Ik zou het eerst herschrijven in een meer leesbare/verhalende vorm. Wat er nu staat zou ik in een bijlage plaatsen. Nuttig als referentie, voor jezelf en voor een ander. Maar wat hier nu staat is een hele opsomming van definities en bewijzen; terwijl het voor de meelezer niet duidelijk is wat je met al die begrippen van plan bent.
Probeer eens een samenvatting te schrijven van wat globaal de onderneming is waar je mee bezig bent. Geef aan wat daar voor nodig is; bijvoorbeeld waarom je een begrip als "tamelijk inwisselbaar" nodig hebt. Al is het maar in een paar zinnen per punt dat je wil maken.
Als je op die manier de beweringen en definities aan elkaar schrijft (en de stukken bewijs er dus tussenuitknipt), maak je jezelf ineens een heel stuk duidelijker.
Formele en metaformele getallen
Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde
-
Marko
- Artikelen: 0
- Berichten: 10.622
- Lid geworden op: vr 03 nov 2006, 23:08
Re: Formele en metaformele getallen
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Ik zal hieronder eens proberen de achterliggende gedachte duidelijk te maken. Al vanaf mijn vroege jeugd ben ik op zoek naar een systeem om delen door nul mogelijk te maken. Dat begon heel primitief, min of meer proefondervindelijk zonder enig inzicht in de structuur van algebraïsche systemen. Naarmate ik meer over wiskunde leerde werden mijn pogingen professioneler. Hier op het wetenschapsforum heb ik ook een aantal systemen gelanceerd. Daarvan is er uiteindelijk maar één over gebleven dat mij voldoende interessant leek om mee verder te gaan.
De gedachte is simpel: delen door nul gaat binnen het reële getallensysteem niet omdat er maar één nul is. De uitkomsten van 1.0 en van 6.0 en van (-7,34335).0 zijn exact gelijk: namelijk 0. In deze uitkomst is geen schim van de van nul verschillende factor meer terug te vinden. Dit "probleem" kunnen we ondervangen door een getallensysteem uit te werken waarin meerdere nullen voorkomen. Aan de betreffende nul die als resultaat van een vermenigvuldiging optreedt, zou je dan een en ander kunnen afleiden omtrent de van nul verschillende factor die dit resultaat heeft opgeleverd. Hoe vinden we zo'n systeem? Ik begin hier in essentie met het triviale systeem dat als uitkomsten van optellingen en vermenigvuldigingen die optellingen en vermenigvuldigingen zelf heeft. Dus:
1 + 9 = 1 + 9
0 . 3 = 0 . 3
1 + -1 = 1 + -1
(1 + 9).0 = (1 + 9).0
Aan de uitkomst 0.3 kun je natuurlijk zien dat de factoren 0 en 3 waren, en aan de uitkomst (1 + 9).0 dat de factoren 1 + 9 en 0 waren. Om verwarring met de gewone reële getallen en optelling en vermenigvuldiging te voorkomen, introduceer ik in plaats van de + en . de kaartsymbolen
De verschillende graden van gelijkaardigheid die in dit systeem gedefinieerd worden, zijn het resultaat van veel experimenteren en uitproberen. Laat je de formele getallen te veel op de reële getallen lijken, dan gaan de verschillende nullen verloren. Ook weet ik op dit moment nog niet hoe het uiteindelijke systeem eruit zal komen te zien. De bewijzen waar ik de afgelopen tijd mee bezig ben geweest zijn erop gericht te bewijzen dat:
En of dat zo is weet ik nog niet, ik heb tot nu toe slechts een deelresultaat bewezen.
Verder is het nog de vraag in hoeverre de interessante eigenschappen van de metaformele getalen in axiomatische vorm kunnen worden vastgelegd. Dat zou wel wenselijk zijn omdat je dan bij recreatief en/of praktisch gebruik de meer technische bewijzen aangaande de grondslagen kan laten voor wat ze zijn. De getallen die (net als de metaformele getallen) aan die axioma's voldoen noem ik metagetallen. Naar ik hoop vormen die een mooie structuur waar je ook recreatief mee kan "spelen".
Dat is zo'n beetje mijn plan. Als er nog zaken onduidelijk zijn hoor ik dat graag.
De gedachte is simpel: delen door nul gaat binnen het reële getallensysteem niet omdat er maar één nul is. De uitkomsten van 1.0 en van 6.0 en van (-7,34335).0 zijn exact gelijk: namelijk 0. In deze uitkomst is geen schim van de van nul verschillende factor meer terug te vinden. Dit "probleem" kunnen we ondervangen door een getallensysteem uit te werken waarin meerdere nullen voorkomen. Aan de betreffende nul die als resultaat van een vermenigvuldiging optreedt, zou je dan een en ander kunnen afleiden omtrent de van nul verschillende factor die dit resultaat heeft opgeleverd. Hoe vinden we zo'n systeem? Ik begin hier in essentie met het triviale systeem dat als uitkomsten van optellingen en vermenigvuldigingen die optellingen en vermenigvuldigingen zelf heeft. Dus:
1 + 9 = 1 + 9
0 . 3 = 0 . 3
1 + -1 = 1 + -1
(1 + 9).0 = (1 + 9).0
Aan de uitkomst 0.3 kun je natuurlijk zien dat de factoren 0 en 3 waren, en aan de uitkomst (1 + 9).0 dat de factoren 1 + 9 en 0 waren. Om verwarring met de gewone reële getallen en optelling en vermenigvuldiging te voorkomen, introduceer ik in plaats van de + en . de kaartsymbolen
\( \clubsuit \)
en \( \diamondsuit \)
. Dergelijke "getallen" noem ik formele getallen. In deze vorm zijn ze echter nog niet interessant omdat er geen van de gebruikelijke rekenregels voor deze getallen gelden. Daarom staan er ook de extra haakjes. Wel zijn er talloos vele nullen die alle onderling verschillend zijn. Zo geldt bijvoorbeeld:\( (0) \diamondsuit (7) \,\, \neq \,\, (7) \diamondsuit (0) \)
\( (0) \diamondsuit (3) \,\, \neq \,\, (0) \diamondsuit ((2) \clubsuit (1)) \)
\( ((1) \clubsuit (9)) \diamondsuit (0) \,\, \neq \,\, (10) \diamondsuit (0) \)
De kunst is nu om tussen de formele getallen een equivalentierelatie te definiëren die deze objecten meer het karakter van getallen geeft, zonder dat alle nullen equivalent worden. Uit de formele getallen kan je dan equivalentieklassen vormen, en dat zijn dan de eigenlijke getallen (metaformele getallen genaamd) waar het ons om te doen is. Ik probeer zo het reële getallensysteem wat rekenregels betreft zo dicht mogelijk te benaderen, maar zonder het bestaan van verschillende nullen op te geven.De verschillende graden van gelijkaardigheid die in dit systeem gedefinieerd worden, zijn het resultaat van veel experimenteren en uitproberen. Laat je de formele getallen te veel op de reële getallen lijken, dan gaan de verschillende nullen verloren. Ook weet ik op dit moment nog niet hoe het uiteindelijke systeem eruit zal komen te zien. De bewijzen waar ik de afgelopen tijd mee bezig ben geweest zijn erop gericht te bewijzen dat:
\( (A)\diamondsuit(0) \, \heartsuit \, (B)\diamondsuit(0) \,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(A) \neq 0\,\,\, \& \,\,\, \mbox{rw}(B) \neq 0 \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\, A = B \)
.En of dat zo is weet ik nog niet, ik heb tot nu toe slechts een deelresultaat bewezen.
