Ordinale getallen voorbij de welordening van r?

[mathfreak]

Met de axioma's van ZFC inclusief het keuze-axioma

De afkorting ZFC geeft al aan dat je uitgaat van de axioma's van (Ernst) Zermelo en (Adolf) Fraenkel met daaraan toegevoegd het keuze-axioma (Axiom of Choice, vandaar de C), dus de toevoeging "inclusief het keuze-axioma" is wat dat betreft overbodig.

[Bartjes]

Als we het keuzeaxioma accepteren, dan bestaat er dus een koppeling tussen elk element van

\(\rr\)

en een ordinaalgetal, zodat

\(\rr\)

de verzameling van ordinaalgetallen is.

Bedoel je echt een bijectie tussen de klasse van alle ordinaalgetallen

\(\Omega\)

en

\(\rr\)

?

[Phys]

De afkorting ZFC geeft al aan dat je uitgaat van de axioma's van (Ernst) Zermelo en (Adolf) Fraenkel met daaraan toegevoegd het keuze-axioma (Axiom of Choice, vandaar de C), dus de toevoeging "inclusief het keuze-axioma" is wat dat betreft overbodig.

Je hebt volledig gelijk, het was een pleonasme.

[PeterPan]

Bedoel je echt een bijectie tussen de klasse van alle ordinaalgetallen

\(\Omega\)

en

\(\rr\)

?

yes/si/da

[Bartjes]

yes/si/da

Hoe rijm je dat dan hiermee:

http://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox

http://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)

Het zou betekenen dat de verzameling der reële getallen een echte klasse is.

[PeterPan]

Je moet niet de definitie van ordinalen nemen volgens von Neumann, maar zoals gedaan is in de "cursus". Ga uit van equivalentieklassen van welgeordende verzamelingen.

De definitie van von Neumann leidt tot een contradictie, maar dat is puur het gevolg van de manier waarop de ordinalen daar zijn gedefinieerd. Welke definitie je op een zeker moment gebruikt hangt af van wat je er mee wilt doen.

[Bartjes]

Ik stel vast dat Phys groot gelijk had met zijn opmerking dat het van belang is aan te geven waar je van uitgaat.

Of het probleem door de definitie m.b.v. equivalentie-klassen wordt opgelost, daar moet ik nog even over nadenken. Wordt vervolgd.

[Bartjes]

eigenschap:

We zullen hierna steeds veronderstellen dan de genoemde verzamelingen totaal geordend zijn.

Twee verzamelingen

\(X\)

Deze rij heeft de eigenschap dat elke niet-lege deelverzameling een kleinste element bevat en dat de rij totaal geordend is.

We spreken dan van een welgeordende verzameling.

Iemand anders zegt dat hij ook een welgeordende verzameling heeft (dwz elke niet-lege deelverzameling ervan heeft een kleinste element).

Dan geldt het volgende: Zijn verzameling is een beginstuk van mijn verzameling. (netter gezegd, ze zijn isomorf (zie definitie

\(\sim\)

)).

Dus als je 2 welgeordende verzamelingen hebt (dit kunnen wilde, exotische verzamelingen zijn) dan is de een altijd orde-isomorf met een beginstuk van de andere verzameling.

Een welgeordende verzameling is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen van hierboven.

Nu komt er iemand met de verzamelingen

\(\rr\)

en P(

\(\rr\)

) die van een welordening zijn voorzien. Deze verzamelingen zijn overaftelbaar. Ze zouden dus beide orde-isomorf moeten zijn met de klasse van alle ordinaalgetallen. Maar dan moeten

\(\rr\)

en P(

\(\rr\)

) ook gelijkmachtig zijn. Dat is echter niet het geval. Paradox.

[PeterPan]

Niks paradox.

Ik was hier uitgegaan van een inbedding van de ordinaalgetallen in

\(\rr\)

.

Nu even pietje precies:

Iemand anders zegt dat hij ook een welgeordende verzameling heeft (dwz elke niet-lege deelverzameling ervan heeft een kleinste element).

Dan geldt het volgende: Zijn verzameling is een beginstuk van mijn verzameling of omgekeerd. (netter gezegd, ze zijn isomorf (zie definitie )).

