Volume beredeneren van een kegel

[anusthesist]

Ik snap dat schetsje niet...lijkt wel een tekening van Escher

Voor de goede orde, dit had ik dus in gedachten:



Dan zien jullie dus ook meteen 'de driehoek' die ik in gedachten had, in het geval het niet duidelijk was uit mijn verhaal.

[Professor Puntje]

Ik snap dat schetsje niet...lijkt wel een tekening van Escher

 

Het stelt een plakje voor dat uit een cilinder is gesneden. Omgekeerd kun je die cilinder dan weer opgebouwd denken uit zulke plakjes. Daarbij moet dan wel worden voorkomen dat de plakjes overlappen, want dan tel je volumes dubbel. Het gevolg is dat de plakjes naar de symmetrie-as van de cilinder toe dunner worden. Als taartpuntjes dus.

Omdat de kegel in de cilinder wordt gedacht, wordt een deel van de cilinderplakjes gevormd door kegelplakjes. Als de cilinder bestaat uit N plakjes, is het volume van de cilinder N maar het volume van zo'n plakje. Evenzo voor de kegel. Voor de verhouding van het volume van de kegel en dat van de cilinder hoeven we dus maar één plakje te beschouwen.
 
Toegepast op je tekeningetje:
 

uitgesneden 413 keer bekeken

[anusthesist]

De lengte van het stukje taartpunt dat op de cirkel ligt is dan 1rad?

[Professor Puntje]

De lengte van het stukje taartpunt dat op de cirkel ligt is dan 1rad?

Nee - dat wordt zeer klein (infinitesimaal) genomen waardoor je de kromming van het buitenvlak mag verwaarlozen. Ik heb het groot getekend omdat je anders niet ziet wat er gebeurt.

Je kunt ook werken met ingeschreven en omgeschreven veelvlakken die dan respectievelijk een kleiner en een groter volume hebben. Naarmate die veelvlakken meer vlakken hebben zullen ze de beschouwde lichamen en daarmee de gezochte volumes beter benaderen. In de limiet vind je dan de gezochte waarde.

[Professor Puntje]

Omdat de plakjes symmetrisch zijn om de lengte-as van de cilinder mag je voor het bepalen van de volumeverhouding van kegel en cilinder ook de helft van zo'n plakje beschouwen. (Of zelfs de helft daarvan bij horizontale doorsnijding langs de blauwe lijn!) Zie:
 

sym 412 keer bekeken

 
 

[Professor Puntje]

Voor het gemak gaan we uit van kwart cilinder- en kegelelementjes:
 

oplossing 411 keer bekeken

 
Het volume C van een kwart cilinderelementje (een halve balk) is:
 
C = 1/2 . (b.l.h)
 
En het volume K van een kwart kegelelementje (een lage piramide) is:
 
K = 1/3 . ((1/2 . b.l) . h)
 
Dus :
 
K/C = (1/3 . 1/2)/(1/2) = 1/3 .
 
De verhouding tussen de volumes van de kegel en de cilinder is dus ook 1/3 .