Verder is het nog de vraag in hoeverre de interessante eigenschappen van de metaformele getalen in axiomatische vorm kunnen worden vastgelegd. Dat zou wel wenselijk zijn omdat je dan bij recreatief en/of praktisch gebruik de meer technische bewijzen aangaande de grondslagen kan laten voor wat ze zijn. De getallen die (net als de metaformele getallen) aan die axioma's voldoen noem ik metagetallen. Naar ik hoop vormen die een mooie structuur waar je ook recreatief mee kan "spelen".
Dat is zo'n beetje mijn plan. Als er nog zaken onduidelijk zijn hoor ik dat graag.
-
Erik Leppen
- Artikelen: 0
- Berichten: 373
- Lid geworden op: za 05 mei 2007, 11:41
Re: Formele en metaformele getallen
Niet alleen dat, maar je gaat ook heel snel. Ik vind de theorie namelijk heel interessant, maar ik kan je alléén volgen als ik er ontzettend veel tijd in steek. Ik vind dat zelf jammer, want ik zou graag meedenken, maar heb niet alle tijd die ik nodig heb om al je definities eigen te maken.Marko schreef: ↑ma 27 aug 2012, 11:33
Ik zou het eerst herschrijven in een meer leesbare/verhalende vorm. Wat er nu staat zou ik in een bijlage plaatsen. Nuttig als referentie, voor jezelf en voor een ander. Maar wat hier nu staat is een hele opsomming van definities en bewijzen; terwijl het voor de meelezer niet duidelijk is wat je met al die begrippen van plan bent.
Dus dank Marko voor deze vraag, en dank Bartjes voor het antwoord.
Je eerste definitie van formele getallen als rekenkundige uitdrukkingen is wat mij betreft goed. De idee van reële waarde vind ik ook vanzelfsprekend, niets meer aan doen. De eerste equivalentierelatie die op natuurlijke wijze opkomt is door te zeggen
\(A \ \heartsuit \ B \Longleftrightarrow rw(A) = rw(B)\)
. Je krijgt dan een 1:1-relatie (bijectie) tussen de equivalentieklassen van die relatie en de reële getallen. Dat is fijn, dan weet je dat je systeem werkt. Je hebt eigenlijk een groep gedefinieerd waarvan het quotiënt door die relatie, de verzameling reële getallen is.Maar het is niet wat je wil. Dus is de volgende logische stap
\( A \ \heartsuit \ B \Longleftrightarrow rw(A) \neq 0 \wedge rw(B) \neq 0 \wedge rw(A) = rw(B)\)
. En dat is jouw inwisselbaarheid. En dat heb je vast niet zomaar inwisselbaarheid genoemd. Blijkbaar mag je deze dingen (altijd?) voor elkaar inwisselen. En dan mag je ze (zo begrijp ik) ze dus ook voor elkaar inwisselen als ze onderdeel zijn van een grotere uitdrukking (volgens mij is dat dat hele verhaal dat jij omschrijft met die "stukjes"). Dus ik zou nu concluderen dat, bijvoorbeeld\((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 7 \ \heartsuit \ 5 \ \diamondsuit \ 7\)
, want \(2 \ \clubsuit \ 3 \ \heartsuit \ 5\)
en ik mag links en rechts hetzelfde doen (in dit geval \(\diamondsuit \ 7\)
doen).De haakjes die jij overal zet laat ik weg, omdat ze de formules erg onrustig te lezen maken, en volgens mij niet echt een functie hebben. Met "geen functie" bedoel ik dan dat je de verzameling formele getallen zou kunnen zien als een uitbreiding op de reële getallen - in de meer letterlijke zin dat R een deelverzameling is van
\(\mathcal{F}\)
. En zelfs als je dat niet wil, kun je de uitdrukking bestaande uit maar één element, bijvoorbeeld het formele getal \(7\)
, best stilzwijgend gelijkstellen aan zijn reële waarde \(rw(7) = 7\)
, waarbij de linker 7 een formeel getal is en de rechter 7 een reëel getal. Dat er eigenlijk een functie rw op wordt toegepast wordt dan impliciet gehouden. Het strak axiomatiseren kan dan volgens mij ook later wel.Een leuke vraag is wat je "quotiëntruimte" nu is onder inwisselbaarheid. Je hebt voor elk reële getal ongelijk aan nul nog steeds één equivalentieklasse - die zou je kunnen aanduiden met dat reële getal zelf, of, dus, met het formele getal dat bestaat uit alleen dat reële getal. Maar naast al deze klassen heb je nog oneindig veel klassen voor alle uitdrukkingen die reële waarde nul hebben. En daar zitten ook weer een aantal dezelfde tussen. Zo lijkt mij dat
\((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ 5 \ \diamondsuit \ 0\)
twee inwisselbare formele getallen zijn, aangezien \(2 \ \clubsuit \ 3 \ \heartsuit \ 5\)
en ik mag links en rechts \(\diamondsuit \ 0\)
doen. Toch? Idem zou\(((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 0) \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ (5 \ \diamondsuit \ 0) \ \diamondsuit \ 0\)
(etc).Dan is de vraag of je commutativiteit wil voor
\(\clubsuit\)
en \(\diamondsuit\)
. Waarom zou je dat niet willen? Waarom zou je onderscheid willen maken tussen \(2 \ \diamondsuit \ 0\)
en \(0 \ \diamondsuit \ 2\)
? Wil je dat?Tot zo ver weer even. PS Is er een ezelsbruggetje waarmee ik kan onthouden welke van
\(\clubsuit\)
en \(\diamondsuit\)
de plus is en welke de maal?-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Ik krijg graag zulke vragen en reacties, omdat ik dan weet wat beter moet worden uitgelegd.Erik Leppen schreef: ↑ma 27 aug 2012, 18:39
Niet alleen dat, maar je gaat ook heel snel. Ik vind de theorie namelijk heel interessant, maar ik kan je alléén volgen als ik er ontzettend veel tijd in steek. Ik vind dat zelf jammer, want ik zou graag meedenken, maar heb niet alle tijd die ik nodig heb om al je definities eigen te maken.
