Cos ^ 4 x integreren

[JDAV]

Dan heb ik dus 2∫cos⁴x . dx =  cos³ x . sin x - 3 . ∫cos² x . dx
Klopt dit?

[JDAV]

2∫cos⁴ x . dx = cos³ x . sin x - 3 . ∫(1 - sin² x) . dx 
= cos³ x . sin x - 3 . (x - ∫sin² x . dx)
= cos ³ x . sin x - 3 x + 3 ∫sin² x . dx
 
Verder lijk ik niet te komen. Het lijkt nog helemaal niet op de uitkomst die meneer heeft genoteerd, en ik lijk weer vast te zitten met een integraal op het einde.

[tempelier]

Dan heb ik dus 2∫cos⁴x . dx =  cos³ x . sin x - 3 . ∫cos² x . dx
Klopt dit?

Nee dat lijkt me niet er moet een reken fout inzitten.
 
die 2 moet een 4 zijn en die min een + als ik me niet vergis.
 
War blijf je mee zitten?
Soms hiermee?
De resterende integraal wordt meestal opgelost dor op de dubbele hoek over te gaan.
Dit is min of meer standaard.

[JDAV]

Oké, ik snap de fout. Maar als ik dit verder uitwerk heb ik dan nog altijd die integraal van cos² en als ik deze probeer uit te werken houd ik toch steeds een integraal over op het einde?

[tempelier]

Ik realiseer me nu dat je de truc van de dubbel hoek niet hebt gehad.
 
Het kan ook met partiële integratie zoals daarnet:
 

\( \int \cos^2 x dx=\int \cos x d\sin x=\sin x\cos x - \int\sin x d\cos x=\sin x \cos x +\int \sin^2 x dx\)

 
Dit kan dan weer als op de voorgaande manier worden gevonden.

[JDAV]

Als ik die laatste integraal volledig uitwerk houd ik er dan toch weer een over? 

[tempelier]

De reken fout is er uit, dat is vast iets.
 
Ik ga nu verder waar ik gebleven was en bekijk alleen de laatste integraal.
 

\(\int \sin^2 x dx=\int (1-\cos^2) dx = \int 1 dx -\int \cos^2 dx \)

 
Je kunt nu de truc opnieuw toepassen.

[JDAV]

Dat had ik al door.
Mijn probleem is dat ik denk dat ik (hoe vaak ik die truc ook toepas) steeds met een integraal zal blijven zitten.

[tempelier]

Dat had ik al door.
Mijn probleem is dat ik denk dat ik (hoe vaak ik die truc ook toepas) steeds met een integraal zal blijven zitten.

Zo ver zit je er niet van.
 
Je kunt op deze manier elke positieve even macht van de cos kraken.
 
Je zakt bij elke integratie twee machten tot je er eentje hebt die rechtstreeks kan.
 
PS.
Als je bij 36 moet beginnen is het meer een soort straf.

[JDAV]

Ah, je hebt je post bewerkt.
Ik lees het nu.

[JDAV]

= cos³ x . sin x + 3 . cos x . sin x + 3 . ∫sin² x . dx
= cos³ x . sin x + 3 . cos x . sin x + 3x - 3 . ∫cos² . dx 
= cos³ x . sin x + 3 . cos x . sin x + 3 x - 3 . ∫cos x . cos x . dx 
cos³ x . sin x + 3 . cos x . sin x + 3 x - 3 . (cos x . sin x - ∫sin x . sin x . dx)
nu zit ik weer met zo'n integraal
Ik denk dat het mij ontgaat.

[tempelier]

Ah, je hebt je post bewerkt.
Ik lees het nu.

Ik heb je post nu pas open gemaakt.
Bewerkt heb ik niets hoor.
 
Maar kom je er nu wel uit?

[JDAV]

Nee. Telkens als ik die integraal op het einde uitwerk wordt de vergelijking langer en komt er een andere integraal bij.
Misschien doe ik iets verkeerd of zie ik iets over het hoofd.
Mijn vorige post is hoe ver ik nu zit.

[tempelier]

Je bent er haast hoor.
 
Tot hier ging het goed:
 

\(4\int \cos^4 dx= \cos^3 x \sin x +3\int \cos^2 dx\)

 
Wat we nu gaan doen is de laatste integraal aanpakken en als we die gevonden hebben substitueren we oplossing er in en klaar is het dan.
 
We hadden al.

Code: Selecteer alles

\(\int\cos^2 dx=\int\sin x d\cos x=\sin s \cos x - \int\sin x d\cos x\)

 

\(\int \cos^2 x dx=\cos x \sin x +\int \sin^2 dx\)

[JDAV]

Dat had ik al gedaan in de foto die ik heb gepost, dacht ik.