zwaartekrachtveld

[jkien]

zou handig zijn als er voor Latex ook zo'n soort input tool was.

Misschien lagrida? Geen account nodig.

[wnvl1]

Daarnaast kan je aan AI ook alle gekende formules vragen in Latex. Als je vraagt om de Euler Lagrange vgl of om de Einstein veldvgl in Latex krijg je onmiddellijk.

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

Daar geen gebruik van maken zorgt voor veel tijdverlies.

[HansH]

zou handig zijn als er voor Latex ook zo'n soort input tool was.

Misschien lagrida? Geen account nodig.

\int_{0}^{2\pi}\pi*(\left( k^{2} \right)*\sqrt{cos(\alpha)}*sin\left( \alpha \right))^{2}d\alpha

maar nog geen formule in beeld dus

[Xilvo]

Je moet er natuurlijk zelf nog wel "itex" omheen zetten, waar een knop voor is.
\(\int_{0}^{2\pi}\pi*(\left( k^{2} \right)*\sqrt{cos(\alpha)}*sin\left( \alpha \right))^{2}d\alpha\)

[HansH]

waar een knop voor is.

welke knop bedoel je? een knop op het fomum of een knop in lagrida?

[Xilvo]

Knop met "itex" in "volledige bewerker & voorbeeld".

[HansH]

ok dan kunnen we nu weer terug naar de vragen:

Ik weet niet of het wel zo lastig is.
Je moet kijken waar je de massa zo effectief mogelijk kunt inzetten. Dus hoe groot is de zwaartekrachtcomponent in de x-richting vergeleken met de hoeveelheid massa op een x,y positie.
De eerste is (met d=afstand tot de oorsprong, waar P staat) is \(\frac{x}{d}\frac{1}{d^2}y\)

is dit

\(cos\left( \alpha \right)/d^{2}\)

\(\frac{1}{d^2}\) is de grootte van de kracht per massa-eenheid, \(\frac{x}{d}\) is de component van de kracht in de x-richting, \(y\) is evenredig met de hoeveelheid massa in een ring met straal y.

wat doet y hierin? situatieschets zou helpen. blijkbaar leidt dit tot een integraal via een ring?

De hoeveelheid massa in de ring is dan weer evenredig met y, daar moet je door delen, dan houd je over \(\frac{x}{d^3}\)

waarom?

Een contour met constante \(\frac{x}{d^3}\) moet dan de begrenzing zijn van de tweedimensionale doorsnee.

waarom?

dan \(\frac{d^6}{x^2}=c\)
Met c=1

wat gebeurt hier?

en waar zit ergens jouw criterium om vast te stellen dat dit de maximale zwaartekracht oplevert?

[HansH]

bovenstaande bericht is zelfde als dit bericht

onduidelijk.gif

doel is vooral om te snappen hoe de diverse methodes om tot het antwoord te komen van elkaar verschillen en hoe je dan toch op hetzelfde antwoord kunt komen. Daarom is ook de redenatie erachter essentieel om dat te kunnen volgen.

[Xilvo]

De eerste is (met d=afstand tot de oorsprong, waar P staat) is \(\frac{x}{d}\frac{1}{d^2}y\)

is dit

\(cos\left( \alpha \right)/d^{2}\)

Zonder de y, ja.

\(\frac{1}{d^2}\) is de grootte van de kracht per massa-eenheid, \(\frac{x}{d}\) is de component van de kracht in de x-richting, \(y\) is evenredig met de hoeveelheid massa in een ring met straal y.

wat doet y hierin? situatieschets zou helpen. blijkbaar leidt dit tot een integraal via een ring?

Ieder punt in het vlak staat in werkelijkheid voor een ring. De diameter van de ring is evenredig met de straal y. Dus ook de massa in die ring

De hoeveelheid massa in de ring is dan weer evenredig met y, daar moet je door delen, dan houd je over \(\frac{x}{d^3}\)

waarom?

Omdat ik de 'effectiviteit' van iedere massa wil weten, dat is de uitgeoefende kracht in de x-richting gedeeld door de massa per volume-eenheid. Die y valt er dus weer uit.

Een contour met constante \(\frac{x}{d^3}\) moet dan de begrenzing zijn van de tweedimensionale doorsnee.

waarom?

Omdat die contour een lijn is met constante effectiviteit, net als het bij jou een lijn is met constante effectiviteit.

dan \(\frac{d^6}{x^2}=c\)
Met c=1

wat gebeurt hier?

