Hoeveelheid priemgetallen

[Esthetisch]

Ah, ik nam aan dat je gewoon de situatie na 1/2 en machten 2 wou weten...

Maar het gaat dus om starten met 1/3 en machten van 2.

Het is dan de vraag of ik iets niet snap of een verkeerde aanname doe, want het lijkt mij dat er als antwoord gewoon 0 uitkomt met deze beginvoorwaarde: namelijk 1/2 minder dan wat er uit zou komen bij 1/2 en machten van 2.

Nee dat is niet waar, want ik bedoel dus eigenlijk dat je nergens die factor mee neemt. Dit betekent dus niet alleen 1/2 eraf in kolom 1, maar ook dat 1/2*1/3 & 1/2*1/5 & 1/2*1/7 enz eraf in kolom 2, en 1/2*1/3*1/5 eraf in kolom 3 enz enz enz. Je krijgt dan bij elke nieuwe rij een nieuwe waarde, en deze waarde is telkens anders (dus niet steeds 0,5).

[Th.B]

Als je begint bij 1/3 en doorvermenigvuldigt met machten van 2 wordt het een heel ander verhaal. Met inductie valt te bewijzen dat als je doorvermenigvuldigt met machten van n en begint bij 1/n, je ook altijd daar terugkomt (als ik de sommatiemethode goed heb begrepen). Als je begint bij een ander getal kun je volgens mij een recursieformule afleiden. Deze is, als ik het goed heb (maar dat moet ik nog controleren) van de vorm: S(n+1) = a(n) . S(n) + b(n) waarin b(n) >0 naar 0 nadert voor n naar oneindig, en a(n) <1 naar 1. Ik weet niet of ik hiermee makkelijk convergentie naar 0 aan kan tonen of kan ontkrachten.

[Esthetisch]

Als je begint bij 1/3 en doorvermenigvuldigt met machten van 2 klopt er geen hout meer van.

Waar klopt dan geen hout meer van?

[T.N.R.K]

Nee dat is niet waar, want ik bedoel dus eigenlijk dat je nergens die factor mee neemt. Dit betekent dus niet alleen 1/2 eraf in kolom 1, maar ook dat 1/2*1/3 & 1/2*1/5 & 1/2*1/7 enz eraf in kolom 2, en 1/2*1/3*1/5 eraf in kolom 3 enz enz enz. Je krijgt dan bij elke nieuwe rij een nieuwe waarde, en deze waarde is telkens anders (dus niet steeds 0,5).

Ah, dan snap ik hem...

Ik laat het je zsm weten

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

@ Esthetisch en T.N.R.K

Het team gaat er even van uit dat de afspraak over het ruilen van de oplossing voor een priemprobleem tegen de oplossing van een handelsreizigersprobleem gekscherend was bedoeld.

Op dit forum helpt iedereen elk ander vrijwillig. Dat is geen 1-op-1 koehandel, en dat willen we graag zo houden.

[Esthetisch]

Ah, dan snap ik hem...

Ik laat het je zsm weten

Er is trouwens nog wel iets waar ik graag meer duidelijkheid over zou willen krijgen:

a is de kolom opzich, A is de kolom met alle kolommen daarachter opgeteld en afgetrokken. Neem nu even de situatie nog voordat er met machten van 2 vermenigvuldigd is.

Je weet het volgende:

- a kan naarmate je steeds meer rijen neemt oneindig groot worden.

- A = a - B

- A en B kunnen niet groter dan 1 worden. Immers kan binnen een verzameling van x getallen met 2 priemfactoren het aantal getallen met 3 factoren nooit groter zijn dan x.(net zoals er niet meer priemgetallen dan getallen kunnen zijn.

Deze 3 feiten gaan volgens mij toch niet samen. Waar zit de fout?

[Th.B]

@Esthetisch: daarmee bedoel ik dat ik geen zinnig woord kan zeggen over wat er precies met A(n) gebeurt als n naar oneindig gaat. Alleen in dat speciale geval als je begint bij 1/n en vermenigvuldigt met n-machten is het meteen duidelijk dat A(n) = 1/n voor alle n. Wat de laatste post betreft, ik snap de redenering bij je derde punt toch niet helemaal. Volgens mij klopt dat niet.

