Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen

[mathfreak]

Het voorbeeld waarbij het product van twee natuurlijke getallen niet "betekenisloos" is is

2 x (1/2.n_i +k), waarin n_i het grootste natuurlijke getal is en k een natuurlijk getal groter of gelijk aan 1.

Er is geen grootste natuurlijk getal. Bewijs (uit het ongerijmde): stel n is het grootste natuurlijke getal. Volgens het opvolgingsaxioma van Peano is er een opvolger n', gedefinieerd door n' = n+1. Omdat de opvolger van een natuurlijk getal per definitie groter is dan dit getal vinden we dus een getal dat groter is dan het grootste natuurlijke getal. Dit is in tegenspraak met de aanname dat n het grootste natuurlijke getal is. Er is dus geen grootste natuurlijk getal, hetgeen te bewijzen was.

[hendrik h]

Het voorbeeld van het product van twee natuurlijke getallen waarvan het product niet zinvol is is niet helemaal goed gekozen.

Er zijn

\(\infty\)

natuurlijke getallen. Per axioma.

Ik weet niet of

\(\infty\)

even of oneven is. Ik laat dat even in het midden.

Er zijn dus 1/2.

\(\infty\)

even getallen en 1/2.

\(\infty\)

oneven getallen.

Voor de natuurlijke getallen geldt 1/2.

\(\infty\)

+ 1/2.

\(\infty\)

=

\(\infty\)

.

Nu is bij dit aantal natuurlijke getallen 2.1/2.

\(\infty\)

=

\(\infty\)

.

Het vermenigvuldigen van 1/2.

\(\infty\)

met natuurlijke groter dan 2 is niet zinvol, want dat overschrijdt het product de grens waarop de natuurlijke getallen gedefinieerd zijn.

Per definitie zou men kunnen zeggen dat er 1/2.

\(\infty\)

even en 1/2.

\(\infty\)

oneven natuurlijke getallen zijn. Dit zijn oneigenlijke getallen, omdat er geen waarde aan zit. Als met het aantal natuurlijke getallen kiest waarmee men wil werken, dan is er met aantallen te werken.

[hendrik h]

Nee hoor, 2 is even en priem.

Dat is helemaal correct. Er is één even priemgetal en de overige priemgetallen zijn oneven.

Dan nog twee opmerkingen.

Het getal 0 zet ik niet bij de natuurlijke getallen. Ik vermijd dat om de discussie niet in een andere richting te laten gaan. Het probleem is of het product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is of zijn sommige producten niet zinvol.

Ik ga er vanuit, dat er even veel even als oneven getallen zijn. Je zou nog kunnen beweren, dat er een verschil van 1 is.

[Safe]

Het getal 0 zet ik niet bij de natuurlijke getallen. Ik vermijd dat om de discussie niet in een andere richting te laten gaan. Het probleem is of het product van twee of meer natuurlijke getallen altijd gedefinieerd is of zijn sommige producten niet zinvol.

Ik ga er vanuit, dat er even veel even als oneven getallen zijn. Je zou nog kunnen beweren, dat er een verschil van 1 is.

Hier heb ik al op geantwoord. Als je daar niet tevreden mee bent, moet je dat aangeven.

Bovendien lijkt het me zinvol om ook andere antwoorden nog eens goed tot je door te laten dringen.

[317070]

Ik ga er vanuit, dat er even veel even als oneven getallen zijn. Je zou nog kunnen beweren, dat er een verschil van 1 is.

Ik denk dat je nog eens goed moet stilstaan over wat oneindig echt wil zeggen.

Een kleine analogie:

2 mannen staan achter elkaar. De ene staat 10 meter verder dan de andere. Allebei gaan ze nu op weg om de horizon te bereiken. Wie heeft er het verst gelopen op het moment dat ze de horizon bereikt hebben?

Simpel, ze bereiken allebei nooit de horizon, want die ligt altijd een stuk verder dan ze gelopen hebben, hij ligt dus oneindig ver.

