(a+b) : (c+d) = a:b = c:d

[Shadow]

Hallo,

Ik ben aan het lezen over Plato, en ik vroeg me af hoe je het bewijs van het stukje wiskunde in de onderstaande tekst correct noteert:

"...Socrates vraagt zijn vrienden zich die afstand voor te stellen als een lijn en die in twee willekeurige delen te verdelen. Die delen noemt hij de zichtbare wereld en de gedachte wereld of liever: de wereld als voorwerp van waarnemen en de wereld als voorwerp van reflectie. Die twee delen worden ieder weer volgens dezelfde verhouding verdeeld, zodat er vier lijnstukken ontstaan waar een evenredigheid tussen is. Elk van die lijnen vertegenwoordigt een bepaalde vorm van kennis en belooft een verdere progressie. Plato maakt hiermee ook duidelijk, dat vanwege de evenredige verdeling het tweede en het derde stuk van de lijn gelijk moeten zijn."

Oftewel: (a+b) : (c+d) = a:b = c:d

Nu begrijp ik wel dat als:

- c n keer zo klein is als d

- d n keer zo groot is als b

dan moet c gelijk staan aan b.

Maar hoe schrijf je dit op, zonder de n factor te gebruiken?

Ik begon als volgt:

(a+b) ~ (c+d)

a ~ b

c ~ d

... maar ik kan de connectie niet op papier zetten.

In woorden:

c is n keer zo klein als d

omdat a+b n keer zo klein is als c+d

en a n keer zo klein is als b, volgt:

c is n keer zo klein als d, maar is n keer zo groot als a vanwege evenredigheid, en b is dan weer n keer zo groot als a, waardoor b gelijk komt te staan aan c.

Maar hoe noteer je dit kort en bondig, maar vooral ook: volledig?

bvd

[EvilBro]

Je zoekt iets als dit?
 

\(\frac{a+b}{c+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

dus:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \rightarrow a \cdot d = b \cdot c\)

\(\frac{a+b}{c+d} = \frac{a}{b} \rightarrow (a+b) \cdot b = (c+d) \cdot a = a \cdot c + a \cdot d = a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c\)

dus:

\(b =c\)

[Shadow]

Yep yep :p thx!