \mbox{lengte}(P_2) + \cdots =\)

\(0+0+0+\cdots = 0\)

Echter

\(\mbox{lengte(L)} = \infty \neq 0\)

.

Dus

\(\mathbb{R}\)

is niet aftelbaar.

Mijn origineel statement dat oneindig keer 0 betekenisloos was ging over bovenstaand.

[Bartjes]

Om zulke zaken netjes te behandelen zie:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Maattheorie

[Flisk]

Het al dan niet aftelbaar zijn gaat over kardinaliteit.