Permutaties

[Drieske]

Even opnieuw beginnen. Ik heb wat foutjes gemaakt in mijn vorige post. Je voorbeeld is geen goed voorbeeld. Want ((12345)(67))^5 is niet de identieke. En dat moest wel zo zijn. Ook is ((12345))^5 niet weer (12345), maar wél de identieke. Ik hoop dat ik hiermee de verwarring recht kan zetten. Als je de 5 cykels na elkaar toepast, zie je dit ook.

Code: Selecteer alles

1 2 3 4 5

| | | | |

v v v v v

2 3 4 5 1

| | | | |

v v v v v

3 4 5 1 2

| | | | |

v v v v v

4 5 1 2 3

| | | | |

v v v v v

5 1 2 3 4

| | | | |

v v v v v

1 2 3 4 5

En dàt is de identieke. Want 1 gaat naar 1, 2 naar 2, etc. Nog even ter aanvulling: daar (12345)^5 = id, is ((12345)(67))^5 = (67)^5 = (67). Dit kun je analoog nagaan.

[Jaimy11]

Even opnieuw beginnen. Ik heb wat foutjes gemaakt in mijn vorige post. Je voorbeeld is geen goed voorbeeld. Want ((12345)(67))^5 is niet de identieke. En dat moest wel zo zijn. Ook is ((12345))^5 niet weer (12345), maar wél de identieke. Ik hoop dat ik hiermee de verwarring recht kan zetten. Als je de 5 cykels na elkaar toepast, zie je dit ook.

Goed ik begrijp gewoon wat je bedoelde, maar dacht dat het alleen om de cykel ging.

In dat geval moet je de 10e macht nemen.

[Drieske]

Inderdaad. Maar dat is dus geen goed voorbeeld . Je ziet dat (12345) wel een goed voorbeeld is? Verlies het gevraagde niet uit het oog. Dat is: zoek een cykel s zodat s^5 = id...

En in 2 is dat: bewijs dat s^5 = id als en slechts als s een cykel is van lengte 5.

-edit- om je wat tijd te besparen bij 2: zie je in dat, analoog aan wat we hier reeds deden voor (12345), je meteen hebt dat ((abcde))^5 = Id voor willekeurige a, b, c, d, e?

[Jaimy11]

Inderdaad. Maar dat is dus geen goed voorbeeld . Je ziet dat (12345) wel een goed voorbeeld is? Verlies het gevraagde niet uit het oog. Dat is: zoek een cykel s zodat s^5 = id...

En in 2 is dat: bewijs dat s^5 = id als en slechts als s een cykel is van lengte 5.

als s^5 = id, dan is de lengte van een cyclus 5, want s^5 de eerste mogelijkheid om id terug te verkrijgen. Voor s=1,2,3,4 kan geen volledige cyclus worden doorlopen zodat de permutatie weer bij 1 is.

Als s een cykel is van lengte 5, dan wordt na 5 permutaties de originele weer terugverkregen, hieruit volgt dat s^5 = id

Edit: ja dat was me duidelijk

[Drieske]

Als s een cykel is van lengte 5, dan wordt na 5 permutaties de originele weer terugverkregen, hieruit volgt dat s^5 = id

Dat klopt...

als s^5 = id, dan is de lengte van een cyclus 5, want s^5 de eerste mogelijkheid om id terug te verkrijgen. Voor s=1,2,3,4 kan geen volledige cyclus worden doorlopen zodat de permutatie weer bij 1 is.

Dit niet volledig. Om te beginnen: s=1 is geen permutatie, maar dat terzijde. Heb je al gezien dat elke permutatie kan geschreven worden als twee aan twee disjuncte cykels? Zoja, moet je dat opmerken. Zonee, moet je nog bewijzen dat elke permutatie te schrijven valt zo. Immers ga je daar impliciet van uit in je bewijs.

Overigens alvast een algemener balletje opwerpen: als s een cykel is van lengte k, dan is de orde van de cykel s gelijk aan k (dus s^k = id).

[Jaimy11]

Dit niet volledig. Om te beginnen: s=1 is geen permutatie, maar dat terzijde. Heb je al gezien dat elke permutatie kan geschreven worden als twee aan twee disjuncte cykels? Zoja, moet je dat opmerken. Zonee, moet je nog bewijzen dat elke permutatie te schrijven valt zo. Immers ga je daar impliciet van uit in je bewijs.

Ja, dat leek me inderdaad wel duidelijk.

Dus als ik dat er bij had gezet was het wel in orde geweest?

Overigens alvast een algemener balletje opwerpen: als s een cykel is van lengte k, dan is de orde van de cykel s gelijk aan k (dus s^k = id).

Logisch ja, maar dient het nog ergens specifiek voor?

[Drieske]

Ja, dat leek me inderdaad wel duidelijk.

Dus als ik dat er bij had gezet was het wel in orde geweest?

Je hebt dat dus gezien? Ik zou het er bij zetten ja. Je moet tonen dat je het weet. Immers kan een prof niet weten of jij iets weet en het vanzelfsprekend vindt, of het vergeten bent .

Logisch ja, maar dient het nog ergens specifiek voor?

Wat bedoel hiermee? Of cykels een nut dienen?

[Jaimy11]

Wat bedoel hiermee? Of cykels een nut dienen?

Ik bedoelde ermee: moet dit een bewijs worden verwerkt of is het een gewone observatie?

[Drieske]

Van mijn kant is het een observatie . Het is ook niet iets wat gevraagd werd ofzo. Voor jou kan het eventueel een goede oefening zijn.

Je kunt dat nog algemener maken. Schrijf een permutatie in zijn disjuncte cykelschrijfwijze: s1 s2 ... sk, dan is de orde hiervan gelijk aan het kgv van de lengtes van de cykels. Voorbeeld: de orde van (12345)(67) is 10 omdat kgv(5, 2) = 10.

[Jaimy11]

Van mijn kant is het een observatie . Het is ook niet iets wat gevraagd werd ofzo. Voor jou kan het eventueel een goede oefening zijn.

Je kunt dat nog algemener maken. Schrijf een permutatie in zijn disjuncte cykelschrijfwijze: s1 s2 ... sk, dan is de orde hiervan gelijk aan het kgv van de lengtes van de cykels. Voorbeeld: de orde van (12345)(67) is 10 omdat kgv(5, 2) = 10.

Oke dat begrijp ik

En die laatste vraag dan?

Voor hoeveel permutaties

\(\sigma\)

van 7 geldt P(

\(\sigma\)

)?

[Drieske]

Dat vind je vrij rap op internet (en is een kwestie van combinatoriek) . Zie bijv wiki (een k-cykel is een cykel van lengte k).

[Jaimy11]

Dat vind je vrij rap op internet (en is een kwestie van combinatoriek) . Zie bijv wiki (een k-cykel is een cykel van lengte k).

Ok, dus eigelijk een triviaal antwoord.

Ik zat namelijk meer te denken aan

\(7 \choose 5\)

\(* 2!\)

....

Zou ik je nog een ding kunnen vragen m.b.t. iets anders?

(gaat over de orde in

\(Z_1_7_5\)

, of moet ik even een nieuw topic openen?)