Dus dank Marko voor deze vraag, en dank Bartjes voor het antwoord.
Klopt. Alleen zie ik nog niet in dat je de stap met die stukjes kan overslaan. In definitie 7. wordt dat netjes geregeld. Volgens mij mag je wiskundige objecten die identiek zijn in uitdrukkingen zonder meer vervangen, en moet je voor alle andere substituties eerst bewijzen dat het geen kwaad kan. Maar mogelijk zie ik dit verkeerd? (Zodra we door middel van equivalentieklassen uit de formele getallen metaformele getallen gevormd hebben, kan je wel probleemloos substitueren omdat daarbij de gelijkheid en identiteit samenvallen - d.w.z.: gelijke equivalentieklassen zijn identiek.)Je eerste definitie van formele getallen als rekenkundige uitdrukkingen is wat mij betreft goed. De idee van reële waarde vind ik ook vanzelfsprekend, niets meer aan doen. De eerste equivalentierelatie die op natuurlijke wijze opkomt is door te zeggen\(A \ \heartsuit \ B \Longleftrightarrow rw(A) = rw(B)\). Je krijgt dan een 1:1-relatie (bijectie) tussen de equivalentieklassen van die relatie en de reële getallen. Dat is fijn, dan weet je dat je systeem werkt. Je hebt eigenlijk een groep gedefinieerd waarvan het quotiënt door die relatie, de verzameling reële getallen is.
Maar het is niet wat je wil. Dus is de volgende logische stap\( A \ \heartsuit \ B \Longleftrightarrow rw(A) \neq 0 \wedge rw(B) \neq 0 \wedge rw(A) = rw(B)\). En dat is jouw inwisselbaarheid. En dat heb je vast niet zomaar inwisselbaarheid genoemd. Blijkbaar mag je deze dingen (altijd?) voor elkaar inwisselen. En dan mag je ze (zo begrijp ik) ze dus ook voor elkaar inwisselen als ze onderdeel zijn van een grotere uitdrukking (volgens mij is dat dat hele verhaal dat jij omschrijft met die "stukjes"). Dus ik zou nu concluderen dat, bijvoorbeeld
\((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 7 \ \heartsuit \ 5 \ \diamondsuit \ 7\), want\(2 \ \clubsuit \ 3 \ \heartsuit \ 5\)en ik mag links en rechts hetzelfde doen (in dit geval\(\diamondsuit \ 7\)doen).
Die haakjes staan er vooral voor de veiligheid omdat er voor de formele getallen op zich geen rekenregels gelden. Maar wanneer je ze weg wilt laten waar dat geen kwaad kan, heb ik daar geen problemen mee. Verder is een formeel getalDe haakjes die jij overal zet laat ik weg, omdat ze de formules erg onrustig te lezen maken, en volgens mij niet echt een functie hebben. Met "geen functie" bedoel ik dan dat je de verzameling formele getallen zou kunnen zien als een uitbreiding op de reële getallen - in de meer letterlijke zin dat R een deelverzameling is van\(\mathcal{F}\). En zelfs als je dat niet wil, kun je de uitdrukking bestaande uit maar één element, bijvoorbeeld het formele getal\(7\), best stilzwijgend gelijkstellen aan zijn reële waarde\(rw(7) = 7\), waarbij de linker 7 een formeel getal is en de rechter 7 een reëel getal. Dat er eigenlijk een functie rw op wordt toegepast wordt dan impliciet gehouden. Het strak axiomatiseren kan dan volgens mij ook later wel.
\( a \)
met a een reëel getal ook inderdaad zelf een reëel getal. Dat is ook al zo volgens definitie 1.Begrijp ik het goed dat je de overeenkomstigheidEen leuke vraag is wat je "quotiëntruimte" nu is onder inwisselbaarheid. Je hebt voor elk reële getal ongelijk aan nul nog steeds één equivalentieklasse - die zou je kunnen aanduiden met dat reële getal zelf, of, dus, met het formele getal dat bestaat uit alleen dat reële getal. Maar naast al deze klassen heb je nog oneindig veel klassen voor alle uitdrukkingen die reële waarde nul hebben. En daar zitten ook weer een aantal dezelfde tussen. Zo lijkt mij dat
\((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ 5 \ \diamondsuit \ 0\)twee inwisselbare formele getallen zijn, aangezien\(2 \ \clubsuit \ 3 \ \heartsuit \ 5\)en ik mag links en rechts\(\diamondsuit \ 0\)doen. Toch? Idem zou
\(((2 \ \clubsuit \ 3) \ \diamondsuit \ 0) \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ (5 \ \diamondsuit \ 0) \ \diamondsuit \ 0\)(etc).
\( \heartsuit_o \)
en de tamelijke overeenkomstigheid \( \heartsuit_{to} \)
overbodig vindt? Raken de "commutativiteit" en "distributiviteit" voor nulwaardige formele getallen dan niet in de verdrukking?De commutativiteit en distributiviteit worden door middel van de overeenkomstigheidsrelatie hersteld. De associativiteit niet, dat is in combinatie met de commutativiteit en distributiviteit (waarschijnlijk) een brug te ver. Als de gelijkenis met de reële getallen te groot wordt, kan je geen verschillende nullen meer hebben.Dan is de vraag of je commutativiteit wil voor\(\clubsuit\)en\(\diamondsuit\). Waarom zou je dat niet willen? Waarom zou je onderscheid willen maken tussen\(2 \ \diamondsuit \ 0\)en\(0 \ \diamondsuit \ 2\)? Wil je dat?
