Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
kee
Artikelen: 0
Berichten: 400
Lid geworden op: wo 15 aug 2007, 23:51

Re: Cijfersom over verschillende talstelsels

Samengevat voor de 'alternatieve' berekening van s(n)-s(n-1):

Zij
\(n=\prod_{i=1}^r p_i^{e_i}\)
met
\(\left\{\begin{array}{l}r\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ en}\\p_i\text{ een priemgetal voor }i=1,\ldots,r\text{ en}\\p_i=p_j\Leftrightarrow i=j\text{, voor }i=1,\ldots,r\text{ en }j=1,\ldots,r\text{ en}\\e_i\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{, voor }i=1,\ldots,r\end{array}\right.\)
Dan:

1) Bereken voor
\(j=1,\ldots,\text{max}(e_1,\ldots,e_r)\)
\(\delta_j(n)=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{\left\lfloor e_i/j\right\rfloor+1}-1}{p_i-1}\)
\(|\mathbb{D}_j(n)|=\prod_{i=1}^r(\left\lfloor e_i/j\right\rfloor}+1)\)
2) Bereken met behulp van de vorige resultaten
\(\delta^*(n)=\sum_{j=1}^{\text{max}(e_1,\ldots,e_r)}(\delta_j(n)-|\mathbb{D}_j(n)|)\)
3) Tenslotte
\(s(n)-s(n-1)=2n-2-\delta^*(n)\)
kee
Artikelen: 0
Berichten: 400
Lid geworden op: wo 15 aug 2007, 23:51

Re: Cijfersom over verschillende talstelsels

Stelling: Er zijn oneindig veel oneven natuurlijke getallen n>2 waarvoor geldt dat s(n)<s(n-1).

Bewijs:

We bewijzen de stelling als gevolg van een iets algemenere versie.

Neem een oneven natuurlijk getal
\(n\geq 3\)
met
\(\delta_1(n)>2n\)
(bijvoorbeeld neem n=945,
\(\delta_1(945)=1920>2\cdot 945\)
).

We bewijzen nu dat voor ieder priemgetal p dat geen deler is van n geldt dat s(np)<s(np-1). Omdat er oneindig veel oneven priemgetallen p zijn is de stelling dan bewezen.

Uit de eigenschappen halen we
\(\delta_1(np)=\delta_1(n)\cdot (p+1)\)
\(\delta_j(np)=\delta_j(n)\text{ voor }j\neq 1\)
\(|\mathbb{D}_1(np)|=2\cdot|\mathbb{D}_1(n)|\)
\(|\mathbb{D}_j(np)|=|\mathbb{D}_j(n)|\text{ voor }j\neq 1\)
Er geldt
\(\delta^*(np)=\delta^*(n)-\delta_1(n)+|\mathbb{D}_1(n)|+\delta_1(np)-|\mathbb{D}_1(np)|\)
dus
\(\delta^*(np)=\delta^*(n)+p\cdot\delta_1(n)-|\mathbb{D}_1(n)|\)
en uit het gegeven en omdat
\(|\mathbb{D}_1(n)|<n\)
(omdat n een oneven natuurlijk getal is, met
\(n\geq 3\)
)
\(\delta^*(np)>n+p\cdot 2n-n\)
\(\delta^*(np)>2np\)
Tenslotte
\(s(np)-s(np-1)=2np-2-\delta^*(np)\)
dus
\(s(np)-s(np-1)<2np-2-2np\)
dus
\(s(np)<s(np-1)\)
kee
Artikelen: 0
Berichten: 400
Lid geworden op: wo 15 aug 2007, 23:51

Re: Cijfersom over verschillende talstelsels

We zien
\(s(n)<s(n-1)\Leftrightarrow\delta^*(n)>2n-2\)
.

Wat ik nu wil zoeken is een voor een bepaald willekeurig natuurlijk getal n>1 uit te rekenen voorwaarde zodat voor elk natuurlijk getal m>1 geldt dat
\(s(nm)<s(nm-1)\)
, of equivalent
\(\delta^*(nm)>2nm-2\)
.

Liefst een nodige en voldoende voorwaarde, of als dat niet samen kan dan afzonderlijk. Eventueel meerdere mogelijke voldoende voorwaarden. Eventueel ook met een gevalsonderscheid voor m en niet voor alle m samen.

Eventueel hoeft dus niet te gelden dat
\(s(n)<s(n-1)\)
. Is dit eigenlijk een voldoende voorwaarde?

Eventueel als dit niet helemaal goed werkt kan gekeken worden naar voorwaarden zodat/opdat
\(\delta^*(nm)>2nm+a\)
met a een ander geheel getal dan -2.
kee
Artikelen: 0
Berichten: 400
Lid geworden op: wo 15 aug 2007, 23:51

Re: Cijfersom over verschillende talstelsels

Een andere vraag is:

We bekijken de verzameling
\(\mathbb{V}_a\)
van alle n waarvoor
\(\delta^*(n)>2n+a\)
met a een welbepaald geheel getal. Interessant is bijvoorbeeld voor welke a deze verzameling leeg is, eindig veel elementen telt of oneindig veel elementen telt.

We bekijken de verzameling
\(\mathbb{V}_a^*\)
van alle
\(n\in\mathbb{V}_a\)
waarvoor geldt dat als m|n, dan
\(m\notin\mathbb{V}_a\)
. Interessant is bijvoorbeeld voor welke a deze verzameling leeg is, eindig veel elementen telt of oneindig veel elementen telt.

We bekijken de verzameling
\(\mathbb{V}_a^{**}\)
van alle
\(n\notin\mathbb{V}_a^*\)
en waarvoor een
\(m\in\mathbb{V}_a^*\)
bestaat met n|m en waarvoor geldt dat voor alle elementen
\(n_i\in\mathbb{V}_a^*\)
met
\(n|n_i\)
geldt dat
\(\text{ggd}(\text{alle }n_i)=n\)
. Interessant is bijvoorbeeld voor welke a deze verzameling leeg is, eindig veel elementen telt of oneindig veel elementen telt.

Merk ook op dat ik het nu steeds over
\(\delta^*(n)\)
heb (ook in de vorige post). De vragen kunnen ook gesteld worden voor
\(\delta(n)\)
of
\(\delta_i^*(n)\)
of
\(\delta_i(n)\)
voor een bepaalde i. Het sleutelen aan de vorm 2n+a kan natuurlijk ook, maar dan wordt het wel heel erg algemeen en moeilijk om een richting te vinden waarin iets bruikbaars of interessants te vinden is.
kee
Artikelen: 0
Berichten: 400
Lid geworden op: wo 15 aug 2007, 23:51

Re: Cijfersom over verschillende talstelsels

Op Wikipedia staat al wat info, natuurlijk wel maar wanneer
\(\delta_1(n)\)
bekeken wordt.

http://en.wikipedia.org/wiki/Abundant_number

(Merk op dat de uitleg hierbij op de Nederlandstalige Wikipedia fout is.)

Terug naar “Wiskunde”