Probleem met oneindigheid en kans

[Jeromke]

Kletskoek. Je kunt prima een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 kiezen. Dat zijn er ook oneindig, nog meer zelfs dan in bovenstaande situatie.

Database

als je vraagt om een getal tussen de 0 en 10 dan weet je toch waar het om gaat.

dit kan je in een datebase stoppen, zoals ze met de bingo getallen stoppen in een zak ofzo.

oneindigheid kanje niet in een zak stoppen omdat er geen eind aan komt .

daarom hebben ze het met een symbool aangegeven net als Pi ,

wij korten het af met 3,14.... omdat er geen eind aan komt.

en hoezo zitten er tussen 0 en 1 meer getallen dan tussen 0 en oneindigheid ?

heb je ze geteld ?

[Rogier]

oneindigheid kanje niet in een zak stoppen omdat er geen eind aan komt .

Het getal "4" of "-3" kun je ook niet in een zakje stoppen [cc]

Maar daarom kun je nog wel een uniforme kansverdeling op het interval (0,1) hebben. Dit in tegenstelling tot een uniforme verdeling op , daar kan het niet.

daarom hebben ze het met een symbool aangegeven net als Pi ,

wij korten het af met 3,14.... omdat er geen eind aan komt.

\(\pi\)

is gewoon een getal, niet, da's een symbool.

Aan

\(\pi\)

is niets oneindigs. Ja, de decimale notatie toevallig, maar dat maakt weinig uit. Aan het getal 1 komt ook geen eind (tenminste, als je het noteert als 0,9999enz) en aan 1/3 ook niet.

en hoezo zitten er tussen 0 en 1 meer getallen dan tussen 0 en oneindigheid ?

heb je ze geteld ?

Jep

Althans, ik kan een telmethode construeren waarbij ieder geheel getal vroeg of laat een keer aan de beurt komt. Bij het interval (0,1) is dat niet mogelijk.

Het aantal gehele positieve getallen (

\(\nn\)

) is 'slechts' aftelbaar oneindig (ook wel genoteerd als

\(\aleph_0\)

). Het aantal reële getallen in het interval (0,1) is echter overaftelbaar oneindig (

\(\aleph_1\)

), da's nog oneindiger

[TD]

Het aantal reële getallen in het interval (0,1) is echter overaftelbaar oneindig (

\(\aleph_1\)

), da's nog oneindiger

Dit is een beetje kort door de bocht, de kardinaliteit van de reële getallen is \(2^{\aleph_0}\) (inderdaad "groter" dan de natuurlijke getallen), maar of dit ook \(\aleph_1\) is, is precies de continuümhypothese.

[Rogier]

Dank, I stand corrected. Even om mijn geheugen op te frissen: als we de continuümhypothese niet zouden aannemen, wat betekent dan

\(\aleph_1\)

? (of is dat er dan niet, omdat er dan oneindig veel (dus geen kleinste) kardinaalgetallen tussen

\(\aleph_0\)

en

\(2^{\aleph_0}\)

bestaan?)

[PeterPan]

\(2^{\aleph_0} = \aleph_1\) als je in de continuum hypothese gelooft.

Geloof je er niet in, dan is er geen verband tussen \(2^{\aleph_0}\) en \(\aleph_1\).

Het zijn als het ware 2 verschillende wereldbeelden.

[Rogier]

En wat betekent (of hoe is het gedefinieerd)

\(\aleph_1\)

als ik er niet in geloof?

[PeterPan]

\(\aleph_1\)

is de cardinaliteit van de verzameling van ordinaalgetallen.

ordinaalgetallen: 0,1,2,...,\(\omega\),\(\omega+1\),...,\(2\omega\),\(2\omega+1\),......\(\omega^2\),............................,\(\omega^{\omega}\)................................................

[Rogier]

Aangezien je ze zo opnoemt, met komma's ertussen (die impliceren dat dat informeel wel aangeeft wat er zoal in die verzameling zit), zijn die niet aftelbaar dan?

(Of liever gezegd, ik weet wel dat ze niet aftelbaar zijn, maar waarom ook alweer? Wat zit daar nog meer voor spul in,

\(\omega\uparrow\uparrow\uparrow\omega\)

enzo?)

[Jeromke]

Kletskoek. Je kunt prima een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 kiezen. Dat zijn er ook oneindig, nog meer zelfs dan in bovenstaande situatie.

Database

ik bedoel de verzameling getallen die word gebruikt bij de kansberekening.

[Rogier]

ik bedoel de verzameling getallen die word gebruikt bij de kansberekening.