Die is simpel:Tot zo ver weer even. PS Is er een ezelsbruggetje waarmee ik kan onthouden welke van\(\clubsuit\)en\(\diamondsuit\)de plus is en welke de maal?
\(\clubsuit\)
is een gestileerde plus en \(\diamondsuit\)
een groot uitgevallen punt.-
Erik Leppen
- Artikelen: 0
- Berichten: 373
- Lid geworden op: za 05 mei 2007, 11:41
Re: Formele en metaformele getallen
Volgens mij heb je gelijk. Alleen vraag ik me af of alles netjes en sluitend krijgen nu handig is. Ik kreeg de indruk dat jij zelf ook nog zoekende bent naar waar alles toe leidt. Ik denk dat het dan nú handiger is om wat intuïtiever te werk te gaan, met het risico op fouten, dan dat alles héél rigoreus gaat wat heel veel extra tijd kost (en wat ervoor zorgt dat veel WSF'ers afhaken).Bartjes schreef: ↑ma 27 aug 2012, 19:57
Klopt. Alleen zie ik nog niet in dat je de stap met die stukjes kan overslaan. In definitie 7. wordt dat netjes geregeld. Volgens mij mag je wiskundige objecten die identiek zijn in uitdrukkingen zonder meer vervangen, en moet je voor alle andere substituties eerst bewijzen dat het geen kwaad kan. Maar mogelijk zie ik dit verkeerd? (Zodra we door middel van equivalentieklassen uit de formele getallen metaformele getallen gevormd hebben, kan je wel probleemloos substitueren omdat daarbij de gelijkheid en identiteit samenvallen - d.w.z.: gelijke equivalentieklassen zijn identiek.)
Anders gezegd, ontwikkel eerst die theorie maar
dan kun je 'm daarna mooi wiskundig uitschrijven.Maar goed 't is natuurlijk ook jouw keuze en misschien is mijn aanpak wel helemaal niet handig
Niet "overbodig", maar ik heb het idee dat het tussenstappen zijn. Volgens mij is de gedachte achter dit alles om een rekenmodel te maken voor wat je wel en niet mag substitueren. Persoonlijk vind ik een top-downbenadering prettiger dan een bottom-upbenadering. Daarmee bedoel ik: ik vind het zelf goed om eerst een intuïtief beeld te hebben van wat je wel en niet wil toestaan, om dat dan later te formaliseren. DieBegrijp ik het goed dat je de overeenkomstigheid\( \heartsuit_o \)en de tamelijke overeenkomstigheid\( \heartsuit_{to} \)overbodig vindt? Raken de "commutativiteit" en "distributiviteit" voor nulwaardige formele getallen dan niet in de verdrukking?
\(\heartsuit_o\)
en \(\heartsuit_{to}\)
zijn volgens mij onderdelen van dat formaliseren, om uiteindelijk uit te komen op een "mooie" en relatief eenvoudig te hanteren operator voor wat je "equivalent" wil noemen in je nieuwe getallensysteem.En nu ik teruglees zie ik ook dat ik symbolen door elkaar heb gehaald...inwisselbaar is
\(\spadesuit\)
. Excuus voor eventuele verwarring! Nou moet ik ook zeggen dat als ik er zo over nadenk, mij eigenlijk ook niet echt duidelijk is waarom je naar twee equivalentierelaties toe lijkt te werken: \(\heartsuit\)
en \(\spadesuit\)
. De gedachte achter \(\spadesuit\)
(inwisselbaarheid) lijkt dat je in een willekeurige uitdrukking het gedeelte \(a\)
mag vervangen door \(b\)
dan en slechts dan als \(a \ \spadesuit \ b\)
. Wat is de gedachte achter \(\heartsuit\)
?Het verschil komt ook omdat ik als voor een heel technisch verhaal gewoon wat tijd nodig heb. Je getallenverhaal kan ik nog volgen terwijl ik het lees, maar zodra je over die stukjes begint (onderdeel 6 in post #99) wordt het mij te ingewikkeld zonder er eerst een hoorcollege van twee uur en tien opgaven over te hebben gemaakt
En dat komt volgens mij doordat mij niet duidelijk is wat de achterliggende gedachte is. Daarnaast heb ik als ik jouw berichten lees, ook al kan ik dat helemaal niet onderbouwen, soms een onderbuikgevoel "dit moet toch eenvoudiger kunnen"...Mijn gevoel zegt dat je dit ook wel associatief zou moeten kunnen maken. Immers bestaat je hele systeem volgens mij uit het idee "onthoud de rekenkundige bewerkingen die leiden tot een getal" en in die rekenkundige bewerkingen geldt associativiteit. Maar misschien krijg je anders inderdaad problemen metDe commutativiteit en distributiviteit worden door middel van de overeenkomstigheidsrelatie hersteld. De associativiteit niet, dat is in combinatie met de commutativiteit en distributiviteit (waarschijnlijk) een brug te ver.
\((1 \ \clubsuit \ -1) \ \clubsuit \ 1\)
of zoiets, omdat je \(1 \ \clubsuit \ -1\)
niet door 0 mag vervangen.Het is mij nog niet helemaal duidelijk wélke verschillende nullen je allemaal wil hebben. Zeg maar, wat er allemaal verschillend moet blijven en wat er equivalent mag worden.Als de gelijkenis met de reële getallen te groot wordt, kan je geen verschillende nullen meer hebben.
- Ik neem aan dat \(0 \ \diamondsuit \ 0 \not \! \heartsuit \ 0\)Want "0 x 0" is een "dubbel nulpunt". (Hm... "niet-hartje" wordt niet mooi gerenderd)
- Is \(1 \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ 0\)? Het is een soort "1 keer 0".
- Is \(0 \ \clubsuit \ 0 \ \heartsuit \ 0\)? Is 0 plus 0 iets anders dan gewoon 0?
- Is \(0 \ \clubsuit \ 0 \ \heartsuit \ 2 \ \diamondsuit \ 0\)? Is 0 + 0 hetzelfde als 2 * 0?
