Homeomorfisme met de de cirkel

[Drieske]

Klopt. Dus ze kunnen niet homeomorf zijn. Akkoord?

[Siron]

Klopt. Dus ze kunnen niet homeomorf zijn. Akkoord?

Ik ben akkoord. Hoe zit het dan met de quotientruimte die ik nu heb?

[Drieske]

Je zult nooit een homeomorfisme kunnen leggen tussen X/~ en S1. Dit omdat je er een kunt leggen tussen X/~ en S1 x S1 en wegens bovenstaande weten we dat S1 en S1 x S1 niet homeomorf zijn.

Kun je nu nog uitleggen waarom X/~ en S1 x S1 homeomorf zijn?

[Siron]

Je zult nooit een homeomorfisme kunnen leggen tussen X/~ en S1. Dit omdat je er een kunt leggen tussen X/~ en S1 x S1 en wegens bovenstaande weten we dat S1 en S1 x S1 niet homeomorf zijn.

Kun je nu nog uitleggen waarom X/~ en S1 x S1 homeomorf zijn?

Is het de bedoeling hier om een concreet homeomorfisme te construeren? Of gewoon op te merken dat alle topologische eigenschappen overeenkomen?

[Drieske]

Dat is echt niet eenvoudiger om te bewijzen hoor . Dan moet je dat echt effectief allemaal nagaan. En vooral: wanneer heb je "alles"?

Ik zal je het homeomorfisme geven. Aan jou om na te gaan dat

1. Dat goed gedefinieerd is (je maakt identificaties, dus in die identificaties moet het beeld overeenstemmen).
2. Dat continu is.
3. Bijectief
4. De afbeelding is gesloten (en dus homeomorfisme).

De afbeelding dan:

\(f: I \times I \to S^1 \times S^1: (s, t) \mapsto ((\cos(2 \pi s), \sin(2 \pi s), (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))\)

.

[Siron]

Dat is echt niet eenvoudiger om te bewijzen hoor . Dan moet je dat echt effectief allemaal nagaan. En vooral: wanneer heb je "alles"?

Ik zal je het homeomorfisme geven. Aan jou om na te gaan dat

1. Dat goed gedefinieerd is (je maakt identificaties, dus in die identificaties moet het beeld overeenstemmen).
2. Dat continu is.
3. Bijectief
4. De afbeelding is gesloten (en dus homeomorfisme).

De afbeelding dan:

\(f: I \times I \to S^1 \times S^1: (s, t) \mapsto ((\cos(2 \pi s), \sin(2 \pi s), (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))\)

.

Ok, maar we mappen hier

\(X\)

naar

\(S^1 \times S^1\)

en niet de quotientruimte? De quotientruimte is dan een restrictie van het domein van deze afbeelding. Maar waarom is dan zeker de afbeelding die vertrekt vanuit de quotientruimte naar de torus een homeomorfisme?

Ik had dit eigenlijk wel moeten kunnen raden, omdat afbeeldingen naar de cirkel er meestal zo uitzien. Ik was iets te moeilijk aan het denken .

[Drieske]

Ok, maar we mappen hier

\(X\)

naar

\(S^1 \times S^1\)

en niet de quotientruimte? De quotientruimte is dan een restrictie van het domein van deze afbeelding. Maar waarom is dan zeker de afbeelding die vertrekt vanuit de quotientruimte naar de torus een homeomorfisme?

Daarom moet je nagaan dat deze afbeelding op punten die geïdentificeerd zijn hetzelfde beeld geeft. Dan kun je "gaan uitdelen".

Ik had dit eigenlijk wel moeten kunnen raden, omdat afbeeldingen naar de cirkel er meestal zo uitzien. Ik was iets te moeilijk aan het denken .

Misschien een beetje . Maar nadien denk je dat meestal wel .