Dus zelfs ondanks het feit dat de ene 10 meter later startte, kun je niet zeggen dat hij 10 meter langer moet lopen naar de horizon. Op identiek dezelfde manier kun je ook niet zomaar zeggen dat er minder getallen groter dan 10 zijn, dan er getallen groter dan 1 zijn. Bij oneindig werkt onze eerste intuïtie niet meer zo goed.

Maar, er is een oplossing. Stel, je hebt 4 appels op een hoop en 4 peren op een hoop. Hoe weet je nu dat je evenveel appels en peren hebt? Wel...

Stel dat jij je appels wilt tellen. Dan maak je eerst een hoop appels, en met iedere tel verleg je een appel naar een nieuwe hoop appels. Zo houdt je bij welke je al geteld hebt en welke niet. Als alle appels op de nieuwe hoop liggen, heb je ze allemaal geteld.

Nu kun je bij iedere tel ook precies 1 peer verleggen, van de ene hoop peren naar de nieuwe hoop peren. Bij iedere tel verleg je nu dus zowel 1 appel als 1 peer. Als je op het einde precies op hetzelfde moment al je appels als al je peren verlegd hebt, DAN EN ALLEEN DAN heb je evenveel appels en peren.

Het leuke aan deze kijk op de zaak, is dat je die redenering WEL kunt doortrekken naar oneindig, in tegenstelling tot de visie van de wandelende mannen die toch nooit stoppen met wandelen. Wat je eigenlijk moet aantonen, is dat je voor iedere appel precies 1 peer kunt kiezen en voor iedere peer ook precies 1 appel die gelijktijdig verlegd zouden moeten worden. Dan pas zijn de verzamelingen appels en peren even groot.

Dit laatste kun je nu wel aantonen, zonder zoals de mannen naar oneindig te moeten wandelen. Ik moet gewoon kunnen bewijzen dat ik ervoor kan zorgen dat als jij de appels telt en ik de peren, dat iedere keer als jij een appel kiest om te verleggen, ik ook altijd precies 1 peer kan kiezen die bij die appel hoort. Ook als jij de peren verlegt en ik de appels, dan moet ik iedere keer als jij een peer verlegt, precies 1 appel kunnen kiezen die bij die peer hoort om te verleggen. Vanaf er 1 zo'n 1-op-1 relatie bestaat, dat iedere appel met 1 peer samen hoort, dan moeten er wel evenveel appels en peren zijn. En hier is meteen duidelijk dat het met deze visie niet uitmaakt of er oneindig veel zijn of niet.

Als je een oneindig grote hoop natuurlijke getallen hebt die je verlegt naar een nieuwe hoop, en je hebt een oneindig grote hoop even getallen die je verlegt naar een nieuwe hoop. Dan kun je bij iedere tel precies 1 natuurlijk getal en precies 1 even getal gezamenlijk verleggen, zodat met ieder natuurlijk getal precies 1 even getal overeenkomt en met ieder even getal precies 1 natuurlijk getal.

Als je bij de even getallen het getal 2 verlegt, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal 1, als je bij de even getallen het getal 4 verlegt, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal 2, als je bij de even getallen het getal 2n verlegd, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal n.

Dus met ieder even getal dat je verlegt, kun je van de andere stapel tegelijk een natuurlijk getal verleggen, namelijk de helft ervan. En ook omgekeerd, voor ieder natuurlijk getal dat je verlegt, kun je precies ook een even getal verleggen, namelijk het dubbel ervan. Dit geldt voor alle getallen, en dus moeten er evenveel natuurlijke getallen als even getallen zijn!

Wiskundig verwoord wil je dus dat er een bijectie bestaat tussen beide verzamelingen, opdat ze even groot zouden zijn/dezelfde kardinaliteit zouden hebben. Op die manier kun je aantonen dat er evenveel priemgetallen zijn, als even getallen, als natuurlijke getallen. We kunnen nog verder gaan, er zijn zelfs evenveel gehele getallen als natuurlijke getallen, en er zijn zelfs evenveel rationele getallen als natuurlijke getallen! We noemen al deze verzamelingen aftelbaar. Al die bewijzen zijn kinderlijk eenvoudig, moest je geïnteresseerd zijn.

