x^n als functie van Combinaties

[Xilvo]

\(x^m=\sum\limits_{i=0}^{m}\left(\begin{array}{cols} {x-1} \\i \end{array}\right)\sum\limits_{j=0}^{i}\left(\begin{array}{cols} {i} \\j \end{array}\right)(-1)^j(i+1-j)^m\)

Als x-1 ≤ m krijg je het triviale geval x^m = x^m
Dan is i+1-j = x wat alleen kan als i = x-1 en j = 0

Beide combinaties zijn dan 1, dus dat klopt.

Alle andere getallen ( i+1-j )^m , i+1-j ≠ x, moeten dan met nul vermenigvuldigd worden, geen bijdrage leveren.

Te bewijzen voor alle p ≠ x

\(\sum\limits_{i=p-1}^{x-1}\left(\begin{array}{cols} {x-1} \\i \end{array}\right)\left(\begin{array}{cols} {i} \\{i+1-p} \end{array}\right)(-1)^i=0\)

[Human]

In mijn laatste reactie moet -3 vervangen worden door + 3

Maar jullie zijn bezig met de hoofdformule ...... ik heb door jullie notaties al lang de rol moeten lossen.
Ben wel zeer benieuwd naar jullie besluit als de formule sex wiskundig kan bewezen worden .... en als hij reeds
letterlijk in zijn vorm de literatuur te vinden is .

[Professor Puntje]

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_ ... _functions

Het is al laat, maar ik heb goede hoop dat de formule van dit topic een variant van de formule met de rode pijl is.

[Professor Puntje]

\( x^m = \sum\limits_{k=1}^{m+1} \left \{ \begin{array}{cols} m+1 \\ k \end{array}\right \} (x-1)^{\underline{k-1}} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m (x-1)^{\underline{i}} \cdot \left \{ \begin{array}{cols} m+1 \\ i+1 \end{array}\right \} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m (x-1)^{\underline{i}} \cdot \frac{1}{(i+1)!} \sum\limits_{j=0}^{i+1} (-1)^j \left ( \begin{array}{cols} i+1 \\ j \end{array}\right ) (i+1-j)^{m+1} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m (x-1)^{\underline{i}} \cdot \frac{1}{(i+1)!} \sum\limits_{j=0}^i (-1)^j \left ( \begin{array}{cols} i+1 \\ j \end{array}\right ) (i+1-j)^{m+1} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m \frac{(x-1)^{\underline{i}}}{ i! } \cdot \frac{1}{i+1} \sum\limits_{j=0}^i (-1)^j \left ( \begin{array}{cols} i+1 \\ j \end{array}\right ) (i+1-j)^{m+1} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m \left ( \begin{array}{cols} x-1 \\ i \end{array}\right ) \cdot \frac{1}{i+1} \sum\limits_{j=0}^i (-1)^j \left ( \begin{array}{cols} i+1 \\ j \end{array}\right ) (i+1-j)^{m+1} \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m \left ( \begin{array}{cols} x-1 \\ i \end{array}\right ) \cdot \sum\limits_{j=0}^i \left ( \begin{array}{cols} i+1 \\ j \end{array}\right ) \frac{i+1-j}{i+1} \, (-1)^j (i+1-j)^m \)

\(\)

\( x^m = \sum\limits_{i=0}^m \left ( \begin{array}{cols} x-1 \\ i \end{array}\right ) \cdot \sum\limits_{j=0}^i \left ( \begin{array}{cols} i \\ j \end{array}\right ) (-1)^j (i+1-j)^m \)

\(\)

Weer veel te laat geworden! Geen fut meer om het nog op fouten na te lopen. Nu snel naar bed.

[Human]

Hierbij nog wat formules voorkomende uit mijn oude studie.

Word162

(80.34 KiB) 56 keer gedownload

[Human]

Sorry, ik bedoelde "sec wiskundig" in plaats van "sex wiskundig" in mijn reactie van zo 28 feb ....... was al beetje laat

[Professor Puntje]

Het zou fijn zijn als Human of iemand anders mijn bewijs nog even naloopt om te kijken of ik niets over het hoofd heb gezien. In verdere formules van Human ga ik geen tijd meer steken. Wij zijn hier geen antwoordmachine.

[OOOVincentOOO]

Mooi gedaan ProfP,

Ik kan alleen sommatie stap niet volgen bij regel 3 en 4 gaat de sommatie van: i+1 tot i. Ik weet niet zeker of dat eigenlijk bij jouw laatste regel hoort. Ik kan alle i+1 en i niet meer goed volgen en het gaat mij draaien Kan dus niet bevestigen.

Maar je hebt erg creatieve dingen heb je gedaan bijvoorbeeld het opsplitsen: (i+1)! in i!(i+1). Dat zou ik niet snel gezien of gedaan hebben! En op meerdere plekken erg creatief. Ik doe het je niet na.

[Professor Puntje]

Dank OOOVincentOOO! Het was ook een heel gepuzzel hoor. Kijk voor de lastige stap met de sommatie eens wat de term is voor j=i+1. Ik had daar eerst ook een hard hoofd in, maar toen zag ik ineens dat dat probleem zichzelf oplost.

[OOOVincentOOO]

Inderdaad het duurde mij redelijke tijd te herkennen wat je bedoelde!

$$(i+1-(i+1))=0$$

Goed opgemerkt. Maar ik maakte het te moeilijk! In een door mij typische dwaaltocht door vele zeeën heb in de tussentijd geleerd dat:

$$\binom{i+1}{i}=i+1$$
$$\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(i+1)!}{i!(i+1-i)!}=\frac{(i+1)(i)(i-1)(i-2)...}{(i)(i-1)(i-2)... \quad \cdot(1)}=i+1$$

[Professor Puntje]

Ja - een apart vak is dat die discrete wiskunde (of combinatoriek). Moet daar hoognodig een goed boek over aanschaffen want dat is voor mij ook nog een achtergebleven gebied.

[OOOVincentOOO]

@pp,

Kun je de stap van regel 5 naar 6 nog een toelichting geven? Van faculteit in noemer naar binomiaal coefficient? Ik dacht een vorm op Wiki gezien te hebben maar ben hem kwijtgeraakt in alle open pagina's.

$$\frac{(x-1)^{\underline{i}}}{ i! } =\left ( \begin{array}{cols} x-1 \\ i \end{array}\right ) $$

[Professor Puntje]

https://math.stackexchange.com/question ... -factorial

[Human]

Xilvo en PP

Xilvo, is volgens U de formule bewezen door PP ?
De hedendaagse abstracte notaties in jullie vorm van de formule zeggen mij helemaal niets .. vandaar mijn vraag.

PP, bedankt voor de inspanning, ik lees straks hopelijk in een reactie als de formule als bewezen mag beschouwd worden.
IK WIL ENKEL NOG WETEN ALS MIJN FORMULE IN DE WISKUNDIGE LITERATUUR VOORKOMT.
Dan kan ik bij gelegenheid overgaan naar FLT in een aparte topic.

Mijn andere formules komen voort uit logische denk - stappen van de numerieke reeks van x^n, zijn verschillen en zijn "eindige" verschillen van verschillen.

[Professor Puntje]

In de wiskunde hoort een bewijs door verschillende onafhankelijke deskundigen gecontroleerd te worden. Dat is juist, vandaar dat we nu nog even moeten afwachten of anderen zich erin kunnen vinden.

Maar zelfs als het bewijs inderdaad juist is dan is je formule (helaas!) nauwelijks iets nieuws, want niet veel meer dan een herschreven vorm van een formule die ik al op de Wikipedia vond (screenshot met de rode pijl).