E=mc²

[Professor Puntje]

(...) maar nog steeds niet waarom energie/arbeid het kwadraat van kracht is....

 
F = m.a
 
Dus heeft kracht de samengestelde eenheid kg.m/s². Als afkorting voor die samengestelde eenheid gebruikt men ook N (de newton).
 
W = F.s
 
Dus heeft arbeid de samengestelde eenheid N.m = kg.m²/s². Als afkorting voor die samengestelde eenheid gebruikt men ook J (de joule).
 
Het kwadraat van de eenheid van kracht is: (kg.m/s².)² = (kg)².m²/s⁴.
 
Het is dus niet zo dat de (samengestelde) eenheid van arbeid het kwadraat is van de (samengestelde) eenheid van kracht. Maar ook als dat wel zo zou zijn is daarmee nog niet bewezen dat: F² = W.  De eenheden aan weerszijden van een natuurkundige vergelijking moeten altijd kloppen, maar niet iedere natuurkundige vergelijking waarvan de eenheden kloppen is ook correct.

[always]

'Dus heeft arbeid de samengestelde eenheid N.m = kg.m²/s².'
 
Maar waardoor is arbeid meer dan kracht. Waarom kracht nog eens vermenigvuldigen met lengte om arbeid/energie te krijgen? Kracht is toch al berekend voor een bepaalde afstand?

[Michel Uphoff]

Misschien verduidelijkt dit wat:
 
Leun tegen een kist. Oefen je een kracht op die kist uit? Ja. Word je er moe van, kost dat energie? Nee. 
Duw tegen die kist, zodat deze verschuift. Oefen je een kracht uit? Ja. Wordt er een weg in de richting van de kracht afgelegd? Ja. Wordt je er moe van? Ja. Je moet voor de verplaatsing namelijk arbeid verrichten (= kracht * weg).
 
Arbeid is niet meer dan kracht, het is iets anders dan kracht. Met alleen een kracht zonder weg is er geen sprake van arbeid; een pak melk dat op tafel staat levert geen arbeid, maar oefent wel een kracht op de tafel uit (en de tafel weer op het pak). Er is geen energie te onttrekken aan dat stilstaande pak melk, dat zou pas kunnen als dat pak beweegt.

[Marko]

Ik denk dat de verwarring bij always vooral bestaat uit het feit dat er in de kracht-term (pun intended) ook een afstand zit ingebakken. 1 N komt immers overeen met 1 kg m s^-2. Maar ik heb helaas geen flauw idee hoe ik de herkomst daarvan helder en natuurkundig correct kan uitleggen. 

[Professor Puntje]

'Dus heeft arbeid de samengestelde eenheid N.m = kg.m²/s².'

 

Maar waardoor is arbeid meer dan kracht.

 

Je zou je net zo goed kunnen afvragen of 10 kg meer of minder is dan 1 m? Of dat vijf cirkels groter zijn dan één rechthoek? Een zinloze vraag dus. Dat is appels met peren vergelijken. Alleen grootheden met overeenkomstige eenheden zijn te vergelijken. 

 

Waarom kracht nog eens vermenigvuldigen met lengte om arbeid/energie te krijgen?

 

Omdat mechanische arbeid zo gedefinieerd is. En het is zo gedefinieerd omdat men heeft gemerkt dat op die manier tal van zaken eenvoudiger verklaard kunnen worden. En tal van zaken kunnen zo eenvoudiger verklaard worden omdat veel krachten "conservatief" zijn. En zo kun je nog een paar stappen verder doorvragen, maar uiteindelijk kom je toch op een punt waarop je moet zeggen: we hebben gemerkt dat de natuur zus en zo functioneert, en daar gaan we dan ook maar vanuit. 

 

Merk op dat een kracht die niets in beweging brengt ook geen arbeid verricht. Arbeid is dan ook wel degelijk een ander begrip dat kracht.

 

Kracht is toch al berekend voor een bepaalde afstand?

 
Nee! Een kracht kan ook op iets werken zonder dat er verplaatsing optreedt. Hoogstens zal er in zo'n statisch geval dan enige vervorming optreden.

[always]

Ik denk dat de verwarring bij always vooral bestaat uit het feit dat er in de kracht-term (pun intended) ook een afstand zit ingebakken. 1 N komt immers overeen met 1 kg m s^-2. Maar ik heb helaas geen flauw idee hoe ik de herkomst daarvan helder en natuurkundig correct kan uitleggen. 

 
Op zich begrijp ik wel waarom je bij kracht ook de afstand in de berekening betrekt, want: kracht is massa * versnelling. En om die versnelling te berekenen heb je de snelheid nodig en die snelheid wordt weer afgeleid van de afstand (en tijd).
 