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Hier staan de axioma's waaraan ik de metaformele getallen wil laten voldoen, plus wat eerste resultaten die uit die axioma's kunnen worden afgeleid:
http://www.wetenscha...van-resultaten/
Dat de metaformele getallen daar inderdaad aan voldoen moet ik nog netjes bewijzen, maar omdat de axioma's op de metaformele getallen geïnspireerd zijn heb ik daar wel vertrouwen in.
Wat nog niet voor elkaar is, is de vraag of en zo ja wanneer je bij metaformele getallen nullen mag wegstrepen. Helaas is dat een kwestie die niet op basis van de huidige axioma's alleen kan worden opgelost. Ik heb namelijk al een model gevonden dat aan die axioma's voldoet maar waarbij het wegstrepen van nullen niet opgaat. Zie:
http://www.wetenscha...post__p__918179
Vandaar dat het bewijs waar ik nu al een tijd mee bezig ben zo belangrijk is voor de verdere ontwikkeling van dit systeem.
http://www.wetenscha...van-resultaten/
Dat de metaformele getallen daar inderdaad aan voldoen moet ik nog netjes bewijzen, maar omdat de axioma's op de metaformele getallen geïnspireerd zijn heb ik daar wel vertrouwen in.
Wat nog niet voor elkaar is, is de vraag of en zo ja wanneer je bij metaformele getallen nullen mag wegstrepen. Helaas is dat een kwestie die niet op basis van de huidige axioma's alleen kan worden opgelost. Ik heb namelijk al een model gevonden dat aan die axioma's voldoet maar waarbij het wegstrepen van nullen niet opgaat. Zie:
http://www.wetenscha...post__p__918179
Vandaar dat het bewijs waar ik nu al een tijd mee bezig ben zo belangrijk is voor de verdere ontwikkeling van dit systeem.
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Zie stelling 25. van onderstaande pdf:Erik Leppen schreef: ↑ma 27 aug 2012, 21:17
Het is mij nog niet helemaal duidelijk wélke verschillende nullen je allemaal wil hebben. Zeg maar, wat er allemaal verschillend moet blijven en wat er equivalent mag worden.
NB "ik weet het nog niet" is ook een geldig antwoord
- Ik neem aan dat
\(0 \ \diamondsuit \ 0 \not \! \heartsuit \ 0\)Want "0 x 0" is een "dubbel nulpunt". (Hm... "niet-hartje" wordt niet mooi gerenderd)- Is
\(1 \ \diamondsuit \ 0 \ \heartsuit \ 0\)? Het is een soort "1 keer 0".- Is
\(0 \ \clubsuit \ 0 \ \heartsuit \ 0\)? Is 0 plus 0 iets anders dan gewoon 0?- Is
\(0 \ \clubsuit \ 0 \ \heartsuit \ 2 \ \diamondsuit \ 0\)? Is 0 + 0 hetzelfde als 2 * 0?
http://www.wetenscha...&attach_id=9135
Daarmee zijn de eerste drie voorbeelden beslist. Het laatste formele getal kan ook alleen gelijkaardig is aan zichzelf zijn, je kan immers noch via de (tamelijke) inwisselbaarheid noch via de (tamelijke) overeenkomstigheid op iets anders uitkomen.
-
Erik Leppen
- Artikelen: 0
- Berichten: 373
- Lid geworden op: za 05 mei 2007, 11:41
Re: Formele en metaformele getallen
Uit de pdf wordt wel weer iets meer duidelijk. De metaformele getallen zijn dus gewoon de equivalentieklassen van de formele getallen onder
\(\heartsuit\)
. Mag ik daaruit afleiden dat het hele idee van formele getallen een tussenstap is en dat de metaformele getallen de objecten zijn waar je eigenlijk naar op zoek bent?Mag ik ook afleiden dat ook
\(\spadesuit\)
een tussenstap is, en dat \(\heartsuit\)
de relatie is waar het uiteindelijk allemaal om draait?En klopt het dat de metaformele getallen bestaan uit precies één exemplaar voor elk reëel getal ongelijk aan nul, plus een hele collectie aan rekenkundige uitdrukkingen met reële waarde nul?
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Je zou kunnen zeggen dat heel het bouwwerk zo gegroeid is, omdat ik bij de uitwerking van het basisidee (een systeem met meerdere nullen waarin delen door nul mogelijk is) steeds op nieuwe moeilijkheden stootte. Hoe dat precies gegaan is heb ik ook zelf niet meer paraat, maar het is voor een groot deel hier op het Wetenschapsforum terug te vinden door de opeenvolgende en parallelle topics daaromtrent achterwaarts na te lopen. Ik ga dat zelf niet meer doen omdat mijn hoofd dan helemaal omloopt. Ook ben ik niet blij met de brij aan technische finesses die ik gaandeweg heb moeten introduceren, maar op het moment zie ik geen andere mogelijkheid. Dat het op een simpele manier kan is ook niet zo waarschijnlijk omdat een dergelijk systeem dan allang bekend zou zijn. Of mijn huidige systeem al bekend is weet ik niet, en mijn grootste vrees is nu dat ik met de herontdekking bezig ben van iets dat door anderen al eerder uitgewerkt is.Erik Leppen schreef: ↑di 28 aug 2012, 16:27
Uit de pdf wordt wel weer iets meer duidelijk. De metaformele getallen zijn dus gewoon de equivalentieklassen van de formele getallen onder\(\heartsuit\). Mag ik daaruit afleiden dat het hele idee van formele getallen een tussenstap is en dat de metaformele getallen de objecten zijn waar je eigenlijk naar op zoek bent?
Klopt helemaal!Mag ik ook afleiden dat ook\(\spadesuit\)een tussenstap is, en dat\(\heartsuit\)de relatie is waar het uiteindelijk allemaal om draait?
Ook juist: zie 32. t/m 35. van de pdf. De grote vraag is nu welke nulwaardige formele getallen al dan niet gelijkaardig zijn. Eigenlijk is het systeem wat de grondslagen betreft dus al af, en gaat het er nu om de basiseigenschappen (rekenregels) af te leiden zodat we er ook praktisch mee uit de voeten kunnen.En klopt het dat de metaformele getallen bestaan uit precies één exemplaar voor elk reëel getal ongelijk aan nul, plus een hele collectie aan rekenkundige uitdrukkingen met reële waarde nul?