We kunnen ook aantonen dat bij de reële getallen er helemaal geen bijectie bestaat. Dus dat we voor ieder reëel getal, onmogelijk een natuurlijk getal kunnen kiezen om mee te verleggen, aangezien er niet genoeg van zijn. Er zijn dus meer reële getallen dan natuurlijke getallen. De verzameling van de reële getallen is overaftelbaar. Dus ook niet alle oneindig grote verzamelingen zijn even groot, je kunt perfect verzamelingen construeren die willekeurig oneindig groot zijn, zelfs nog groter dan de reële getallen.

Ik zie dat dit een hele lap tekst geworden is, maar ik stel voor dat je er eens goed bij gaat zitten, en ook echt voorwerpen neemt om te kijken of verzamelingen even groot zijn, en dan ziet dat het echt werkt!

[hendrik h]

[quote='317070' date='17 July 2011, 23:27' post='680110']

De main moderator schrijft:

Als je een oneindig grote hoop natuurlijke getallen hebt die je verlegt naar een nieuwe hoop, en je hebt een oneindig grote hoop even getallen die je verlegt naar een nieuwe hoop. Dan kun je bij iedere tel precies 1 natuurlijk getal en precies 1 even getal gezamenlijk verleggen, zodat met ieder natuurlijk getal precies 1 even getal overeenkomt en met ieder even getal precies 1 natuurlijk getal.

Als je bij de even getallen het getal 2 verlegt, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal 1, als je bij de even getallen het getal 4 verlegt, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal 2, als je bij de even getallen het getal 2n verlegd, dan verleg je bij de natuurlijke getallen het getal n.

Mijn vraag is nu:

Hier ligt de kern van mijn vraag: Je gaat uit van oneindig grote hoop natuurlijke getallen en een oneindig grote hoop even getallen.

Zijn deze even getallen ook natuurlijke getallen? Zo ja dan is mijn vraag: Hoe kunnen die op het interval van de natuurlijke getallen liggen? Dat interval is [1,

\(\infty\)

>

Je kan altijd oneindig veel veelvouden van 2 definiëren. Die kunnen op een functiewaardegebeid liggen.

[Perseus]

Ik weet niet of

\(\infty\)

even of oneven is. Ik laat dat even in het midden.

Geen van beide.

\(\infty\)

is geen getal. Bovendien geldt

\(1/2\cdot\infty = \infty\)

. De rekenregels voor

\(\infty\)

zijn anders dan die voor getallen.

Er zijn dus

\(\infty\)

even getallen en

\(\infty\)

oneven getallen. Meer nog, er zijn "evenveel" natuurlijke getallen, gehele getallen, even getallen, oneven getallen, priemgetallen en breuken. Juister gezegd, al deze verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit, namelijk

\(\aleph_0\)

. Bekijk eens de wikipagina over kardinaalgetallen.

[EvilBro]

Zijn deze even getallen ook natuurlijke getallen?

Alle positieve even getallen zijn natuurlijke getallen.

Zo ja dan is mijn vraag: Hoe kunnen die op het interval van de natuurlijke getallen liggen? Dat interval is [1,

\(\infty\)

is geen getal. Bovendien geldt

\(1/2\cdot\infty = \infty\)

. De rekenregels voor

\(\infty\)

zijn anders dan die voor getallen.

Op de natuurlijke getallen bestaat

\(\infty\)

helemaal niet. Er zijn dus ook geen rekenregels voor. Voor rekenregels voor

\(\infty\)

heb je zoiets als dit nodig.

[hendrik h]

Alle positieve even getallen zijn natuurlijke getallen.

Wat is hier je vraag? Zie je niet hoe er een bijectie mogelijk is tussen de natuurlijke getallen en de even getallen? Of zie je niet waar de even getallen in dat interval zitten?

Op de natuurlijke getallen bestaat

\(\infty\)

helemaal niet. Er zijn dus ook geen rekenregels voor. Voor rekenregels voor

\(\infty\)

heb je zoiets als dit nodig.

