Puzzel Kansberedeneren met Deuren.

[PeterPan]

Ik zal zeggen wat er fout is in mijn redenering.

Achter de gekozen deur ligt een envelop met X Euro (X is even).

X is een willekeurig even positief getal, en al die positieve even getallen hebben dezefde kans gekozen te worden.

Echter dat is onmogelijk, want er bestaat geen uniforme kansverdeling voor de even positieve getallen.

Dus het uitgangspunt is fout, en dus hoeft mijn correcte redenering niet tot een correct resultaat te leiden.

Als je ervan uitgaat dat er maximaal 1 miljoen Euro in de enveloppen zitten, dan loont het de moeite in een van de enveloppen te kijken.

Voor lage bedragen switchen, voor hoge bedragen niet switchen.

Als je ervan uitgaat dat er maximaal Z miljoen Euro in de enveloppen bevindt en we laten Z naar oneindig gaan, dat nadert de kansverdeling voor kleine bedragen naar mijn berekening (andere deur kiezen, want kans nadert 5X/4) en voor bedragen dichter bij Z vooral niet switchen.

Als de quizmaster je verder helemaal geen informatie geeft, dan maakt het natuurlijk niets uit. Of mis ik iets diepzinnigs?

Aangezien de quizmaster een beperkt bedrag zal uitkeren, zal het van je inschatting afhangen hoeveel hij maximaal zal uitkeren, en van het bedrag dat je in de envelop aantreft of je besluit tot switchen of niet.

[EvilBro]

Aangezien de quizmaster een beperkt bedrag zal uitkeren, zal het van je inschatting afhangen hoeveel hij maximaal zal uitkeren, en van het bedrag dat je in de envelop aantreft of je besluit tot switchen of niet.

Nee.

Stel dat de quizmaster twee enveloppen heeft: enveloppe 1 en enveloppe 2. In enveloppe 1 doet hij bedrag X. Om te bepalen welk bedrag hij in enveloppe 2 stopt gooit hij een eerlijk muntje op. Bij kop stopt hij X/2 in enveloppe 2, bij munt stopt hij 2X in enveloppe 2. Hij plaatst de enveloppen achter de deuren. Je kiest een deur.

De quizmaster vertelt je nu dat je enveloppe 1 hebt en vraagt of je wil switchen. Je weet nu dus dat de andere enveloppe of X/2 of 2X bevat. Als je switch dan is je verwachte gewonnen bedrag 5X/4 en als je niet switch is het X. Kortom als je weet dat je enveloppe 1 hebt dan switch je en heb je X/4 verwachte winst op de niet geswitchte situatie.

De quizmaster had je ook kunnen vertellen dat je enveloppe 2 had. In dat geval weet je dat niet switchen de X/4 verwachte winst oplevert (zelfde verhaal als hierboven maar precies andersom ).

Helaas is de realiteit dat de quizmaster helemaal niks loslaat over welke enveloppe je hebt. Je besluit dit op te lossen door zelf te beslissen dat je enveloppe 1 gevonden hebt. Dit is echter maar in de helft van de gevallen zo. Doordat je besloten hebt dat je enveloppe 1 vast hebt, ga je altijd switchen. In de helft van de gevallen levert dit X/4 op en in de andere helft verlies je X/4 (gemiddeld gesproken natuurlijk). Het resultaat van switchen is dus gemiddeld nul.

Het heeft dus geen enkele zin om te switchen als je geen extra informatie krijgt (onafhankelijk van hoe groot x mogelijkerwijs zou kunnen zijn).

[Mar(c)]

... Jij mag een deur kiezen.

Dat doe je.

Dan krijg je van de quizmaster nog één keer de kans om van deur te wisselen.

Inderdaad, zonder aanvullende info blijft de kans op de meest waardevolle envelop 50%. Je tweede keuze is immers onafhankelijk van je eerste.

En wat is het gemiddelde bedrag achter de eerst gekozen deur?

Dat weet je pas als je voor die deur gekozen hebt.

Jouw bewijs impliceert dat je weet wat er achter deur 1 ligt. Hetgeen niet uit de vraagstelling blijkt.

Dat weet ik inderdaad niet.

Na het lezen van je laatste uitleg bekroop me het gevoel dat ik wat gemist had...

Ik begrijp nu dat het de bedoeling was dat je na je eerste keuze, vóórdat de quizmaster je de kans geeft om van deur te wisselen, kennis neemt van de inhoud van de envelop achter de eerstgekozen deur.