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Bartjes schreef: ↑wo 22 aug 2012, 19:59
9. We noemen het formele getal\( A \)alleen tamelijk gelijkaardig aan het formele getal\( B \)- genoteerd als\( A \, \heartsuit_t \, B \)- wanneer er formele getallen\( E \)en\( F \)en een semiformeel getal\( G \langle \, \rangle \)bestaan zodat:
\( A \, = \, G \langle E \rangle \,\,\,\,\,\,\,\, \& \,\,\,\,\, B \, = \, G \langle F \rangle \,\,\,\,\,\,\, \& \,\,\,\,\,\,\, E \spadesuit F \, \vee E \, \heartsuit_o \, F \).
Waardoor:
\( A \, \heartsuit_t \, B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, A \, \heartsuit_{ti} \, B \,\, \vee A \, \heartsuit_{to} \, B \,\, \).
10. We noemen het formele getal A alleen gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als\( A \, \heartsuit \, B \)- indien er een eindige rij formele getallen
\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)bestaat zodat:
\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)en:
\( A = E_1 \,\,\,\,\,\, \& \,\,\,\, B = E_n \).
Bartjes schreef: ↑vr 24 aug 2012, 16:31
17. Voor alle formele getallen\( A \)en\( B \)geldt:
\( A \, \heartsuit_{ti} \, B \,\,\,\,\, \& \,\,\,\, \mbox{slot}(A) \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \mbox{gev}(A) = \mbox{gev}(B) \).
In het licht van bovenstaande zou het 't mooiste zijn wanneer we kunnen bewijzen dat:Bartjes schreef: ↑zo 26 aug 2012, 13:46
19. Voor alle formele getallen\( A \)en\( B \)geldt:
\( A \, \heartsuit_{to} \, B \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \mbox{gev}(A) = \mbox{gev}(B) \).
\( A \, \heartsuit_{t} \, B \,\,\,\,\, \& \,\,\,\, \mbox{slot}(A) \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \mbox{slot}(B) \)
.Dan wordt indien
\( A = E_1 \)
gesloten is, deze geslotenheid aan alle termen van de rij (zie 10.):\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)
tot en met de laatste term \( B = E_n \)
doorgegeven. En dan zouden we hebben:\( A \, \heartsuit \, B \,\,\, \& \,\,\, \mbox{slot}(A) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \mbox{gev}(A) = \mbox{gev}(B) \)
.Maar helaas gaat deze vlieger niet op, en ligt de zaak ingewikkelder. Er geldt namelijk:
\( ((1)\clubsuit(-1)) \, \diamondsuit \, ((1)\clubsuit(-1)) \,\,\,\, \heartsuit_{to} \,\,\,\, (((1)\clubsuit(-1))\diamondsuit(1)) \,\, \clubsuit \,\, (((1)\clubsuit(-1))\diamondsuit(-1)) \)
.Zoals men ziet is het linker formele getal gesloten, maar het rechter niet! En zo zijn het opnieuw de “balsturige” elementen
\( (a)\clubsuit(-a) \)
met a [ongelijk] 0 die roet in het eten gooien. Voor het vervolg van de bewijsvoering zullen we hier een mouw aan moeten passen.-
Erik Leppen
- Artikelen: 0
- Berichten: 373
- Lid geworden op: za 05 mei 2007, 11:41
Re: Formele en metaformele getallen
Met bericht #115 kan ik nog niet zo veel omdat het heel technisch is en over een veel verder gevorderd stuk van de theorie gaat - ik heb geen enkele intuïtie voor wat slot() en gev() zijn.
Ik denk dat het handig is om de lijn die Marko aanraadde te blijven volgen, omdat het verleden van onder andere deze topic laat zien dat een ontzettend technisch verhaal vaak op een monoloog uitdraait. Hoewel je dat voor je eindproduct wellicht wel wil, is dat volgens mij nu niet handig.
Verder blijf ik maar vragen stellen in de hoop er meer van te begrijpen.
Wat betreft #114.
Stel ik begin met
Klopt dit?
Want dat zou wel betekenen dat je alle informatie die "in de nul zit" verliest zodra je één optelt. Ik weet niet of dat wenselijk is, maar het zou wel volgen uit je verhaal, volgens mij. Want als
Ik denk dat het handig is om de lijn die Marko aanraadde te blijven volgen, omdat het verleden van onder andere deze topic laat zien dat een ontzettend technisch verhaal vaak op een monoloog uitdraait. Hoewel je dat voor je eindproduct wellicht wel wil, is dat volgens mij nu niet handig.
Verder blijf ik maar vragen stellen in de hoop er meer van te begrijpen.
Wat betreft #114.
Volgens mij is het nu zo dat uitdrukkingen altijd kunt vervangen door hun reële waarde zodra die niet nul is. Als ik daar van uit ga, kan ik echter volgens mij "nullen laten verdwijnen", als volgt:Bartjes schreef: ↑di 28 aug 2012, 19:06
De grote vraag is nu welke nulwaardige formele getallen al dan niet gelijkaardig zijn. Eigenlijk is het systeem wat de grondslagen betreft dus al af, en gaat het er nu om de basiseigenschappen (rekenregels) af te leiden zodat we er ook praktisch mee uit de voeten kunnen.
Stel ik begin met
\(((2 \ \diamondsuit \ 3) \ \clubsuit \ -6) \ \clubsuit \ 1\)
dan mag ik \(2 \ \diamondsuit \ 3\)
inwisselen voor 6. Omdat \(6 \ \clubsuit \ -6 \ \heartsuit \ 0\)
, mag ik dit niet inwisselen voor iets anders. Maar de hele uitdrukking is volgens mij inwisselbaar met 1, want de reële waarde is 1.Klopt dit?