 

Misschien verduidelijkt dit wat:
 
Leun tegen een kist. Oefen je een kracht op die kist uit? Ja. Word je er moe van, kost dat energie? Nee. 
Duw tegen die kist, zodat deze verschuift. Oefen je een kracht uit? Ja. Wordt er een weg in de richting van de kracht afgelegd? Ja. Wordt je er moe van? Ja. Je moet voor de verplaatsing namelijk arbeid verrichten (= kracht * weg).
 
Arbeid is niet meer dan kracht, het is iets anders dan kracht. Met alleen een kracht zonder weg is er geen sprake van arbeid; een pak melk dat op tafel staat levert geen arbeid, maar oefent wel een kracht op de tafel uit (en de tafel weer op het pak). Er is geen energie te onttrekken aan dat stilstaande pak melk, dat zou pas kunnen als dat pak beweegt.

 
Zou er in het vaccuum dan geen verschil zijn tussen arbeid en kracht? Immers als ik tegen een kist leun in het vacuum (de ruimte) dan verplaast deze zich, en als ik met dezelfde kracht tegen die kist duw dan verplaatst deze zich ook. Geen verschil dus. Op aarde heb je natuurlijk weerstand en moet je de kracht heel de weg afleggen. Zou het dan daarmee te maken hebben dat op aarde arbeid tweemaal zoveel is als kracht tov de ruimte?

[Marko]

 
Zou er in het vaccuum dan geen verschil zijn tussen arbeid en kracht? Immers als ik tegen een kist leun in het vacuum (de ruimte) dan verplaast deze zich, en als ik met dezelfde kracht tegen die kist duw dan verplaatst deze zich ook. Geen verschil dus. Op aarde heb je natuurlijk weerstand en moet je de kracht heel de weg afleggen. Zou het dan daarmee te maken hebben dat op aarde arbeid tweemaal zoveel is als kracht tov de ruimte?

 
Als je in een lege ruimte, zonder weerstand, tegen een kist leunt, dan verplaatst die zich en dan blijft die zich verplaatsen. Als je in een lege ruimte, zonder weerstand, tegen een kist aan duwt (en blijft duwen), dan zal de kist steeds blijven versnellen. Er is dus wel degelijk een verschil. Ook in de ruimte, zonder weerstand, geldt: als je over een bepaalde afstand een bepaalde kracht op een voorwerp uitoefent, dan komt het product van kracht en afstand overeen met een bepaalde hoeveelheid energie. Het verschil met een situatie op Aarde, met weerstand, is waar die energie in is omgezet: in de ruimte, zonder weerstand, alleen in kinetische energie van het voorwerp in kwestie. Op Aarde, met weerstand, ook voor een deel in warmte.

[always]

' (en blijft duwen)'
 
Dat zorgt natuurlijk wel voor een verschil. 
 
'dan komt het product van kracht en afstand overeen met een bepaalde hoeveelheid energie.'
Begrijp ik het dan goed dat in de ruimte de hoeveelheid energie toch afhankelijk is van de afgelegde afstand? Maar die is toch oneindig dan? Want de afstand blijft oneindig toenemen. Dan is dus bij gelijkblijvende kracht op de kist de hoeveelheid energie en dus arbeid afhankelijk van de afgelegde afstand? Als dat zo is dan kan ik nog wel begrijpen dat ook de lengte/afstand in het kwadraat moet?! Maar misschien is het dan beter om te spreken van 'opbrengst'/product dan van ingestoken arbeid?
 
Maar dan blijft nog de vraag waarom in E=mc2 er juist geen afstand in staat?

[Marko]

' (en blijft duwen)'
 
Dat zorgt natuurlijk wel voor een verschil. 
 
 

 
Uiteraard. Maar het gaat erom dat je eerlijk vergelijkt. Als je de situatie in de ruimte wil vergelijken met die op Aarde, dan moet je 2 situaties vergelijken waarin je over een bepaalde afstand genomen steeds een bepaalde kracht op een voorwerp uitoefent. Dan heb je een eerlijke vergelijking.
 

 

 
Ja, dat begrijp je goed; en nee, die is niet oneindig. Het gaat om de afstand waarover daadwerkelijk een kracht wordt uitgeoefend. Stop je met het uitoefenen van een kracht, dan zal, als er geen weerstand is, het voorwerp inderdaad blijven bewegen. Alleen wordt er verder geen kracht op dat voorwerp uitgeoefend, dus is er geen sprake van arbeid.
 
Blijf je wel kracht uitoefenen, dan zal er wel steeds sprake zijn van arbeid. Het voorwerp zal dan steeds verder versnellen.
 