[Esthetisch]

Wat de laatste post betreft, ik snap de redenering bij je derde punt toch niet helemaal. Volgens mij klopt dat niet.

Toch is de redenering volgens mij wel juist. Je neemt een aantal aaneengesloten getallen op de getallenlijn. Je weet dat er dan bijvoorbeeld 1 op de 7 getallen deelbaar is door 7. En dat 1 op de 2 getallen deelbaar is door 2. Maar dus ook dat slechts 1 op de 14 door zowel door 2 als 7 deelbaar is.

Het is dan toch volkomen logisch dat er altijd binnen zon deel op de getallenlijn meer getallen zijn die deelbaar zijn door 7, dan het aantal getallen dat deelbaar is door 7 en ook nog en ander priemgetal. Simpelweg omdat je ook altijd de mogelijkheid hebt dat een getal van de vorm 7^n is.

[Bartjes]

Toch is de redenering volgens mij wel juist. Je neemt een aantal aaneengesloten getallen op de getallenlijn. Je weet dat er dan bijvoorbeeld 1 op de 7 getallen deelbaar is door 7. En dat 1 op de 2 getallen deelbaar is door 2. Maar dus ook dat slechts 1 op de 14 door zowel door 2 als 7 deelbaar is.

Het is dan toch volkomen logisch dat er altijd binnen zon deel op de getallenlijn meer getallen zijn die deelbaar zijn door 7, dan het aantal getallen dat deelbaar is door 7 en ook nog en ander priemgetal. Simpelweg omdat je ook altijd de mogelijkheid hebt dat een getal van de vorm 7^n is.

Bekijk je een eindig of een oneindig stuk van de getallenlijn. In het laatste geval mag je de gebruikelijke rekenkunde niet zondermeer toepassen.

[Esthetisch]

Zelfs al zou je een oneindig stuk pakken dan alsnog is hetgeen ik beweerde het geval.

[Bartjes]

Er bestaat een groot verschil tussen beweren en bewijzen. Het goochelen met oneindige rijen en reeksen alsof het eindige rijen en sommen zijn levert soms ware en soms onware resultaten op. Vandaar de paradoxen.

[Esthetisch]

Er bestaat een groot verschil tussen beweren en bewijzen. Het goochelen met oneindige rijen en reeksen alsof het eindige rijen en sommen zijn levert soms ware en soms onware resultaten op. Vandaar de paradoxen.

sorry dit vindt ik toch een onbevredigende verklaring. Waar loopt het in uw ogen dan precies fout?

In principe bekijk je overigens altijd een eindig deel. Voor een oneindig deel heeft zo'n eindwaarde van de tabel überhaupt geen diepere betekenis. Bovendien wordt het aantal rijen ook bepaal door de grootte van het deel, immers is de laatste rij die je bij een specifieke berekening (dus niet bij het bepalen van de limiet) meeneemt dat priemgetal wat zich het dichtst onder de wortel van n bevindt.

[Bartjes]

Als ik het goed begrijp heb je:

a(n) = S(n;1) ,

A(n) = S(n;1) - S(n;2) + S(n;3) - S(n;4) ± ...

en

B(n) = S(n;2) - S(n;3) + S(n;4) ± ... .

Aangezien S(n,m) = 0 voor n < m kunnen a, A en B in essentie als eindige reeksen beschouwd worden. Zodat we inderdaad voor eindige n zien dat:

A(n) = a(n) - B(n) .

Mee eens?

[Esthetisch]

Als ik het goed begrijp heb je:

a(n) = S(n;1) ,

A(n) = S(n;1) - S(n;2) + S(n;3) - S(n;4) ± ...

en

B(n) = S(n;2) - S(n;3) + S(n;4) ± ... .

Aangezien S(n,m) = 0 voor n < m kunnen a, A en B in essentie als eindige reeksen beschouwd worden. Zodat we inderdaad voor eindige n zien dat:

A(n) = a(n) - B(n) .

Mee eens?

Dat lijkt me wel juist ja.

[Bartjes]

Dat lijkt me wel juist ja.

Tot zover zijn we het dus eens. Dan is het nu de vraag hoe daar - volgens jou - een paradox uit volgt.