Wat bedoel ik met mijn vraag zijn alle even getallen ook natuurlijke getallen.

In deze discussie zijn natuurlijke, natuurlijke even en natuurlijke oneven getallen de volgende getallen. Bovendien mag een getal maar één keer voorkomen.



Natuurlijke getallen: {n} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …., n_i-1, n_i, n₁₊₁,......,

\(\infty\)

Het zijn

\(\infty\)

getallen.

Natuurlijke even getallen: {e} = 2, 4, 6, 8, 10, …………….,

\(\infty\)

. Het zijn 1/2.

\(\infty\)

getallen.

Natuurlijke oneven getallen: {o}= 1, 3, 5, 7, 9, …………….,

\(\infty\)

. Het zijn 1/2.

\(\infty\)

getallen.

Als je nu een bijectie wilt maken tussen even getallen en de natuurlijke getallen dan kan dat ook.



Gehele even getallen volgens de functie: g = 2n: {g} = 2, 4, 6, 8, 10, ………2(n_i-1), 2(n), 2(n₁₊₁), ….. 2.

\(\infty\)

Het zijn

\(\infty\)

getallen.

Mijn vraag is dan: Waar komen de gehele even getallen te liggen die groter zijn dan

\(\infty\)

op het interval van de natuurlijke getallen [1,

\(\infty\)

>

Het antwoord kan zijn: Er zijn geen getallen groter dan

\(\infty\)

.

Mijn antwoord is dan: Het is dringen in

\(\infty\)

want dan liggen daar veel gehele even getallen. Van een bijectie is dan ook geen sprake, want veel van deze gehele even getallen hebben hetzelfde element van de natuurlijke getallen als beeld.

Volgens mij is er geen bijectie van de even natuurlijke getallen met de natuurlijke getallen niet mogelijk, want de helft van de natuurlijke getallen is geen beeld van een even natuurlijk getal.

Dan een vraag waar in niet uit kom: Ik kan in de Nederlandse versie van Wikipedia niet meer vinden, dat "de even getallen een oneindige verzameling" zijn. Ik heb dat enkele maanden geleden gelezen. Is dat soms verwijderd of zoek ik niet goed?

[hendrik h]

De discussie over het vermenigvuldigen van hele grote natuurlijke getallen roep soms vragen op waar ik nu niet op in wil gaan.

Eerst wil ik helder hebben hoe de volgende discontinuïteit moet omgaan.



De natuurlijke getallen zijn: {n} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,.... N

De even natuurlijke getallen zijn: {e} = 2, 4, 6, 8, 10, .... N

Neem ik nu N natuurlijke getallen, dan heb ik een 1/2.N even natuurlijke getallen.

Dit is waar voor alle natuurlijke getallen N. Als N tenminste even is.

Nu wil ik het weten als ik oneindig veel natuurlijke getallen neem.

\(\lim_{N \to \infty}\)

N =

\(\infty\)

Het aantal even natuurlijke getallen is

\(\lim_{N \to \infty}\)

1/2 N =

\(\infty\)

Hoe is dat mogelijk, dat bij grote aantallen natuurlijke getallen de helft even is en bij oneindig veel getallen er oneindig veel even getallen zijn?

De

\(\lim_{N \to \infty}\)

N =

\(\infty\)

is een oneigenlijke limiet en daarbij gelden niet alle regels van de limieten. Zo zijn er meer beperkingen aan het werken met

\(\infty\)

. Dit is in de boeken op te zoeken.

Maar ik vindt het vreemd, dat er een soort discontinuïteit bestaat bij het bereken van het aantel natuurlijke getallen.

[317070]

Volgens mij is er geen bijectie van de even natuurlijke getallen met de natuurlijke getallen niet mogelijk, want de helft van de natuurlijke getallen is geen beeld van een even natuurlijk getal.

Dat is natuurlijk niet echt een kwestie van mening. Dat is iets dat hard bewezen is.

Stel: er is een getal n in de natuurlijke getallen die geen beeld heeft onder de bijectie 2n.

