vinden van variabele a zodat limiet bestaat

[Roy8888]

voor welk getal a geldt dat 
 
 lim (x --> -2) ({3x^2 + ax +a+3} / {x^2 +x -2})
 
bestaat?
 
Als ik datgene onder de breuk ontbind in factoren staat er (x-1) (x+2). Dus als ik boven de streep (x+2) krijg dan kan ik deze onder wegdelen. Alleen is mijn vraag, hoe los ik nu a op?

[Flisk]

Je wilt inderdaad die (x+2) wegdelen. Ontbind dus de teller in factoren (reken met a zoals een normaal getal), dit kan je doen door de nulpunten te vinden, denk aan de formule

\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a_1c}}{2a_1}\)

, waarbij die 'a₁' niet te verwarren is met de 'a' uit de opgave. Dan kijk je voor welke waarde van a je als nulpunt -2 krijgt.

[tempelier]

Uitdelen is niet direct nodig.
 
Wil er een (eindige) limiet zijn dan moet de teller (en de noemer) 0 zijn voor x=-2

[Roy8888]

Dank voor de reacties. Maar een ding begrijp ik niet helemaal. Ik ben nu bezig met limieten, en in mijn boek (calculus) staat dat in dit geval de limiet niet gedefinieerd is voor x=-2 als ik het goed zeg. Maar dat x nadert naar -2. Waarom kan deze limiet dan niet bestAn voor als x --> -2

[tempelier]

Dank voor de reacties. Maar een ding begrijp ik niet helemaal. Ik ben nu bezig met limieten, en in mijn boek (calculus) staat dat in dit geval de limiet niet gedefinieerd is voor x=-2 als ik het goed zeg. Maar dat x nadert naar -2. Waarom kan deze limiet dan niet bestAn voor als x --> -2

Men bedoelt dat de functie niet gedefinieerd is voor x=-2
 
Je verhaal slaat op het limiet proces wat iets anders is.
 
PS.
Je kunt natuurlijk voor x=-2 gewoon een functie waarde bijdefinieren dus bijvooroorbeeld f(-2)=-1

[Safe]

Als er staat: de teller en noemer moeten 0 zijn voor x=-2. Begrijp je dan wat dat betekent?

[Roy8888]

Nee eigenlijk niet. Waarom moet je noemer en teller nul zijn om een limiet te laten bestaan? Is dat omdat je anders een hyperbool eb dus asymptoten hebt en daardoor geen eindig limiet?

[Safe]

Bekijk  eens:
 

\(\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}\)

 
Wat kan je van deze breuk zeggen ...

[Roy8888]

Dat deze te vereenvoudogen is door de term x+2 weg tr delen boven en onder
En dat teller en noemer nul zij voor x=-2

[Safe]

Goed, let hier eens op:
 
 

En dat teller en noemer nul zij voor x=-2

 Je kan haakjes wegwerken in teller en noemer, geldt het bovenstaande nog steeds? Zo ja, begrijp je dan nu:
 

Als er staat: de teller en noemer moeten 0 zijn voor x=-2. Begrijp je dan wat dat betekent?

 
Zo ja, kan je dat nu gebruiken in jouw opgave ...

[Roy8888]

Heb het. Boven en onder wil je x+2 wegdelen. Als je onder voor x -2 invult is de noemer 0. Dus als je boven voor x -2 invult moet dat ook 0 opleveren. Daaruit volgt dat a gelijk 15 is.

[Safe]

Mooi, je hebt het!
Controleer door a=15 in te vullen en de ontbinding te maken ...

[Flisk]

Ja maar dat vind ik geen geheel correcte redenering. In dit voorbeeldje mag dat, maar in het algemene geval niet. Bekijk het volgende eens:

\(\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}\)

Teller en noemer worden nul bij x=-2, maar dit wilt niet zeggen dat de limiet voor x->-2 bestaat. Het bestaan van een eindige limiet wanneer de noemer nul wordt, impliceert dat de teller nul moet zijn. De omgekeerde implicatie geldt niet! Het is niet zo omdat noemer en teller nul worden, je limiet bestaat.
 
Daarom dat je beter teller en noemer ontbindt in factoren zoals ik voorstelde in mijn post.

 

[Safe]

@Flisk
 
Is het niet juist dat de teller 0 moet zijn voor x=-2 ... 

[Drieske]

Jawel, maar zoals Flisk terecht opmerkt: dat is niet voldoende om op te merken. Een ontbinding van de teller is ook niet nodig daarentegen. Het volstaat om op te merken dat x=-2 geen dubbel nulpunt is van de noemer.