Hoeveel mogelijkheden, formule

[Emveedee]

5602403324368859628175066816140055076688544855738885805589119394471230187114235166035974756392592046839027024907048995901640085196001904470223555195534827166066334203925695949770222454951127020545007025144463877439442391250134319413689493608482483538023825599436800901677719630461918554806888780489978242331250465049055908270649126083518236506509474039731572248651805646680635251500811607365279783846509014363652895890055096335035844955191317864944714562027566762125729837862309068441390991210937500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 om precies te zijn

[Michel Uphoff]

Ik zal het vanavond even met de hand narekenen. Ik vertrouw die on-line huge number calculators niet echt   .

[Professor Puntje]

Een flink aantal vierkante plaatjes hebben allemaal een zwarte achterzijde, en een voorzijde met een gedeelte van een afbeelding. Het is dus een soort puzzel, die slechts één goede oplossing kent. Dat is die waarbij alle plaatjes met de gezichtszijde omhoog, in de juiste rotatie (0,90,180 en 270 graden) op de juiste locatie (links, boven, rechts onder) bij de juiste buur aansluiten. De achterzijde boven geldt ook als een mogelijkheid, maar dan is de rotatie niet van belang.

 
Dat begrijp ik nog niet helemaal. Waarom is de oriëntatie van een met de zwarte achterzijde boven gelegd stukje niet van belang? Kennelijk omdat dat er ongeacht de oriëntatie hetzelfde uitziet. Maar dat geldt ook voor twee met de zwarte achterzijde boven gelegde stukjes die van plaats verwisselen. Voor dat laatste wordt echter weer niet gecorrigeerd.

[Michel Uphoff]

Ja, daar zit wat in..

Hoe corrigeren we dat?

[Emveedee]

Dat is inderdaad een valide punt... dan wordt het al een moeilijkere som. Stel je hebt N tegels in totaal, waarvan er i met de zwarte kant boven liggen, dan heb je (N-i)! volgorden waarin de 'plaatjes' kunnen liggen.
 
Het aantal combinaties waarin je dan de zwarte tegels kunt leggen is dan:

\(\dbinom{286}{i} = \frac{286!}{i!(286-i)!}\)

Je kunt dit zien alsof je 286 plekken heb om een tegel neer te leggen, waarvan je er i kiest om een zwarte neer te leggen.
 
Dit moeten we dan sommeren over alle mogelijke waarden van i, 0 tot 286 dus:

\(\sum\limits_{i=0}^{286} \frac{286!}{i!(286-i)!} (286-i!) = \sum\limits_{i=0}^{286}\frac{286!}{i!}\)

Licht verassend en ook wel elegant, vind ik. Maar uiteindelijk klinkt het wel logisch. Bij 286 plaatjes heb je 286! volgorden, bij 286 zwarten heb je 286!/286! is precies 1 volgorde. Makes sense.
 
 
Om de rotaties van de plaatjes mee te tellen, moeten we nog een factor 4^(286-i) toevoegen:

\(\sum\limits_{i=0}^{286}\frac{286!}{i!} 4^{286-i}\)

 
Uiteindelijk wordt het dan:
 

\(T = 8\sum\limits_{i=0}^{286}\frac{286!}{i!} 4^{286-i}\)

[Emveedee]

Oh, ik bedenk me net dat dit niet compenseert voor welke plaatjes er zichtbaar zijn. Stel je hebt 1 plaatje zichtbaar. Dan zou je nu uitkomen op 286! / 285! = 286 volgorden. Maar er zijn ook 286 plaatjes die boven kunnen liggen. Even nadenken....
 
 
Edit:

Volgens mij komt het erop neer dat je dus nog een factor moet meenemen om te compenseren voor het aantal te kiezen plaatjes:

\(\dbinom{286}{286-i} = \frac{286!}{(286-i)!(286-(286-i))!}=\frac{286!}{(286-i!)i!}\)

 
Dan kom je dus op:
 

\(T = 8\sum\limits_{i=0}^{286}\frac{(286!)^2}{(i!)^2(286-i)!} 4^{286-i}\)

 
Ziet iemand hier nog fouten in?

[Michel Uphoff]

Heb je de uitkomst berekend?

[Emveedee]

Volgens wolfram alpha:

 

2084537126588458995906405725052398306397081116048617039255972541203521388906103065473101300842952925606818467274007853241008409672948372877660669600594092931230730167822533299497938208026987118188850542748205147142642554367500591701436046295187101282482391045550807474883616733481424978410796513977170750427691204107887003069964576292568888408829996019066310716585684049522223431618702777890912547462186294675453214420844490257783917730824241054859324328839243675682600089182079030276842737579405847015986466891240272854656256202908818637243267664545315599666908948972202630879825624920967784688891884178883678344578589645007928421743594660502535146577030449354309828225955860331945978592655345915853732653196751798563937368222219053679933575528396616819775880
 
Als ik het goed heb is dat dus ongeveer 2.08*10^759. (Het getal wordt helaas niet in wetenschappelijke notatie weergegeven, maar het zijn 760 tekens).

 

 
http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=8*(sum+i%3D1+to+286+(286!)%5E2%2F(+(i!)%5E2+(286-i)!)+4%5E(286-i))

[EvilBro]

Als ik het goed begrijp wil je weten hoeveel "voor het oog" verschillende configuraties er zijn. Daarbij maakt het dus niet uit of de rechthoek op de kop staat of niet. Daarbij maakt het dus ook niet uit of twee zwarte vakjes verwisseld zijn.

Er zijn 286 tegels. Van deze tegels kies je er N die met de juiste zijde boven liggen. Het aantal manieren waarop dit kan is:

\({286 \choose N}\)

De overige tegels liggen dus met de zwarte zijde naar boven.

Er zijn 286 plekken waar een tegel kan liggen. Je moet voor de N tegels met de juiste zijde naar boven N plekken kiezen. Het aantal manieren waarop dit kan is:

\({286 \choose N}\)

Op de N gekozen plekken kun je de N gekozen tegels op N! manieren leggen. Je kunt elke tegel op 4 manieren op de gekozen plek leggen. Er zijn 8 manieren om de tegels in een rechthoek te leggen. Hiermee kom je tot de volgende som:

\(8 \cdot \sum_{N=0}^{286} {286 \choose N} \cdot {286 \choose N} \cdot N! \cdot 4^N\)

Dit is gelijk aan hetgeen Emveedee heeft berekend. Als je echter niet geinteresseerd bent in boven en onder dan moet je dit geval nog delen door 2. Daarna moet de juiste configuratie er nog af.

edit: tikfoutje gecorrigeerd.

[Emveedee]

Ik denk dat je N! bedoelt i.p.v. 4!

[Michel Uphoff]

OK! Hartelijk dank allemaal.