Dat kan niet, want de vermenigvuldiging in de natuurlijke getallen is bij axioma inwendig en overal gedefinieerd.

Uit de contradictie volgt dus dat er geen zo'n getal n bestaat dat geen 2n heeft binnen de natuurlijke getallen.

Dan een vraag waar in niet uit kom: Ik kan in de Nederlandse versie van Wikipedia niet meer vinden, dat "de even getallen een oneindige verzameling" zijn. Ik heb dat enkele maanden geleden gelezen. Is dat soms verwijderd of zoek ik niet goed?

Staat er nog:

Verder is de kardinaliteit van de verzameling even getallen gelijk aan die van de natuurlijke getallen, namelijk \aleph_0, oftewel er zijn evenveel even getallen als er natuurlijke getallen zijn (voor geïnteresseerden, x = 2y is een mogelijk isomorfisme). Toch is de verzameling even getallen een echte deelverzameling van de natuurlijke getallen. Dit is mogelijk, omdat beide verzamelingen oneindig zijn, preciezer: aftelbaar oneindig.

[EvilBro]

@hendrik h: Ga naar de bieb, haal daar een boek over discrete wiskunde, lees het. Als je daarna nog vragen hebt dan horen we het wel.

[hendrik h]

Ja, en het is weer een natuurlijk getal.

Bij vermenidgvuldigen van natuurlijke getallen moet het product een natuurlijk getal zijn. Mijn vraag is of ieder product van twee natuurlijke getallen op het interval van de natuurlijke getallen ligt.

[hendrik h]

Enkele rekenkundige bewerkingen met

\(\infty\)

zijn niet gedefinieerd.

In de praktijk moet je soms iets afronden. Dan heb je afrondingen van de eerste orde, tweede orde en misschien wel van hoger orden.

Stel ik heb 102.041 Euro op mijn spaarrekening staan. Op mijn bankafschrift wil ik 102.041 zien staan. Als ik een nieuw huis wil kopen, dan kijk ik eerst naar mijn banksaldo. Dan zeg ik dat ik een ton (= 100.000) op de bank heb staan. Ik spreek niet de waarheid, want ik zit er ruim 2 procent naast. Ik zie dat dit te weinig is.

Ik wacht met het huis kopen en ga dan rekening hoeveel rente ik dan krijg. Dan ga ik met 102.000 rekenen, want 2% rente van 41 euro schiet niet op bij het sparen van voor 100.000 euro.

De priemgetallen interesseren me. Dat zijn er erg veel. Er zijn

\(\infty\)

natuurlijke getallen. De helft van de natuurlijke getallen is deelbaar door 2. Hoeveel natuurlijke getallen houd ik over als ik de even natuurlijke getallen weglaat. Ik zeg 1/2.

\(\infty\)

. Reageer nu nog niet maar reageer aan het eind van het bericht.

De ligging van de priemgetallen in de rij van de natuurlijke getallen is (bijna) niet met een formule vast te leggen. Dus ik ga de natuurlijke getallen eerlijk verdelen.

De natuurlijke getalen zijn {n} = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......... n=0 +n.1

In twee rijen verdelen:

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

oneven even

1 + n.2

[EvilBro]

De helft van de natuurlijke getallen is deelbaar door 2. Hoeveel natuurlijke getallen houd ik over als ik de even natuurlijke getallen weglaat. Ik zeg 1/2.

\(\infty\)

.

Je 'logica' is niet consistent. Ik ga de volgende verdeelsleutel gebruiken. Oneven getallen stop ik in verzameling 1. Als ik het oneven getal k in verzameling 1 stop, dan stop ik het even getal (2*k) in verzameling 2 en het getal (2*k+2) in verzameling 3. Op deze manier verdeel ik alle natuurlijke getallen in 3 verzamelingen met evenveel elementen. Nu zou jij, volgens jouw logica, moeten zeggen dat er dus

\(\frac{\infty}{3}\)

natuurlijke getallen in elke verzameling zitten. De eerste verzameling is echter de verzameling van oneven natuurlijke getallen en daar had je al een ander aantal voor bedacht.