Als je begrijpt dat deze vorm van energie wordt uitgedrukt in een eenheid die overeenkomt met kg m² s^-2 en je accepteert dat alle vormen van energie dezelfde eenheid moeten hebben, dan accepteer je (hopelijk) ook dat dat voor de eenheid van energie in E=mc² zo is.
 
In die eenheid zit overigens natuurlijk net zo goed een afstand in het kwadraat:c² is het kwadraat van een snelheid, dus het kwadraat van afstand/tijd, dus afstand²/tijd²

[always]

Kun je arbeid (kg m² s^-2 ) dan ook omschrijven als mv²?

[Michel Uphoff]

Hoewel zowel arbeid als (kinetische) energie dezelfde dimensie kgm²/s² hebben zijn het toch verschillende begrippen.
 
Arbeid is kracht maal verplaatsing, de hoeveelheid werk die wordt verricht bij de verplaatsing van een massa. Arbeid leidt tot een toe- of afname (verandering) van een bepaalde energievorm.
Een fietser die harder trapt verricht positieve arbeid, waardoor zijn snelheid (dus zijn kinetische energie) toeneemt.
Gaat hij remmen (de kracht werkt nu tegen de verplaatsing in) dan verrichten de remmen negatieve arbeid; er wordt kinetische energie omgezet in warmte-energie waardoor de snelheid (dus de kinetische energie) afneemt.
 
Twee filmpjes hierover:
 


 

[always]

"Hoewel zowel arbeid als (kinetische) energie dezelfde dimensie kgm²/s² hebben zijn het toch verschillende begrippen."
 
In beide filmpjes wordt energie wel geschreven als E=0,5mv². Waarom wordt hier de massa voor de helft meegenomen?

[Professor Puntje]

Voor een leuk bewijs:
 
http://algemeen.gymnasiumnovum.nl/vakken/natuurkunde/NatuurkundeKlas4/Files/Kinetische%20energie%20met%20filmpje.pdf

[always]

Ok, ondanks dat ik die E=0,5mv² erg onoverzichtelijk vind, is die dus gelijk aan E=kgm^2/s² ?!
 
Stel ik heb het volgende:
 
M=100
v=240km/u
t of s=5min
afstand of m=20km
 
Bij E=0,5Mv² krijg je dan 0,5*100 * 240² = 2.880.000
 
Bij E=kgm^2/s² krijg je dan 100 * 20²  / 5² = 160
 
Dus of mijn berekening klopt niet of de twee vergelijkingen zijn niet aan elkaar gelijk?

[Professor Puntje]

@ always

 
In de natuurkundige vergelijkingen moeten in principe de complete grootheden worden ingevuld, maar uit gemakzucht doet men dat vaak niet. Als je een ruime ervaring met zulke sommetjes hebt weet je zo ook wel hoe de eenheden uitpakken, en dan plak na een berekening met enkel de getallen de toepasselijke eenheid weer achter het gevonden getal. Heb je die ervaring niet dan is dat een heel gevaarlijke handelwijze zoals hier weer eens blijkt.
 
De natuurkundige vergelijking E=kgm²/s²is onzin. Daarbij zou de energie van alle denkbare systemen 1 kg.m²/s²= 1 J zijn. Er valt in die vergelijking ook niets in te vullen want de kilogram, de meter en de seconde liggen al vast.
 
Hoe moet het dan wel?
 
De massa wordt meestal aangegeven door een kleine letter m. Verder is de massa m van een voorwerp niet 3 of 100 of enige ander getal maar bijvoorbeeld 3 kg of 100 kg (dus een getal plus de eenheid van massa). Laten we hier m = 100 kg bekijken.
 
Voor de snelheid kan je v = 240 km/uur nemen, maar om uiteindelijk op een handige samengestelde eenheid voor energie uit te komen kun je beter eerst die km in meters en het uur in seconden omzetten. Dus:
 
v = 240 km/uur = (240.000 m)/(60*60 s) = (240.000 m)/(3600 s) = (2400 m)/(36 s) = 66,666... m/s .
 
De tijd wordt met t aangegeven en de afstand met s, dus "s=5min" is fout. De massa en niet de afstand schrijft men als m, dus "m=20km" is fout. Maar voor het berekenen van de kinetische energie E_k = 1/2 m.v² heb je de tijd of afstand sowieso niet nodig.
 
De berekening gaat dan zo:
 
E_k = 1/2 . m . v²
 
E_k = 1/2 . 100 kg . (66,666... m/s)²
 
E_k ≈ 50 kg . 4444,4 m²/s²
 
E_k ≈ 222,2 10³ kg.m²/s²
 
E_k ≈ 222,2 kJ