verhouding tangens en graden

[pwisb]

Het principe van de tangens van een hoek berekenen m.b.v een rekenmachine is me duidelijk. Ik vraag me alleen af hoe je zonder rekenmachine, zonder tangenstabel en ook zonder de hoek op te meten toch de juiste graden van een hoek kunt berekenen.  Tangens van 1 graad = 0,017455064. Dat is dus het resultaat van de deling van de overstaande zijde / aanliggende zijde in een bepaalde driehoek. Hoe weet je de afmetingen van die zijden?  Is de basis daarvoor een eenheidscirkel waarin je het nodige kunt berekenen met booglengten, raaklijnen of iets dergelijks?  
Ik ben pas begonnen met een schriftelijke cursus wiskunde B vwo. Ik heb al e.e.a. getracht terug te zoeken op het internet maar kom daar niet verder.  Wie kan me op weg helpen?
 
Peter
 
 

[317070]

Normaal gezien is dat niet zomaar met de hand uit te rekenen. Er zijn methodes voor, maar die liggen ver buiten het bereik van je cursus. Even geduld nog. 
Tot die tijd is het tabellen of rekenmachine.  

[Flisk]

Eigenlijk is het niet zo heel moeilijk om sinus en cosinus handmatig te berekenen. Dit gaat perfect met middelbare wiskunde. Vroeger heb ik dat uit interesse eens gedaan toen ik in het 5de middelbaar zat. Uiteindelijk Komt het neer op wortels trekken. Je begint met de halveringsformule:

\(sin(2a)=2sin(a)cos(a)\)

Als je dan voor

\(a=\frac{\pi}{4}\)

neemt krijg je

\(1=2sin(a)\sqrt{1-sin(a)^2} \iff 1=4sin(a)^2-4sin(a)^4\)

. Dit is een vierkantsvergelijking (na substitutie) en deze is oplosbaar. Je krijgt dan

\(sin(\pi/4)=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

. Klik hier voor resultaat van wolfram.

De positieve waarde is de juiste. Nu kan je dit principe blijven toepassen en je hoek blijven halveren. Je kan ook met formules van sin(3a) of sin(5a) werken etc. 

 
Uiteindelijk kan je zo blijven halveren totdat je de waarde hebt van een zeer kleine hoek. Daarna kan je de som formules gebruiken om een tabel te maken waarbij je elke keer die zeer kleine waarde omhoog gaat.
 
Je kan ook gewoon een (groot genoeg) driehoek tekenen en daarna meten met een lat. Dit is dan eerder een experimentele methode.

 
EDIT: Merk op dat worteltrekken zo goed als altijd een benadering is (wortel van twee is immers irrationaal), de 'echte' waarde van een sinus en cosinus valt dan ook niet echt te berekenen. Je benadert de waarde.

[317070]

Eigenlijk is het niet zo heel moeilijk om sinus en cosinus handmatig te berekenen.

Dat is inderdaad een methode, maar "niet zo moeilijk" vind ik hier toch wel een serieuze understatement.
 
Anders kun je als uitdaging eens de vraag van de topicposter oplossen: wat is tan(1 graad), zonder tabel of rekenmachine 

[Flisk]

Het oplossen van vierkantsvergelijkingen en toepassen van halveringsformules is toch niet zo geavanceerde wiskunde? Het is niet echt de handigste manier, maar (theoretisch) wel de makkelijkste. Nu zou ik gewoon Taylor reeksen gebruiken maar dit brengt ons te ver want dat is iets moeilijkere wiskunde...

[tempelier]

Eigenlijk is het niet zo heel moeilijk om sinus en cosinus handmatig te berekenen.
 
-----------------------------------------------------
 
 
Lijkt mij meer iets om een tabel op te stellen.
 
Een grot gebrek van je methode is dat hij geen nauwkeurigheid aangeeft.
Die is wel te bepalen natuurlijk, maar dat lijkt me geen middelbare schoolstof.

[Flisk]

Een groot gebrek van je methode is dat hij geen nauwkeurigheid aangeeft.
 

 

In principe is deze methode perfect nauwkeurig (zie resultaat

\(sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

). Als je natuurlijk de vierkantswortels uitwerkt verlies je de nauwkeurigheid. 

[tempelier]

In principe is deze methode perfect nauwkeurig (zie resultaat

\(sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

). Als je natuurlijk de vierkantswortels uitwerkt verlies je de nauwkeurigheid. 

Dat werkt voor die waarde.
 
Maar hoe bereken je dan

\(\sin 5^0 \)

met de bijbehorende nauwkeurigheid?

[Flisk]

\(\sin (5^{\circ}) \)

kan je ook perfect uitrekenen met deze methode. Dan moet je wel de formule

\(sin(3x)=3sin(x) + 4sin(x)^3\)

twee keer toepassen op

\(sin(\frac{\pi}{4})\)

. Maar ik begrijp je punt, je kan inderdaad niet zomaar elke functiewaarde berekenen.

[pwisb]

Allemaal bedankt voor jullie bijdrage.
 
Ik vrees dat ik toch nog wel de nodige hoofdstukjes uit m'n boek moet doorlezen voordat ik eea kan gaan narekenen.  Voorlopig kan ik wel zonder schaamte m'n rekenmachine gebruiken. Het was toch niet geen alledaagse vraag (en antwoord)
 
Peter

[Safe]

 Tangens van 1 graad = 0,017455064. Dat is dus het resultaat van de deling van de overstaande zijde / aanliggende zijde in een bepaalde driehoek. Hoe weet je de afmetingen van die zijden? 
 
 

 
Een zijde kan je kiezen (waarom?), bv de aanliggende rechthoekszijde, bv 1000000 (waarom zo groot, denk je). Onder een hoek van 1 graad construeer je de schuine zijde (eens?). En dan ...

[tempelier]

\(\sin (5^{\circ}) \)

kan je ook perfect uitrekenen met deze methode. Dan moet je wel de formule

\(sin(3x)=3sin(x) + 4sin(x)^3\)

twee keer toepassen op

\(sin(\frac{\pi}{4})\)

. Maar ik begrijp je punt, je kan inderdaad niet zomaar elke functiewaarde berekenen.

Dat kan maar dan moet er wel tweemaal een derde graads vergelijking worden opgelost.
De oplossingen daarvan zijn waarschijnlijk niet als radicalen te schrijven.

 
Een zijde kan je kiezen (waarom?), bv de aanliggende rechthoekszijde, bv 1000000 (waarom zo groot, denk je). Onder een hoek van 1 graad construeer je de schuine zijde (eens?). En dan ...

Een hoek van een graad is niet contrueerbaar (met passer en liniaal)

[Safe]

Een hoek van een graad is niet contrueerbaar (met passer en liniaal)

 
Heb je begrepen waarom ik 1000000 koos ...

[tempelier]

 
Heb je begrepen waarom ik 1000000 koos ...

Niet precies eerlijk gezegd.
Je opmerking vond ik zo wie zo wat duister.
Bedoelde je iets anders met construeren?
 
Of doelde je er op dat bij zulke kleine hoeken tan x ongeveer cos x is?

[Safe]

Het is een gedachte-experiment ...