[wiskunde] integralen / integreren

[Andy]

\(\cos(2x)=2\cos(x)^{2}-1 \)

\(\cos(x)^2=\frac{1+\cos(2x)}{2}\)

\(\int_{0}^{\pi} \cos(x)^2 dx= \int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2} dx =\int_{0}^{\pi} 1/2 dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(2x)}{2}dx =\pi/2 + (\frac{-\sin(2 \pi)}{4}-(\frac{-\sin(2*0)}{4})=\pi/2\)

eerste stap is gewoon deraan denken, niets met integratie te maken eigenlijk

laatste stap, die cosinus is "moeilijkste" van de hele berekening denk ik... finja, eigenlijk gewoon substitutie toepassen:

\(2x = t \)

\(dx=dt/2\)

en dus

\(\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos(t)}{4}dt\)

...

mvg

Andy

[Andy]

oei, was al repliek op die

\(\cos^{2}\)

, niet ver genoeg gebladerd...

[tyhr]

bedankt voor de goede uitleg. Ik denk dat ik nu ook een beter beeld heb over je hoe de substitutie moet uitwerken

merci e

[TD]

bedankt voor de goede uitleg. Ik denk dat ik nu ook een beter beeld heb over je hoe de substitutie moet uitwerken

merci e

Graag gedaan, succes ermee.

[raintjah]

Let op met het gebruik van haakjes (dat hier dus ontbrak), a/b+c is niet hetzelfde als a/(b+c). Ik neem aan dat je de volgende integraal bedoelt:

\(\int {\frac{x}{{7 + x^4 }}dx} \)

Voor de boogtangens moeten we iets van de vorm "1+f(x)²", laten we eerst die constante al 1 maken door de 7 buiten de integraal te brengen en dan het kwadraat te vormen.

\(\int {\frac{x}{{7 + x^4 }}dx}  = \frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \frac{{x^4 }}{7}}}dx}  = \frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \left( {\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }}} \right)^2 }}dx} \)

Substitutie: \(\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }} = y \Leftrightarrow x^2  = \sqrt 7 y \Rightarrow 2xdx = \sqrt 7 dy \Leftrightarrow xdx = \frac{{\sqrt 7 }}{2}dy\)

\(\frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \left( {\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }}} \right)^2 }}dx}  = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\int {\frac{1}{{1 + y^2 }}dy}  = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\arctan y + C = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\arctan \frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }} + C\)

Moet die arctan geen bgtan zijn?

[raintjah]

Misschien een leuk vraagstuk voor jullie:

Gegeven is de kromme f(x)=x³+x³. Bepaal het gebied ingesloten door die kromme, zijn raaklijn in (2,f(2)) en de x-as.

Mijn uitkomst: 13/6 (ik weet echter niet of ze correct is)

mvg.

[Brinx]

raintjah, bedoel je

\(x^{3} + x^{3}\)

of

\(x^{3} + x^{2}\)

?

Als je toch het eerste geval bedoelt is het een wat vreemde manier van opschrijven:

\(2x^{3}\)

is dan duidelijker...

[raintjah]

x³+x²

sorry voor de onduidelijkheid

[EvilBro]

x³+x²

sorry voor de onduidelijkheid

Dan klopt je uitkomst...

[raintjah]

x³+x²

sorry voor de onduidelijkheid

Dan klopt je uitkomst...

En wat zijn jullie methodes van berekenening?

Ik heb het volgende toegepast:

\( \int_0^2 x^2+x^3 dx - \int_\frac{20}{16}^2 16x-20 dx \)

\( f(x) = 16x-20 \)

is mijn raaklijn trouwens

[TD]

Moet die arctan geen bgtan zijn?

Dat is hetzelfde, de inverse tangens

In andere talen gebruikt men niet 'boog' maar 'arc', verschillende notaties zijn:

arctan(x), atan(x), bgtan(x), tan^-1(x)

Die laatste notatie raad ik ten zeerste af (wegens mogelijk verwarring met 1/tan(x)) maar wordt meestal op rekenmachines e.d. gebruikt. Soms wordt ook tan vervangen door tg.

[raintjah]

Moet die arctan geen bgtan zijn?

Dat is hetzelfde, de inverse tangens

In andere talen gebruikt men niet 'boog' maar 'arc', verschillende notaties zijn:

arctan(x), atan(x), bgtan(x), tan^-1(x)

Die laatste notatie raad ik ten zeerste af (wegens mogelijk verwarring met 1/tan(x)) maar wordt meestal op rekenmachines e.d. gebruikt. Soms wordt ook tan vervangen door tg.

Aha! weer wat bijgeleerd. Didn't know that...

[raintjah]

Hey!

Ik was daarstrax aan het proberen om

\( \int \frac{dx}{1+x^2} = Bg\tan(x) +c \)

te bewijzen maar het schoot niet echt op..

Ik was begonnen met een goniometrische substitutie? x = cos(y) ofzo?

Mvg,

stijn.

[Antoon]

ik was aan het oefenen met intergreren, nu denk ik iets begrepen te hebben , wil iemand mij controleren?

los op:

\(\int 5e^{6x-4}dx\)

we nemen:

\(g=6x-4\)

zodat

\(\int 5e^{6x-4}dx=\int 5e^{g}dx\)

\(\frac {dg}{dx}=6 \leftrightarrow dg=6dx \leftrightarrow dx=\frac{dg}{6} \)

substitutie:

\(\int 5e^{6x^2-4x}dx=\int 5e^{g}dx=\int 5e^g \frac{dg}{6}=\frac{5}{6}\int e^{g} dg = \frac{5}{6} e^g + C = \frac{5}{6} e^{6x-4} + C\)

[TD]

Hey!

Ik was daarstrax aan het proberen om

\( \int \frac{dx}{1+x^2} = Bg\tan(x) +c \)

te bewijzen maar het schoot niet echt op..

Ik was begonnen met een goniometrische substitutie? x = cos(y) ofzo?

Om te beginnen misschien opmerken dat dit een mogelijke manier is om de inverse tangens net te definiëren, dan is er natuurlijk geen werk meer aan. Verder wordt het ook als een "standaardintegraal" beschouwt, een basisprimitieve dus.

Stel dat je het toch op een of andere manier wil 'aantonen', dan lijkt een goniometrische substitutie geen slecht idee, maar is een tangens dan niet logischer dan een cosinus? We gebruiken dan volgende gegevens, een goniometrische identiteit en de afgeleide van de tangens:

\(\left( {\tan \alpha } \right)^\prime = \sec ^2 \alpha \)

\(1 + \tan ^2 \alpha = \sec ^2 \alpha \)

Een substitutie naar tangens levert dan:

\(\int {\frac{1}{{1 + x^2 }}dx} \mathop \to \limits_{dx = \sec ^2 ydy}^{x = \tan y} \int {\frac{{\sec ^2 y}}{{1 + \tan ^2 y}}} dy = \int {\frac{{\sec ^2 y}}{{\sec ^2 y}}} dy = \int {dy} = y + C = \arctan x + C\)