Je vergeet de formule voor d die erboven stond. Die vul ik in en werk ik uit.
Als \(\frac{x}{d^3}\) constant is, dan is ook \(\frac{d^6}{x^2}\) constant

en waar zit ergens jouw criterium om vast te stellen dat dit de maximale zwaartekracht oplevert?

Omdat ik het gebied begrens door een een lijn met constante effectiviteit. Alles daarbinnen heeft een grotere effectiviteit (= kracht in x-richting per volume-eenheid), alles erbuiten een lagere.

[HansH]

Omdat ik het gebied begrens door een een lijn met constante effectiviteit. Alles daarbinnen heeft een grotere effectiviteit (= kracht in x-richting per volume-eenheid), alles erbuiten een lagere.

die constante effectiviteit is dan feitelijk hetzelfde wat ik doe alleen alleen druk ik het uit in sinus en cosinus van de hoek. Vandaar dat jij het daar dan weer in kunt omrekenen zoals je het had laten zien.
Wat ik me alleen nog afvraag is waar in jouw procedure van aanpak ervoor gezorgd wordt dat het volume van de figuur gelijk is aan het volume van de onvervormde bol. daarvoor moet je immers het volume van de omwentelingsfiguur berekenen. dat was bij mij de vrijheidsgraad die overbleef in de schaling van x(alpha) en y(alpha)

[HansH]

In de oefening van ukster moeten we

$$2\pi G\rho \int_0^t \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr)dx$$

maximaliseren. In vergelijking met het mechanisch equivalent is er nu een extra randvoorwaarde. Het volume ligt vast. Daarom voegen we via de Lagrange multiplicator nog het volume toe om dit in rekenschap te brengen. Dit leidt tot de integraal

$$\int_0^t 2\pi G\rho \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr) + \lambda\pi R^2(x) dx - \lambda V$$

de gemaximaliseerd moet worden. Toepassen van Euler-Lagrange leidde mooi tot de oplossing. De integrand was in dit geval niet afhankelijk van de afgeleide van R(x) naar x wat de Euler Lagrange vergelijking simpeler maakte.

Maar stel even dat mijn methode klopt, dan komt daar eenduidig een simpele formule uit. Dus dan zou diezelfde formule ook uit jouw oplossing moeten komen.

ben je met jouw aanpak in staat om tot hetzelfde eindresultaat te komen als door de anderen berekend?

[Xilvo]

die constante effectiviteit is dan feitelijk hetzelfde wat ik doe alleen alleen druk ik het uit in sinus en cosinus van de hoek.

Het komt uiteindelijk op hetzelfde neer maar het is niet dezelfde methode

Vandaar dat jij het daar dan weer in kunt omrekenen zoals je het had laten zien.

Ik heb het niet in elkaar omgerekend, ik liet zien dat de formules op hetzelfde neerkomen.

Wat ik me alleen nog afvraag is waar in jouw procedure van aanpak ervoor gezorgd wordt dat het volume van de figuur gelijk is aan het volume van de onvervormde bol. daarvoor moet je immers het volume van de omwentelingsfiguur berekenen. dat was bij mij de vrijheidsgraad die overbleef in de schaling van x(alpha) en y(alpha)

Ik heb in eerste instantie de afmeting langs de x-as op 1 gesteld.
Later heb ik de inhoud berekend om te schalen naar een inhoud gelijk aan die van een bol met r=0,5.

[wnvl1]

ben je met jouw aanpak in staat om tot hetzelfde eindresultaat te komen als door de anderen berekend?

Ja, ik kom op hetzelfde uit als jullie. Begrijpen hoe Euler Lagrange werkt, gaat niet lukken aan de hand van dit forum topic. Ik heb daar ooit een heel boek over gekocht, maar het is sowieso een dik hoofdstuk in een al iets meer gevorderd boek over differentiaal en integraal rekening.

[HansH]

Ja, ik kom op hetzelfde uit als jullie. Begrijpen hoe Euler Lagrange werkt, gaat niet lukken aan de hand van dit forum topic. Ik heb daar ooit een heel boek over gekocht, maar het is sowieso een dik hoofdstuk in een al iets meer gevorderd boek over differentiaal en integraal rekening.

heb je het dan numeriek opgelost? of kun je het ook analytisch oplossen? in dat geval is het wel interessant om te zien of het mogelijk is die oplossing om te zetten naar de formules van de andere methodes.

[wnvl1]

Dat is analytisch gedaan.

Mijn oplossing kan herrekend worden tot die van jullie zoals ik hier schreef.