Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Marko]

Zo een tekening wilde ik ook maken ter verduidelijking, maar daar ben jij een stuk handiger in....

Om de hoogte h te berekenen zijn enkele parameters van belang die het visco-elastische gedrag van het materiaal karakteriseren. De dichtheid zal ook een rol spelen.

[Bartjes]

Is het niet mogelijk de ketting "ideaal" te veronderstellen?

Dan zou je lijkt me geen extra gegevens meer nodig hebben.

ketting2 925 keer bekeken

Vooral de situaties bij I en bij II zijn interessant, dus waar de bocht net is begonnen en vlak voordat die ophoudt. En verder de situaties III en IV waar de ketting tot stilstand komt en waar die in beweging wordt gezet.

[Marko]

Wat versta je onder ideaal?

[Bartjes]

Volledig buigzaam, maar toch zo sterk dat de uitrekking bij iedere kracht verwaarloosbaar klein is.

[jkien]

Vooral de situaties bij I en bij II zijn interessant, dus waar de bocht net is begonnen en vlak voordat die ophoudt.

Een opmerking: je tekening bevat de aanname dat er tussen I en II een cirkelsegment van 180° is, zoals bij langzaam hijsen over een katrol. Maar de werkelijke boog van de vliegende ketting is misschien een curve met maximale kromming aan de top, zoals bij een parabool. De contactpunten I en II zijn dan naar elkaar toe gekropen bovenop de denkbeeldige katrol. Het cirkelsegment tussen I en II is dan 0°.

[Michel Uphoff]

maar toch zo sterk dat de uitrekking bij iedere kracht verwaarloosbaar klein is

Denk niet dat je dat mag veronderstellen. De hele vrije ketting heeft een forse snelheid (en zolang de grond niet is geraakt neemt deze snelheid toe). Het eerste kogeltje in de pot dat aan de beurt is om omhoog getrokken te worden heeft geen snelheid, en krijgt in zeer korte tijd de snelheid van de ketting. Dat betekent een enorme versnelling en dientengevolge forse kracht. Als de rek nul zou zijn zou het kogeltje een oneindige versnelling ondergaan, en de ketting zou daar breken. Dus moet er sprake zijn van (elastische) rek en dus tijdelijke opslag van energie in de schakel tussen het laatste bewegende en eerste stil liggende kogeltje. Voor ieder opvolgend schakeltje geldt hetzelfde. Uiteindelijk wordt er dus door de elastische rek een aanmerkelijke hoeveelheid potentiële energie in de ketting opgeslagen.

Die energie komt natuurlijk heel snel weer vrij, en mogelijk is het juist deze energie die de kogeltjes van de ketting naarmate de snelheid van de ketting toeneemt verder boven de pot uit doet stijgen. Hoe groter het snelheidsverschil tussen de opeenvolgende kogeltjes, hoe groter deze opslag van energie.

Ik denk hierbij aan een analogie met een rubberen sleepkabel (alle wrijving buiten beschouwing gelaten): De sleepwagen begint te rijden en de gesleepte auto komt langzaam op gang en blijft in beginsel achter. Ondertussen wordt er energie in de almaar langer wordende sleepkabel opgeslagen. Na enige tijd heeft de gesleepte auto dezelfde snelheid als de sleepwagen. Op een gewone sleepkabel zou nu geen trekkracht meer staan. Maar de sleepwagen heeft de energie geleverd om de gesleepte auto dezelfde snelheid te geven plus de in de elastische kabel opgeslagen potentiële energie, en die energie moet nog vrijkomen. De elastische kabel blijft dus de gesleepte auto versnellen, en de sleepwagen een kracht ondervinden en dientengevolge versnellende energie leveren. De gesleepte auto haalt de sleepwagen dus in en knalt er tegenaan.

Mogelijk is dit juist wat er gebeurt met de kogeltjes die omhoog gaan, door uit rek vrijkomende energie hebben ze een grotere snelheid dan de vallende ketting en worden dus hoger gestuwd. Hoger boven de grond > grotere valsnelheid ketting > groter snelheidsverschil > grotere elastische rek > meer vrijkomende opgeslagen energie > grotere lanceer snelheid > hoger boven de kom.

Plausibel?

[Bartjes]

Ik vrees dat het - voor ons - onberekenbaar ingewikkeld wordt als we de zaak helemaal precies willen doorrekenen.

Verder veronderstel ik de rek niet nul, maar verwaarloosbaar klein. Dat laatste moet je vooral in geometrische zin opvatten, zodat daar afstanden mee gemoeid zijn die je ten opzichte van de h, H en R mag verwaarlozen.

Van deze vereenvoudigde situatie uitgaande komt er bij III in een tijdje dt een energie dE vrij. Daarvoor geldt dan:

\( \mbox{d} E = {\scriptstyle \frac{1}{2}} ((\mbox{v} . \mbox{d}t) . \lambda) . v^2 \)

\( \mbox{d} E = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . \mbox{v}^3 . \mbox{d}t \)

.

Het bij III geleverde vermogen P is dus:

\( P = \frac{\mbox{d} E}{ \mbox{d} t} \)

\( P = \frac{ {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . \mbox{v}^3 . \mbox{d}t }{ \mbox{d} t} \)

\( P = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . \mbox{v}^3 \)

.