Want dat zou wel betekenen dat je alle informatie die "in de nul zit" verliest zodra je één optelt. Ik weet niet of dat wenselijk is, maar het zou wel volgen uit je verhaal, volgens mij. Want als
\(((2 \ \diamondsuit \ 3) \ \clubsuit \ -6) \ \clubsuit \ 1 \ \heartsuit \ 1\)
is dan niet ook\((((2 \ \diamondsuit \ 3) \ \clubsuit \ -6) \ \clubsuit \ 1) \ \clubsuit \ -1 \ \heartsuit \ 1 \ \clubsuit \ -1\)
Tensotte wat ik in de laatste doe om van links naar rechts te komen is het stukje \(((2 \ \diamondsuit \ 3) \ \clubsuit \ -6) \ \clubsuit \ 1\)
vervangen door zijn reële waarde 1. Effectief heb ik het hele stuk \((2 \ \diamondsuit \ 3) \ \clubsuit \ -6\)
kunnen weggooien. Dat had ik niet kunnen doen als er niet nog een \(\clubsuit \ 1 \ \clubsuit \ -1\)
bij had gestaan. Ik weet niet wat voor gevolgen het heeft dat dat nu wel kan en anders niet, en ik weet ook niet of het wel of niet logisch is, maar klopt het dat het zo is?-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Inderdaad kan je alle nullen in een uitdrukking "weggooien" als deze uitdrukking als geheel een reële waarde ongelijk nul heeft. Deze hele uitdrukking is dan immers gelijkaardig aan die reële waarde zelf. Dat volgt uit de (tamelijke) inwisselbaarheid en uit de rol die deze in de gelijkaardigheid speelt.
Wat wil je dat ik voor "slot" en "gev" uitleg?
Wat wil je dat ik voor "slot" en "gev" uitleg?
Ik hoop niet dat dat zo blijkt te zijn. Omdat
\(6 \ \clubsuit \ -6 \)
zich tot op grote hoogte als een normale nul gedraagt, zou daarmee veel interessants van het systeem verloren gaan. -
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Die vrees is ongegrond, immers volgens stelling 25. uit onderstaande pdf is het formele getal 0 alleen gelijkaardig aan het formele getal 0 zelf:Bartjes schreef: ↑do 30 aug 2012, 08:15
Ik hoop niet dat dat zo blijkt te zijn. Omdat\(6 \ \clubsuit \ -6 \)zich tot op grote hoogte als een normale nul gedraagt, zou daarmee veel interessants van het systeem verloren gaan.
http://sciencetalk.nl/forum/index.php?app=core&module=attach§ion=attach&attach_id=9135
Verder is het mij inmiddels duidelijk dat een volgende versie van die pdf een uitgebreide inleiding moet bevatten waarin de bedoeling en achtergronden van dit systeem in verhalende vorm worden uiteengezet.
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Is onderstaande een begrijpelijke toelichting? Zo ja - dan kan ik dat ook voor de andere definities doen.
Voorbeelden van gelijkheden en ongelijkheden tussen formele getallen:
Deze voorbeelden maken ook duidelijk waarom het handig is met de kaartsymbolen in plaats van de gebruikelijke + en . te werken. (Ezelsbruggetje: de
Later vormen we uit de formele getallen equivalentieklassen waarmee wel gerekend kan worden, die equivalentieklassen zijn dan de [/size]metaformele getallen. Voordat we de metaformele getallen daadwerkelijk introduceren definiëren we een aantal opeenvolgende relaties voor de formele getallen die hun bekroning vinden in de gelijkaardigheidsrelatie, wat ook inderdaad een equivalentierelatie is. De bedoeling van al deze relaties is om ervoor te zorgen dat de metaformele getallen fraaie eigenschappen krijgen. Daarbij moeten we wel heel behoedzaam te werk gaan omdat het ons erom te doen is een systeem te scheppen dat meerdere nullen bevat. Als ons systeem al te veel op dat van de reële getallen gaat lijken, kunnen er net als in het systeem van de reële getallen ook niet langer meerdere nullen bestaan.
Zoals bekend is er onder de reële getallen maar één getal nul: namelijk 0. Onder de formele getallen zijn er oneindig veel als een "nul" te typeren getallen. Bijvoorbeeld:
Het mooie is dat je aan deze formele getallen ook nog kan zien hoe ze gevormd zijn. Dat hebben we nodig om zoiets als delen door nul te kunnen realiseren. Aan de andere kant willen we ook met die getallen kunnen rekenen, en daarom zijn we met de formele getallen alleen nog niet klaar. Bij het vormen van de metaformele getallen als equivalentieklassen van formele getallen krijgen de formele getallen de status van representanten van metaformele getallen. Via die omweg kan er dan toch met de formele getallen gerekend worden. En sommige "nullen" onder de formele getallen zullen blijken hetzelfde metaformele getal te representeren, terwijl andere "nullen" verschillende metaformele getallen representeren. [/size]
(Hoe dat met die verschillende “nullen” precies gaat uitpakken is op dit moment nog niet duidelijk.)
Voorbeelden van formele getallen:
1. De formele getallen definiëren we als volgt:
i. Alle reële getallen zijn formele getallen.
ii. Als\( A \)en\( B \)formele getallen zijn dan is\( (A) \clubsuit (B) \)dat ook.
iii. Als\( A \)en\( B \)formele getallen zijn dan is\( (A) \diamondsuit (B) \)dat ook.
iv. Alleen die getallen zijn formele getallen die dat volgens een of meer van de bovenstaande drie regels zijn.
De formele getallen zijn dus formele uitdrukkingen bestaande uit reële getallen met eventueel nog haakjes en klaveren- en ruiten-tekens volgens de bovenstaande vier regels. We noemen formele getallen alleen dan identiek wanneer ze bestaan uit hetzelfde rijtje opeenvolgende tekens. Hoe de reële getallen in een formeel getal genoteerd worden doet hier niet ter zake, het gaat ons waar het de reële getallen betreft alleen om hun waarde. Alleen identieke formele getallen\( A \)en\( B \)noemen we ook gelijk (genoteerd als\( A = B \)). De verzameling der formele getallen geven we weer als\(\mathfrak{F}\).
