Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

[benno321]

Ik kan nu wel bewijzen dat [0,1] en R equipotent zijn, maar er zou toch ook een bijectie moeten tussen bestaan. Zoja hoe zou ik die dan kunnen vinden?

[Drieske]

Kan je een bijectie geven tussen (0, 1) en R? Denk aan die tan(x).

Kan je ook een bijectie geven tussen [0, 1] en (0, 1)?

Stel deze nu samen.

[benno321]

Een bijectie tussen (0,1) en R is dan f(x)=tan(pi*x+pi/2). Maar ik kan maar geen bijectie vinden tussen [0,1] en (0,1).

[Drieske]

Het idee is het volgende: beeld 0 af op 1/2, 1 op 1/3, en nu 1/n op 1/(n+2). Zo heb je {0, 1} U {1/n | n in N} in bijectie gebracht met {1/(n + 1) | n in N}. Enig idee wat je nu moet doen met de rest van het interval [0, 1]?

[benno321]

Ik zou zeggen dan verbind je gewoon die punten met een rechte, maar dan zitten toch nog niet alle punten in uw beeld dus heb je toch nog altijd geen bijectie

[Drieske]

Ik snap niet goed wat je bedoelt. Bedoel je: voor de andere punten beeld ik ze af op zichzelf?

[benno321]

Dat bedoel ik inderdaad, klopt dit dan?

[Drieske]

Dat klopt ja. De afbeelding die een bijectie geeft tussen [0, 1] en (0, 1) is dus

\(f: \rr \to \rr: x \mapsto \begin{cases}\frac{1}{2} & x=0 \\ \frac{1}{k+2} & x = \frac{1}{k} \\ x & \mbox{ anders}\end{cases}\)

Nu kun je dus die twee bijecties gaan samenstellen om eentje te bekomen tussen [0, 1] en R.