[wiskunde] integralen / integreren

[Rudeoffline]

Hoe lossen we volgende integraal op?

dx/(1+x^4)

Als de integraal over de gehele ruimte is, kun je deze met contourintegratie oplossen. Dus z^4 = -1 oplossen, kijken welke polen er in de contour liggen, en de residuen uitrekenen.

[TD]

Dat is enkel om de bepaalde integraal van - tot + uit te rekenen, zo vind je nog niet de primitieve functie die volgens mij hier gezocht wordt, het betreft immers onbepaalde integratie.

Bovendien vereist het kennis van residurekening en dat lijkt me hier niet het geval.

[TD]

Dit is een verdere reactie op http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=18698

@Bart: Zoals dr. E. Noether heeft laten zien kan je een inverse tangens integreren met behulp van partiële integratie (zie ook wisfaq: Bgcos, Bgtan, Bgsin).

Als je dit niet zo 'leuk' vindt of gewoon ook een andere manier wil zien kan het ook opnieuw in poolcoördinaten, vermits je daar toch ook mee bezig was. Het voordeel is dat je integrand dan zeer eenvoudig wordt, namelijk gewoon cos(t).

Je hoek t gaat dat van 0 tot pi/4, alleen voor r even opletten. Die begint bij 0 maar moet dan steeds gaan tot aan de parabool. Die had als vergelijking y=x²/2 dus in PC rsin(t)=r²cos²(t)/2, oplossen naar r geeft dan r = 2sin(t)/cos²(t).

Dit levert dan:



(Binnenkort is dat gedoe met images hopelijk niet meer nodig en kunnen we zo'n prachtige plaatjes als hierboven zelf op het forum genereren 8))

[Rogier]

(Binnenkort is dat gedoe met images hopelijk niet meer nodig en kunnen we zo'n prachtige plaatjes als hierboven zelf op het forum genereren  8))

Absoluut!

[EvilBro]

Dit is een verdere reactie op http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=18698

Daar had ik nog een vraagje over...

Als je het vraagstuk probeert op te lossen door eerst naar x te integreren en daarna naar y via (x/(x^2+y^2))=>ln(x^2+y^2) kom je uiteindelijk op iets waar y*ln(y) in zit. Hierin zou je nul moeten invullen. Dit kan volgens mij niet. Kun je dit probleem oplossen door er een limiet van te maken (want de limiet van y*ln(y) voor y gaat naar 0 is nul)?

[TD]

Daar had ik nog een vraagje over...

Als je het vraagstuk probeert op te lossen door eerst naar x te integreren en daarna naar y via (x/(x^2+y^2))=>ln(x^2+y^2) kom je uiteindelijk op iets waar y*ln(y) in zit. Hierin zou je nul moeten invullen. Dit kan volgens mij niet. Kun je dit probleem oplossen door er een limiet van te maken (want de limiet van y*ln(y) voor y gaat naar 0 is nul)?

Je kunt niet eerst naar x integreren omdat de grenzen van y afhankelijk zijn van x. Als je dat toch zou proberen dan zou er na integratie naar x een integraal staan naar y, maar ook nog met een x-afhankelijkheid van de grenzen!

Bij een dubbele integraal over een rechthoek mag je de integratievolgorde verwisselen, maar bij integratie over een gebied (hier regelmatig ten op zichte van één van de assen), kan dat in het algemeen niet.

[EvilBro]

Je kunt niet eerst naar x integreren omdat de grenzen van y afhankelijk zijn van x.

De grenzen kun je toch omschrijven naar x=... (y=x => x=y en y=(x^2)/2 => x=sqrt(2*y)).

[TD]

Dat kan, maar als ik dat doe kom ik denk ik nergens yln(y) tegen.

[EvilBro]

Dat kan, maar als ik dat doe kom ik denk ik nergens yln(y) tegen.

zie hier

[TD]

Dat probleem krijg je als je je logaritmen volledig opsplitst. Wellicht kan je het ook terug oplossen door ze weer te groepen, maar door je substitutie zijn de grenzen niet over gelijk. Ik raad je aan de omweg niet te maken en vian eigenschappen van logaritmen net zoveel mogelijk samen te nemen, het integreren van die logaritme blijft eenvoudig (één keer partiële integratie).

[EvilBro]

Dat probleem krijg je als je je logaritmen volledig opsplitst.

Heeft jouw methode niet hetzelfde probleem? ln((y+2)/(2*y)) is toch niet gedefinieerd voor y=0...

[TD]

Goed opgemerkt, hetzelfde fenomeen komt dus in beide gevallen voor, ik had het direct op deze manier gedaan en het was me niet opgevallen omdat y/2ln((y+2)/(2*y)) zelf wel gedefinieerd is in y = 0 (namelijk 0), hetzelfde geldt uiteraard voor jouw yln(y), ook die is 0 voor y = 0.

Zoals je toen zelf voorstelde (maar toen dacht ik nog dat het hier niet 'nodig' was) kan je dat bijvoorbeeld met limiet zien, al volstaat het op te merken dat x sneller convergeert dan ln(x) maar dat komt op hetzelfde neer.

[moernoo]

sorry voor mijn domheid, maar ik snap volgende stappen niet:

voor deze stap ken ik precies de formule niet:



en voor volgende stap snap ik de werking niet zo goed:



als er soms iemand zo goed zou kunnen zijn om mij dit nog even uit te leggen. dankuwel .

Bart

[TD]

Je moet je hier niet excuseren voor zoiets als 'domheid'... Om te beginnen is het dat niet en als het dat wel was, dan is er nog geen verontschuldiging nodig

De eerste stap is de integratie van x/(x²+y²) naar x. De afgeleide van de noemer is 2x en dit staat op een factor 2 na in de teller, dus herschrijf als volgt: 1/2 2x/(x²+y²) en nu staat de afgeleide van de noemer in de teller, met als primitieve ln|noemer|. Eventueel ook te zien met de substitutie u = x²+y²

Het tweede is partiële integratie. Neem de volledige ln als f(x) en neem dy als dg, dan geldt f dg = fg - g df.

Hierin is g dan gelijk aan y en df gelijk is aan de afgeleide van ln((y+2)/(2y)), dat is -2/(y(y+2)) dy.

ln((y+2)/(2y)) dy = yln((y+2)/(2y)) - -2/(y(y+2)) y dy = yln((y+2)/(2y)) + 2[int] 1/(y+2) dy

[Antoon]

stel ik wil de oppervlakte bepalden onder de grafieklijn tot de x-as van de lijn:

y=1/x

tussen de waarden voor x=3 en x=4.

hoe ga ik dan te werk (hier gebruik je toch intergreren voor?)