De ketting begint met snelheid nul en eindigt met snelheid nul dus het vermogen P wordt ontleend aan de afname van potentiële energie van de ketting. In het bovenste deel van de ketting (de boog) staat er tegenover een stukje dat omhoog beweegt steeds een stukje dat naar beneden beweegt. De netto afname van potentiële energie moeten we dus zoeken in de loodrecht hangende delen van de ketting. Het niet gecompenseerde hangende deel ter lengte van H - h beweegt in een tijdje dt over een afstand v.dt naar beneden. In een tijdje dt is de afname van potentiële energie dE' dus:

\( \mbox{d} E' = (\mbox{v} . \mbox{d}t) . ((H - h) .\lambda) . \mbox{g} \)

\( \mbox{d} E' = (H - h) .\lambda . \mbox{g} . \mbox{v} . \mbox{d}t \)

.

Dus vinden we voor het daarbij beschikbaar komende (en ter plaatse van III gedissipeerde) vermogen P dat:

\( P = \frac{\mbox{d} E'}{ \mbox{d} t} \)

\( P = \frac{ (H - h) .\lambda . \mbox{g} . \mbox{v} . \mbox{d}t }{ \mbox{d} t} \)

\( P = (H - h) .\lambda . \mbox{g} . \mbox{v} \)

.

Bijgevolg hebben we:

\( {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . \mbox{v}^3 = (H - h) .\lambda . \mbox{g} . \mbox{v} \)

\( {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \mbox{v}^2 = (H - h) . \mbox{g} \)

\( \frac{\mbox{v}^2}{2 \mbox{g}} = H - h \)

\( h = H - \frac{\mbox{v}^2}{2 \mbox{g}} \)

.

[Marko]

Dan is h = 0 (uiteraard)

[Bartjes]

Dan is h = 0 (uiteraard)

Als dat eruit zou volgen moet de afleiding fout zijn, maar ik zie niet hoe je aan h=0 komt.

Waarschijnlijk kunnen we nog wel meer uitrekenen als we een formule hebben voor de spankracht in de ketting die er bij een straal R en een snelheid v hoort...

[Marko]

Plausibel?

Dat is ook wat ik in gedachten heb, vandaar mijn verwijzing naar de moduli.

Stel je het volgende voor (in het horizontale vlak). Je hebt een lange brandslang die je al rennend afrolt van de katrol. Je rent om een paal heen terug in de richting waar je vandaan kwam en blijft de slang strak houden. Vervolgens stop je abrupt. Wat zal er met de slang gebeuren?

Als dat eruit zou volgen moet de afleiding fout zijn, maar ik zie niet hoe je aan h=0 komt.

In een ideaal geval is op het punt van de botsing v² = 2 g H

[Bartjes]

In een ideaal geval is op het punt van de botsing v² = 2 g H

Voor de eindsnelheid van losse van een hoogte H vallende kogeltjes klopt dat, maar hoe dat zich tot ons geval van een met snelheid v bewegende ketting verhoudt ontgaat mij nog steeds.

[Bartjes]

Bij IV wordt in een tijdje dt een stukje ketting ter lengte van v.dt vanuit rust op een snelheid v gebracht. De impulstoename dp is dan:

\( \mbox{d}p = ((\mbox{v}.\mbox{d}t) .\lambda) . \mbox{v} \)

\( \mbox{d}p = \lambda . \mbox{v}^2 .\mbox{d}t \)

.

De daarvoor benodigde kracht F is dus:

\( F = \frac{\mbox{d} p}{\mbox{d} t} \)

\( F = \frac{ \lambda . \mbox{v}^2 .\mbox{d}t }{\mbox{d} t} \)

\( F = \lambda . \mbox{v}^2 \)

.

Bij III geldt precies het omgekeerde, en daar zal de kracht dus even groot maar tegengesteld gericht zijn.

[Marko]

Voor de eindsnelheid van losse van een hoogte H vallende kogeltjes klopt dat, maar hoe dat zich tot ons geval van een met snelheid v bewegende ketting verhoudt ontgaat mij nog steeds.

Je wilde toch een ideale situatie?

Dan bestaat dat touw uit een stel kogeltjes die van een hoogte H vallen.

[Bartjes]

Volledig buigzaam, maar toch zo sterk dat de uitrekking bij iedere kracht verwaarloosbaar klein is.

Die kogeltjes zitten dus wel degelijk aan elkaar.

[jkien]

\( F = \lambda . \mbox{v}^2 \)

Als de vliegende ketting zijn constante snelheid heeft bereikt is die benodigde lanceerkracht F blijkbaar gelijk aan de trekkracht van het 'extra' gewicht van de ketting aan de dalende kant. Dus λv² = λ(H-h)g. Onafhankelijk van λ geldt dan v² = (H-h)g. In de video van Steve Mould is H-h ongeveer 1.5 m. Volgens de formule is de snelheid dan bijna 4 m/s. In de video vliegt de ketting van 50 m in 10 seconde uit de pot, dat is 5 m/s. Dat komt in de buurt.