Parameter elemineren uit een stelsel van parametervergelijkingen

[Professor Puntje]

Ga na of een aantal eenvoudige "punten" (x,y) die hieraan voldoen inderdaad oplossingen van het vraagstuk in de openingspost zijn.

[Professor Puntje]

Ik heb vanochtend niet al te veel tijd, maar het ziet er naar uit dat er toch een rechte uit komt. Onderstaande rode lijn heb ik gevonden aan de hand van de oplossingen van het stelsel vergelijkingen voor t = -20, -10, 0, 10, 20.
 

rechte 690 keer bekeken

 
Ik heb nu ook geen tijd om het te controleren en ga er vanavond wel weer mee verder, het is een héél merkwaardig vraagstuk...

[tempelier]

En nu?

Ik heb de vorm met Maple nagerekend.
 
Ik vind dan:
 

\(15x^2+15y^2-5x^2y-3x^3+5y^3+3y^2x=0\)

 
Dit lijkt heel iets anders maar als je hem met een factor 34 vermenigvuldig dan krijg je nagenoeg wat jij hebt.
 
(er is een getal echt anders en er is een teken verschil in een andere)
 
Ik ben echter een slechte rekenaar, dus ook mijn vorm kan verkeerd zijn,
(ondanks dat de eenvoud er op lijkt te wijzen dat de mijne de correcte is)
 
Mijn vorm is waarschijnlijk ontbindbaar ( met de nadruk op waarschijnlijk ), maar ik zie niet direct hoe.
 
Misschien kan er een derde naar kijken welke vorm goed is.

[Safe]

De 'gemakkelijkste' weg is eerst de parametrisering in de variabele t te bepalen.
Dus  bepaal x en y als functie van t.
Daarna t elimineren ...
 
Je vindt dan: 3x+5y=15 natuurlijk zijn t=-5/3 en t=3/5 uitgesloten, maw de lijn bevat (ophefbare) discontinuïteiten ...

[Marko]

Ik heb de vorm met Maple nagerekend.
 
Ik vind dan:
 

\(15x^2+15y^2-5x^2y-3x^3+5y^3+3y^2x=0\)

 
Dit lijkt heel iets anders maar als je hem met een factor 34 vermenigvuldig dan krijg je nagenoeg wat jij hebt.
 
(er is een getal echt anders en er is een teken verschil in een andere)
 
Ik ben echter een slechte rekenaar, dus ook mijn vorm kan verkeerd zijn,
(ondanks dat de eenvoud er op lijkt te wijzen dat de mijne de correcte is)
 
Mijn vorm is waarschijnlijk ontbindbaar ( met de nadruk op waarschijnlijk ), maar ik zie niet direct hoe.
 
Misschien kan er een derde naar kijken welke vorm goed is.

 
Jouw vorm is te ontbinden in

\((x^2+y^2)(-3x-5y+15)=0\)

[Safe]

\(15x^2+15y^2-5x^2y-3x^3+5y^3+3y^2x=0\)

 

\(15x^2+15y^2-5x^2y-3x^3+5y^3+3y^2x=0\)

 

\((x^2+y^2)(15-3x-5y)=0\)

 
Dit zou het moeten worden, maar ...

[tempelier]

Goed gezien Marco en Safe.
 
Ik zelfs zag het niet zo snel.
 
De oplossing is nu zo simpel dat ik me inderdaad afvraag of ze niet te simpel is.
(een rechte met een geïsoleerd punt lijkt me toch wat te krap.)
 
Ik ga denk ik Maple de grafiek van de opgave op de een of andere manier kan laten tekenen.
 
PS.
Maple wilde de ontbinding niet geven met factor.

[Safe]

De ontbinding en jouw vorm kloppen niet ...

[tempelier]

De ontbinding en jouw vorm kloppen niet ...

Dat van die ontbinding ben ik nu ook achter.
 
Toch is er iets vreemd laat in de oorspronkelijke vorm tekenen (volgens Puntjes) dan krijg ik wel twee evenwijdige rechte waaronder 15-3x-5y=0
 
Ik denk dat ik de hele rommel er maar uit Maple gooi en opnieuw begin.

[Wiskundeisloveislife]

Jongens, laat maar vallen . De taak is afgegeven en volgende week zeg ik jullie wel of het juist is of niet. toch bedankt voor de hulp iedereen, die apprecieer ik enorm!

[Safe]

Ik ben toch benieuwd naar wat je gevonden hebt ...

[Professor Puntje]

Ik heb zelf geen eenvoudiger manier gevonden om de rekenpartij via de hogeregraadsvergelijking in x en y en de ontbinding daarvan te omzeilen. Toch vermoed ik dat het simpeler moet kunnen. Het stelsel vergelijkingen levert namelijk twee rechten die (voor alle toegestane waarden van t) loodrecht op elkaar staan.

[Professor Puntje]

Hoe is het afgelopen? Wat is volgens je school nu de juiste aanpak? Is er een eenvoudiger oplossing?

[Wiskundeisloveislife]

Resultaat is 6/10 :/

Ik denk wel dat niemand in de klas beter heeft dan dat dus dat is toch al iets... Ik zal jullie morgen een foto sturen van de commentaar van mijn leerkracht.

[EvilBro]

Breuken even wegwerken:

\((5 \cdot t - 3) \cdot y = -(5 + 3 \cdot t) \cdot x\)

\((5 + 3 \cdot t) \cdot y = (5 \cdot t - 3) \cdot x + 15 \cdot (t^2 + 1)\)

dan haakjes:

\(5 \cdot y \cdot t - 3 \cdot y = -5 \cdot x - 3 \cdot x \cdot t\)

\(5 \cdot y + 3 \cdot y \cdot t = 5 \cdot x \cdot t - 3 \cdot x + 15 \cdot (t^2 + 1)\)

Termen herschikken:

\(5 \cdot y \cdot t + 3 \cdot x \cdot t = 3 \cdot y - 5 \cdot x\)

\(3 \cdot y \cdot t - 5 \cdot x \cdot t + 5 \cdot y + 3 \cdot x = 15 \cdot (t^2 + 1)\)

Haakjes toevoegen voor het overzicht:

\((5 \cdot y + 3 \cdot x) \cdot t = (3 \cdot y - 5 \cdot x)\)

\((3 \cdot y - 5 \cdot x) \cdot t + (5 \cdot y + 3 \cdot x) = 15 \cdot (t^2 + 1)\)

Eerste gelijkheid invullen in de tweede:

\((5 \cdot y + 3 \cdot x) \cdot t \cdot t + (5 \cdot y + 3 \cdot x) = 15 \cdot (t^2 + 1)\)

en dan:

\((5 \cdot y + 3 \cdot x) \cdot t^2 + (5 \cdot y + 3 \cdot x) = 15 \cdot (t^2 + 1)\)

\((5 \cdot y + 3 \cdot x) \cdot (t^2 + 1) = 15 \cdot (t^2 + 1)\)

\((5 \cdot y + 3 \cdot x) = 15\)

\(5 \cdot y = 15 - 3 \cdot x\)

\(y = 3 - \frac{3}{5} \cdot x\)