Dus als je 2 welgeordende verzamelingen hebt (dit kunnen wilde, exotische verzamelingen zijn) dan is de een altijd orde-isomorf met een beginstuk van de andere verzameling.

Een welgeordend deel van

\(\rr\)

is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen van hierboven.

[Bartjes]

Niks paradox.

Ik was hier uitgegaan van een inbedding van de ordinaalgetallen in

\(\rr\)

.

Daar ligt precies mijn bezwaar. Ik wil best geloven dat je een beginstuk van de klasse van alle ordinaalgetallen in

\(\rr\)

kunt inbedden, daar heb je ook voorbeelden van gegeven. Maar dat heel de klasse van alle ordinaalgetallen in

\(\rr\)

kan worden ingebed, is niet evident.

Het wordt wel heel lastig discussiëren als je het punt van discussie als uitgangspunt kiest.

[PeterPan]

Het wordt wel heel lastig discussiëren als je het punt van discussie als uitgangspunt kiest.

Men kan dat ook hard bewijzen, maar dat gaat niet in een paar regels.

[PeterPan]

Het is overigens een indirect bewijs (dus de existensie kan worden aangetoond, niet de constructie).

[Bartjes]

Men kan dat ook hard bewijzen, maar dat gaat niet in een paar regels.

Het is overigens een indirect bewijs (dus de existensie kan worden aangetoond, niet de constructie).

Kan je een link geven? Een boektitel, de naam van een stelling of iets dergelijks. Dan zoek ik het verder zelf wel uit. Mocht ik het bewijs zelf niet begrijpen, dan kan ik in elk geval nagaan hoe er in de wiskundige gemeenschap over gedacht wordt.

Waar ik tot noch toe van uitga is een misverstand. De verzameling van de reële getallen is relatief klein. Er zij véél grotere verzamelingen. Ook die veel grotere verzamelingen kunnen welgeordend worden, en zijn niet gelijkmachtig aan (een deel van) de verzameling der reële getallen. Je zou dan dus via een omweg voorbij alle ordinaalgetallen weer nieuwe grotere ordinaalgetallen kunnen vinden. Dat betekent dat je toch niet alle ordinaalgetallen in de verzameling der reële getallen had ingebed. Ik vermoed dan ook sterk dat we er verschillende opvattingen over ordinaalgetallen op na houden.

Maar graag wat meer info. Mocht je toch gelijk hebben, dan is ook dat een antwoord op mijn vraag.

[PeterPan]

Kan je een link geven? Een boektitel, de naam van een stelling of iets dergelijks. Dan zoek ik het verder zelf wel uit. Mocht ik het bewijs zelf niet begrijpen, dan kan ik in elk geval nagaan hoe er in de wiskundige gemeenschap over gedacht wordt.

Je zult zelf moeten zoeken in de literatuur, want ik weet zo geen geschikt boek.

Als ik zin heb kan ik wel een bewijs geven. Op het moment heb ik daar niet zo veel trek in.

Waar ik tot noch toe van uitga is een misverstand. De verzameling van de reële getallen is relatief klein. Er zij véél grotere verzamelingen. Ook die veel grotere verzamelingen kunnen welgeordend worden, en zijn niet gelijkmachtig aan (een deel van) de verzameling der reële getallen. Je zou dan dus via een omweg voorbij alle ordinaalgetallen weer nieuwe grotere ordinaalgetallen kunnen vinden. Dat betekent dat je toch niet alle ordinaalgetallen in de verzameling der reële getallen had ingebed. Ik vermoed dan ook sterk dat we er verschillende opvattingen over ordinaalgetallen op na houden.

Er bestaat maar 1 begrip van ordinaalgetallen, al zijn ze op verschillende manieren te definiëren.

De verzameling van ordinaalgetallen is gelijkmachtig met

\(\rr\)

. Helaas, daar zul je mee moeten leven.

Maar graag wat meer info. Mocht je toch gelijk hebben, dan is ook dat een antwoord op mijn vraag.

Ik moet je teleurstellen.

[leeghhoofdt]

Als ik zin heb kan ik wel een bewijs geven. Op het moment heb ik daar niet zo veel trek in.

......daar wordt niemand iets wijzer van.