We beschouwen onderstaande opstelling:
- rollende-haspel-hoek 988 keer bekeken
Het frame is
niet verbonden met de haspel, maar we zorgen er wel voor dat het frame de translatiebeweging van de haspel volgt. Verder gaan we er vanuit dat de hoek ψ van het touw zodanig is dat de haspel vanuit rust naar rechts rolt. In dat geval wordt het gewichtje G dus opgetild.
Stel dat de haspel over een hoek φ draait. De benodigde energie voor het optillen van het gewichtje noemen we E
G en voor het in beweging zetten van de haspel E
H . Om het frame met de haspel te laten meebewegen moet het voortgeduwd worden. De hiervoor benodigde energie noemen we E
F .
Energiebehoud levert:
\( E_F = E_G + E_H \)
\( E_H = E_F - E_G \)
.
Zoals uit de tekening valt af te lezen geldt verder:
\( E_F = (\mbox{G} . \cos \psi ) . ( \mbox{R} . \varphi ) \)
,
\( E_F = \mbox{G} . \mbox{R} \, . \, \varphi . \cos \psi \)
.
\( E_G = \mbox{G} . ( \mbox{r} . \varphi ) \)
,
\( E_G = \mbox{G} . \mbox{r} \, . \, \varphi \)
.
Dus:
\( E_H = \mbox{G} . \mbox{R} \, . \, \varphi . \cos \psi \, - \, \mbox{G} . \mbox{r} \, . \, \varphi \)
\( E_H = \mbox{G} . \varphi \, . \, ( \mbox{R} \, . \cos \psi \, - \, \mbox{r} ) \)
.
Waaruit we zien dat er voor E
H steeds minder overblijft naarmate we ψ groter kiezen. De kritische hoek ψ
k treedt derhalve op voor:
\( \mbox{R} \, . \cos \psi_k \, - \, \mbox{r} = 0 \)
\( \mbox{R} \, . \cos \psi_k = \mbox{r} \)
\( \cos \psi_k = \frac{\mbox{r}}{ \mbox{R} } \)
\( \psi_k = \arccos \left ( \frac{\mbox{r}}{ \mbox{R} } \right ) \)
.