Ok, maar dat kunnen er eindig veel zijn (dan past het wellicht in een database), of oneindig veel (dan past het niet in een database). En dan zowel aftelbaar oneindig veel (bijvoorbeeld bij ) of overaftelbaar veel (bijvoorbeeld bij het interval (0,1)).

Met alledrie kun je prima kansverdelingen hebben. Alleen op aftelbaar veel kun je geen uniforme kansverdeling maken.

[Jeromke]

Ok, maar dat kunnen er eindig veel zijn (dan past het wellicht in een database), of oneindig veel (dan past het niet in een database). En dan zowel aftelbaar oneindig veel (bijvoorbeeld bij ) of overaftelbaar veel (bijvoorbeeld bij het interval (0,1)).

Met alledrie kun je prima kansverdelingen hebben. Alleen op aftelbaar veel kun je geen uniforme kansverdeling maken.

Machans heeft het over oneindig veel getallen in zijn voorbeeld.

vervolgens trekt hij de conclussie dat er een willekeurig positief geheel getal word getrokken.

dit is een contradictie aangezien de stroom van informatie met oneindig veel getallen nooit zal

stoppen en hij nooit een getal zou kunnen trekken .

je zou net zo goed de kans kunnen berekenen wanneer oneindigheid stopt wat natuurlijk 0 of nooit is.

dikke

[Rogier]

Machans heeft het over oneindig veel getallen in zijn voorbeeld.

vervolgens trekt hij de conclussie dat er een willekeurig positief geheel getal word getrokken.

dit is een contradictie aangezien de stroom van informatie met oneindig veel getallen nooit zal

stoppen en hij nooit een getal zou kunnen trekken .

Welke stroom? Je kunt prima een kansverdeling hebben over oneindig veel getallen.

Daarvoor hoef je niet alle getallen langs te gaan totdat je bij eentje komt die je uitkiest ofzo.

Je kunt een uniforme kansverdeling hebben over het interval (0,1), dus een willekeurig getal tussen 0 en 1 (bijvoorbeeld 1/2 of 0.6923 of 1/

\(\pi\)

of

\(7/\sqrt{53}\)

enz).

Je kunt ook een kansverdeling hebben over alle positieve gehele getallen (bijvoorbeeld 1 of 23784603 of G₆₄ of 37 enz).

Het enige wat niet kan is een uniforme verdeling over aftelbaar oneindig veel getallen. Dus in het geval van positieve gehele getallen (dat zijn er slechts aftelbaar oneindig) moet je bijvoorbeeld iets hebben als P(1)=1/2, P(2)=1/4, P(3)=1/8 enz.

je zou net zo goed de kans kunnen berekenen wanneer oneindigheid stopt wat natuurlijk 0 of nooit is.

Wat bedoel jij precies met "oneindigheid"?

dikke

[Jeromke]

Welke stroom? Je kunt prima een kansverdeling hebben over oneindig veel getallen.

Daarvoor hoef je niet alle getallen langs te gaan totdat je bij eentje komt die je uitkiest ofzo.

Je kunt een uniforme kansverdeling hebben over het interval (0,1), dus een willekeurig getal tussen 0 en 1 (bijvoorbeeld 1/2 of 0.6923 of 1/

\(\pi\)

of

\(7/\sqrt{53}\)

enz).

Je kunt ook een kansverdeling hebben over alle positieve gehele getallen (bijvoorbeeld 1 of 23784603 of G₆₄ of 37 enz).

Het enige wat niet kan is een uniforme verdeling over aftelbaar oneindig veel getallen. Dus in het geval van positieve gehele getallen (dat zijn er slechts aftelbaar oneindig) moet je bijvoorbeeld iets hebben als P(1)=1/2, P(2)=1/4, P(3)=1/8 enz.

Wat bedoel jij precies met "oneindigheid"?

het zal mijn verbeelding wel zijn.

stel je voor hoe ziet een foto eruit van oneindig veel getallen ?

[Phys]

Berichten over (minicursus over) ordinaalgetallen afgesplitst naar hier.

[Rogier]

Het enige wat niet kan is een uniforme verdeling over aftelbaar oneindig veel getallen.

Kleine toevoeging: een uniforme verdeling over een oneindig interval (bijv.

\(\rr_+\)

stel je voor hoe ziet een foto eruit van oneindig veel getallen ?

Geen idee, wat heeft dat hier mee te maken?

Hoe ziet een foto eruit van het interval (0,1) ? Of hoe zit een foto eruit van (oneindig veel getallen) met kansverdeling P_k=2^-k? Want dat kan wel gewoon.