[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

ik was aan het oefenen met intergreren, nu denk ik iets begrepen te hebben , wil iemand mij controleren?

los op:

\(\int 5e^{6x-4}dx\)

we nemen:

\(g=6x-4\)

zodat

\(\int 5e^{6x-4}dx=\int 5e^{g}dx\)

\(\frac {dg}{dx}=6 \leftrightarrow dg=6dx \leftrightarrow dx=\frac{dg}{6} \)

substitutie:

\(\int 5e^{6x^2-4x}dx=\int 5e^{g}dx=\int 5e^g \frac{dg}{6}=\frac{5}{6}\int e^{g} dg =  \frac{5}{6} e^g + C = \frac{5}{6} e^{6x-4} + C\)

De gedachtegang is goed, ik wil wel opmerken dat je bij een substitutie best niet beide veranderlijken 'mixt'. Je gaat dus van een integraal in x over naar een integraal die volledig in de nieuwe veranderlijke staat, in jouw geval g.

\(\int {5e^{6x - 4} dx} \mathop \to \limits_{dy = 6dx}^{y = 6x - 4} \frac{5}{6}\int {e^y dy} = \frac{5}{6}e^y + C = \frac{5}{6}e^{6x - 4} + C\)

Een alternatieve manier voor eenvoudige substituties van deze aard is door aanpassing van de dx, er is dan geen extra veranderlijke nodig.

\(\int {5e^{6x - 4} dx} = \frac{5}{6}\int {e^{6x - 4} d\left( {6x - 4} \right)} = \frac{5}{6}e^{6x - 4} + C\)

Zie ook "Achter d" brengen voor meer informatie over dit laatste.

[Bert F]

Hallo,

Wat doe ik bij het volgende fout?



Dank bij voorbaat. Groeten.

[TD]

Het is in grote lijnen juist, maar inderdaad niet helemaal.

Na de eerste integraal zie ik nergens meer een integratieveranderlijke (dx), die moet bij de substitutie ook aangepast worden waardoor er correctietermen zullen bijkomen die nu dus ontbreken. Even zorgvuldig uitschrijven dus, maar veel ontbreekt er niet.

Je hoort te vinden:

\(\frac{x}{b} - \frac{{\sqrt a }}{{b^{3/2} }}\arctan \left( {\sqrt {\frac{b}{a}} x} \right) + C\)

[Bert F]

zoiets denk ik wel te kunnen vinden denk ik.

maar volgens mijn boek moet ik zoiets vinden is dat dan gelijk ik heb dat ik derive eens door elkaar gedeeld en van mekaar afgetrokken maar kreeg geen 0 of 1



Bedankt.

[EvilBro]

\(\frac{\sqrt{a}}{b^{3/2}} = \frac{\sqrt{a}}{b \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \sqrt{a}}{b \sqrt{b} \sqrt{a}} = \frac{a}{b \sqrt{a b}}\)

en

\(\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{b} \sqrt{a}}{\sqrt{a} \sqrt{a}}} = \frac{\sqrt{a b}}{a}\)

[Bert F]

maw gelijk ik had het kunnen denken maar waarom schrijven ze het in dat boek dan zo?

Groeten.

[TD]

Waarom niet? Kwestie van voorkeur...

[tyhr]

ik ben weer bezig met oefenen bij integralen en zit vast bij een makkelijk oef...

ik begin het onderliggende idee wel vast te krijgen maar soms lukt het niet zo goed als er iets voorkomt wat ik niet echt begrijp.

Zie hier de volgende integraal (ik kan nog niet in latex dus sorry ):

integraal van: [1 / (4x^2 - 15)^(1/2)] dx

Het ziet er makkelijk uit omdat je dmv van substitutie 1 / u^(1/2) kan krijgen en zo deze integraal gelijk stellen aan 2.u^(1/2)

Het probleem is het volgende: u = 4x^2 - 15 --> du = 8xdx --> dx = du/8x

Maar als ik dit in vul in de integraal blijf ik zitten met die x (van 8x), mss kan iemand me deze integraal ff oplossen en zeggen wat je precies moet doen?

Alvast bedankt!

[TD]

Deze integraal is onder andere te bepalen mbv een goniometrische substitutie, ben je daar reeds mee bekend?