\( 55 \)
,\( (9) \clubsuit (0) \)
,\( (2,999) \diamondsuit (7/8) \)
,\( ((\pi) \clubsuit (1 + \sqrt{3})) \diamondsuit (-2) \)
.Voorbeelden van gelijkheden en ongelijkheden tussen formele getallen:
\( 55 \neq (54)\clubsuit (1) \)
,\( (9) \clubsuit (0) = (9) \clubsuit (0) \)
,\( (9) \clubsuit (0) \neq (0) \clubsuit (9) \)
,\( (2,999) \diamondsuit (7/8) = (2,999) \diamondsuit (0,875) \)
,\( ((\pi) \clubsuit (1 + \sqrt{3})) \diamondsuit (-2) = ((\pi) \clubsuit (\sqrt{3} \, + \, 1)) \diamondsuit (-1.2) \)
.Deze voorbeelden maken ook duidelijk waarom het handig is met de kaartsymbolen in plaats van de gebruikelijke + en . te werken. (Ezelsbruggetje: de
\( \clubsuit \)
is een gestileerde plus, de \( \diamondsuit \)
een groot uitgevallen punt.) Zo zie je aan de symbolen al wat formele getallen zijn en wat reële (en welke getallen zowel reëel als formeel zijn). Maar ik kan mij ook voorstellen dat andere mensen voor het gemak liever overal met plus- en punttekens werken, en een dubbelzinnigheid hier en daar op de koop toe nemen. Dat is dus ten dele een kwestie van smaak. Voor de haakjes geldt hetzelfde. De haakjes gebruik ik omdat er in dit beginstadium van de theorie voor de formele getallen nog geen rekenregels gelden, deze getallen zijn in eerste instantie als zuiver formele uitdrukkingen op te vatten.Later vormen we uit de formele getallen equivalentieklassen waarmee wel gerekend kan worden, die equivalentieklassen zijn dan de [/size]metaformele getallen. Voordat we de metaformele getallen daadwerkelijk introduceren definiëren we een aantal opeenvolgende relaties voor de formele getallen die hun bekroning vinden in de gelijkaardigheidsrelatie, wat ook inderdaad een equivalentierelatie is. De bedoeling van al deze relaties is om ervoor te zorgen dat de metaformele getallen fraaie eigenschappen krijgen. Daarbij moeten we wel heel behoedzaam te werk gaan omdat het ons erom te doen is een systeem te scheppen dat meerdere nullen bevat. Als ons systeem al te veel op dat van de reële getallen gaat lijken, kunnen er net als in het systeem van de reële getallen ook niet langer meerdere nullen bestaan.
Zoals bekend is er onder de reële getallen maar één getal nul: namelijk 0. Onder de formele getallen zijn er oneindig veel als een "nul" te typeren getallen. Bijvoorbeeld:
\( 0 \)
,\( (0)\clubsuit(0) \)
,\( (0)\diamondsuit(0) \)
,\( (0)\diamondsuit(5) \)
,\( (3)\clubsuit(-3) \)
,\( ((3)\clubsuit(-3))\diamondsuit(2) \)
.Het mooie is dat je aan deze formele getallen ook nog kan zien hoe ze gevormd zijn. Dat hebben we nodig om zoiets als delen door nul te kunnen realiseren. Aan de andere kant willen we ook met die getallen kunnen rekenen, en daarom zijn we met de formele getallen alleen nog niet klaar. Bij het vormen van de metaformele getallen als equivalentieklassen van formele getallen krijgen de formele getallen de status van representanten van metaformele getallen. Via die omweg kan er dan toch met de formele getallen gerekend worden. En sommige "nullen" onder de formele getallen zullen blijken hetzelfde metaformele getal te representeren, terwijl andere "nullen" verschillende metaformele getallen representeren. [/size]
(Hoe dat met die verschillende “nullen” precies gaat uitpakken is op dit moment nog niet duidelijk.)
-
Bartjes
- Artikelen: 0
Re: Formele en metaformele getallen
Over de haakjes in de formele getallen nog het volgende:
Er bestaan voor de formele getallen strikt genomen geen optelling en vermenigvuldiging. De haakjes die in de formele getallen voorkomen geven dan ook niet aan welke bewerkingen eerst moeten worden uitgevoerd, maar wat de structuur van die formele getallen is. Daarom heb ik door middel van definitie 1. van de formele getallen ook precies vastgelegd waar in een formeel getal de haakjes moeten staan. Die haakjes behoren immers tot de formele getallen zelf.
Dit neemt niet weg dat men voor het gemak vaak wel haakjes kan weglaten wanneer de bedoeling duidelijk is:
En
Maar
Daarom speel ik bij de theorieopbouw liever op veilig, en neem ik daarbij op de koop toe dat er in formele getallen geregeld haakjes staan die men in een verkorte notatie zou kunnen weglaten. Maar om netjes te bewijzen wanneer een verkorte notatie wel of niet is toegestaan zou je weer een boel extra theorie nodig hebben. Ik vind de zaak zo echter al ingewikkeld genoeg.
Samenvattend: men kan in de praktijk best een verkorte notatie gebruiken, zolang maar duidelijk is welk formeel getal (compleet met alle formeel daarin vereiste haakjes) er bedoeld is.
Er bestaan voor de formele getallen strikt genomen geen optelling en vermenigvuldiging. De haakjes die in de formele getallen voorkomen geven dan ook niet aan welke bewerkingen eerst moeten worden uitgevoerd, maar wat de structuur van die formele getallen is. Daarom heb ik door middel van definitie 1. van de formele getallen ook precies vastgelegd waar in een formeel getal de haakjes moeten staan. Die haakjes behoren immers tot de formele getallen zelf.
Dit neemt niet weg dat men voor het gemak vaak wel haakjes kan weglaten wanneer de bedoeling duidelijk is:
\( (1) \diamondsuit (66) \)
kan kortheidshalve ook wel als \( 1 \diamondsuit 66 \)
geschreven worden.En
\( (1) \clubsuit (-1 + 5) \)
als \( 1 \clubsuit 4 \)
.Maar
\( ((1) \clubsuit (0)) \clubsuit (234) \)
kan niet kortweg als \( 1 \clubsuit 0 \clubsuit 234 \)
geschreven worden, omdat een dergelijke notatie niet langer eenduidig is.Daarom speel ik bij de theorieopbouw liever op veilig, en neem ik daarbij op de koop toe dat er in formele getallen geregeld haakjes staan die men in een verkorte notatie zou kunnen weglaten. Maar om netjes te bewijzen wanneer een verkorte notatie wel of niet is toegestaan zou je weer een boel extra theorie nodig hebben. Ik vind de zaak zo echter al ingewikkeld genoeg.
Samenvattend: men kan in de praktijk best een verkorte notatie gebruiken, zolang maar duidelijk is welk formeel getal (compleet met alle formeel daarin vereiste haakjes) er bedoeld is.