Dat is toch wel een essentieel gegeven, die ik (nu achteraf) wel uit de middelste van de drie quotes haal, maar weer wordt tegengesproken door de derde..?

Uit de geleverde informatie las ik net als why73 dat de tweede keuze onafhankelijk is van de eerste.

Maar goed, een discussie over uniformiteit van kansverdelingen van positieve getallen zal ik met interesse volgen, maar verwacht niet een nuttige inbreng van mij.

Oké, poging: Is het handig om in je tweede keuze het feit mee te nemen dat getallen/bedragen beginnend met een 1 in het dagelijkse leven het meest voorkomen?

[PeterPan]

Stel je weet dat in de kwis maximaal 1.000.000 miljoen Euro te verdienen is, en je pakt de envelop en er zit 800.000 Euro in. Zou je dan de andere envelop nemen? Nee, natuurlijk niet. Boven de 500.000 Euro nooit de andere envelop kiezen. Maar dat betekent dat je juist wel van envelop moet veranderen bij kleinere bedragen.

Stel dat de quizmaster twee enveloppen heeft: enveloppe 1 en enveloppe 2. In enveloppe 1 doet hij bedrag X.

Je zou het niet zeggen, maar daar gaat het al fout. In enveloppe 1 doet hij bedrag X. Wat is X? Kan dat 2 zijn of 100000000 en is de kans dat het X=2 is hetzelfde als de kans dat X=100000000? M.a.w. kan het elk willekeurig even positief getal zijn? En hebben al die getallen dezelfde kans om X te zijn? Het antwoord is dat dat niet kan, omdat een uniforme kansverdeling over alle positieve even getallen niet bestaat.

Doordat het uitgangspunt (uniforme verdeling) niet deugt, klopt mijn conclusie niet (de redenering daarentegen is wel correct, kans andere deur heeft succes = (X/2+2X)/2).

Je zou het zo kunnen zien. Als ik ervan uitga dat 0>1 (onjuist uitgangspunt), dan kan ik met een correcte redenering tot de belachelijke conclusie komen dat 1 1.

Dat verklaart dat mijn redenering (inclusief uitgangspunt) niet juist is.

Dus als je niet in de envelop mag kijken maakt het niets uit wat je doet, maar als je er wel in mag kijken maakt dat wel degelijk wat uit.

(Stel maar eens dat er maar 2 Euro in zit, zou je dan wisselen? En als er 1 miljoen in zat?)

Ik begrijp nu dat het de bedoeling was dat je na je eerste keuze, vóórdat de quizmaster je de kans geeft om van deur te wisselen, kennis neemt van de inhoud van de envelop achter de eerstgekozen deur.

De vraag was eigenlijk, wat is er fout met mijn redenering.

Daarop is het antwoord dat mijn uitgangspunt (uniforme verdeling) onzin is.

Dan is de vraag, heeft het zin om te wisselen?

Mijn redenering hebben we dan al afgeschreven. De conclusie is dan dat het weinig nut heeft te wisselen als je niet in de eerste envelop kijkt, maar dat het wel nuttig kan zijn als je wel in de eerste envelop mag kijken.

[temuchin]

stel, de quismaster geeft je nog een kans om van deur te verranderen?

dan zou je in princippe nog eens moeten veranderen omdat het bedrag hoger zou zijn?

[eXorikos]

Als ik het me goed herinner, dan is het een vraagstuk met 3 deuren en het was verstandiger om van deur te veranderen. Ik zou nog eens moeten uitzoeken hoe het weer juist zat

[Pollop XXIII]

Het is idd verstandiger om te verwisselen van deur. Dit lijkt wat raar, maar stel je dit eens voor:

De quizmaster laat je kiezen tussen 100 deuren, achter 1 van de deurtjes ligt een envelopje met geld. Je kiest er eentje.

Nu opent de quizmaster 98 van de overblijvende 99 deurtjes waarachter niks ligt en laat je de mogelijkheid om nog te switchen van keuze naar het overgebleven deurtje.

Zie je dat veranderen slimmer is? Deze situatie is al een stuk minder contra-intuïtief

als je cijfertjes wil zien:

Kans dat het geld achter jouw eerst gekozen deurtje ligt is 1/100

De kans dat je het geld vind als je verandert van deurtje is 1/2

[Raspoetin]

Dat is hier allemaal al beschreven (al 4(!) pagina's).

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=17023