[StrangeQuark]

Wat je in LateX moet intoetsen is:

[ tex]int sqrt{frac{1}{4x^2 - 15}} [ /tex]

Dan ziet het er zo uit:

\(\int \sqrt{\frac{1}{4x^2 - 15}} \)

Dus voor een integraal teken: int (dat kan je wel onthouden. )

Voor een macht kan je doen ^{1/2} maar je kan ook gewoon sqrt{je breuk} intoetsen.

Voor een breuk doe je frac{a}{b} om

\(\frac{a}{b}\)

te krijgen.

Dus heel simpel is het eigenlijk.

[raintjah]

Deze integraal is onder andere te bepalen mbv een goniometrische substitutie, ben je daar reeds mee bekend?

Ik heb hem dat artikel van jouw op MSN gegeven

[raintjah]

ik ben weer bezig met oefenen bij integralen en zit vast bij een makkelijk oef...

ik begin het onderliggende idee wel vast te krijgen maar soms lukt het niet zo goed als er iets voorkomt wat ik niet echt begrijp.

Zie hier de volgende integraal (ik kan nog niet in latex dus sorry ):

integraal van: [1 / (4x^2  - 15)^(1/2)] dx  

Het ziet er makkelijk uit omdat je dmv van substitutie 1 / u^(1/2) kan krijgen en zo deze integraal gelijk stellen aan 2.u^(1/2)

Het probleem is het volgende:  u = 4x^2 - 15   --> du = 8xdx  --> dx = du/8x

Maar als ik dit in vul in de integraal blijf ik zitten met die x (van 8x), mss kan iemand me deze integraal ff oplossen en zeggen wat je precies moet doen?

Alvast bedankt!

\(\int \frac{1}{\sqrt{4(x^2-\frac{15}{4})}}dx\)

dat zou al kunnen helpen..?

Als je dan de volgende formule gebruikt:

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+k}}dx = \ln|x+\sqrt{x²+k}|+c\)

[TD]

Tja, formuletjes gebruiken...

[raintjah]

Voor de echte wiskundeknobbels onder jullie, ik vond deze oefeningen in mijn handboek van 6U wiskunde ASO. Een oplossing staat er niet bij. (Oplossing te controleren met wiskundesoftware)

1.

\( \int (\sqrt[6]{\frac{x}{x-2}} - \sqrt[4]{\frac{x}{x-2}})\frac{dx}{x²-2x}\)

[TD]

Leuke opgave. Je kunt het in één keer doen (een substitutie, neem dan een macht (1/12)) maar voor de eenvoud ga ik de integraal in twee splitsen en enkel de eerste tonen, de tweede is analoog. We hebben immers:

\(\int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - \sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2 - 2x}}} dx = \int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2 - 2x}}} dx - \int {\frac{{\sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2 - 2x}}} dx\)

Ik ga verder met de eerste en substitueer:

\(y = \sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} \Leftrightarrow y^6 = \frac{x}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{{2y^6 }}{{y^6 - 1}} \Leftrightarrow dx = - \frac{{12y^5 }}{{\left( {y^6 - 1} \right)^2 }}dy\)

Bovendien geldt hiermee (voor de noemer):

\(x^2 - 2x \to \left( {\frac{{2y^6 }}{{y^6 - 1}}} \right)^2 - 2\left( {\frac{{2y^6 }}{{y^6 - 1}}} \right) = \frac{{4y^6 }}{{\left( {y^6 - 1} \right)^2 }}\)

We vullen alles in en integreren eenvoudig:

\(\int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2 - 2x}}} dx = \int {\frac{y}{{\frac{{4y^6 }}{{\left( {y^6 - 1} \right)^2 }}}}} \frac{{ - 12y^5 }}{{\left( {y^6 - 1} \right)^2 }}dy = \int {\frac{{ - 12y^6 }}{{4y^6 }}} dy = - 3\int {dy} = - 3y + C\)

We substitueren terug en vinden volgend resultaat (ook voor de volledige integraal, op analoge wijze vind je een factor 2 voor de 4^e-machtswortel).

\( - 3y + C \to - 3\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} + C \Rightarrow \int {\frac{{\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - \sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}}}}{{x^2 - 2x}}} = 2\sqrt[4]{{\frac{x}{{x - 2}}}} - 3\sqrt[6]{{\frac{x}{{x - 2}}}} + C\)

Het zou wel kunnen dat de substitutie nog iets intuïtiever kan om dx naar dy om te zetten, maar zoals hierboven lukt het dus ook.