Identificatie van V** en V?

[Professor Puntje]

Daarbij zou ik alleen nog wel willen opmerken het hier niet over zomaar een isomorfisme gaat, maar om een heel specifiek isomorfisme, meestal aangeduid met het 'kanonieke isomorfisme'.
Dat is het isomorfisme f dat voldoet aan f(v)(w) = w(v).  voor elke v in V en elke w in V*
 
Merk op dat iedere twee vectorruimten met dezelfde dimensie isomorf zijn. Dus als je 'isomorfisme' in het algemeen als equivalentierelatie gebruikt dan wordt je equivalentieklasse veel groter, en dan zijn zelfs V en V* equivalent aan elkaar.

 
Het kanonieke isomorfisme dat je daar aangeeft werkt ook als afbeelding van W naar W** (voor de W en W** uit mijn openingspost). Ik heb dat – mede als oefening voor mezelf – nog even nagetrokken. Een gewoon isomorfisme tussen vectorruimten U en V geeft aan welke corresponderende vectoren uit U en V als vectoren beschouwd hetzelfde zijn. In die zin kun je overeenkomstige vectoren identificeren. Maar de overeenkomstige vectoren in twee kanoniek isomorfe vectorruimten lijken kennelijk in sterkere mate op elkaar dan de overeenkomstige vectoren in twee niet-kanoniek isomorfe vectorruimten. Wat de vraag oproept in welke extra opzichten je overeenkomstige vectoren uit kanoniek isomorfe vectorruimten dan met elkaar kunt identificeren waar dat voor overeenkomstige vectoren uit niet-kanoniek isomorfe vectorruimten niet langer geoorloofd is.

[Math-E-Mad-X]

Als V en W twee vectorruimtes met dezelfde dimensie zijn, en v en w twee willekeurig gekozen vectoren uit V en W, dan kun je altijd een isomorfisme (bijectieve lineare afbeelding) vinden die v op w afbeeldt. Dus in die zin kun je elke twee vectoren met elkaar identificeren. Het is maar net welk isomorfisme je kiest.
 
Het speciale van het kanonieke isomorfisme wat ik hierboven aangaf is dat het uniek is. Als u de vector uit V** is die voldoet aan f(v) = u  dan heb je dus een sterkere reden om v met u te identificeren.

[Professor Puntje]

Het speciale van het kanonieke isomorfisme wat ik hierboven aangaf is dat het uniek is. Als u de vector uit V** is die voldoet aan f(v) = u  dan heb je dus een sterkere reden om v met u te identificeren.

 

Dat begrijp ik. Maar één punt is mij nog niet duidelijk. Bij het niet-kanonieke isomorfisme stel ik mij voor dat de geïdentificeerde vectoren wat betreft hun vectoreigenschappen gelijk zijn. Is het nu zo dat daar bij een kanoniek isomorfisme (vergeleken met een niet-kanoniek isomorfisme) nog extra eigenschappen (dus als extraatje bovenop de eigenschappen die ze op grond van het niet-kanonieke isomorfisme al gemeenschappelijk hebben) bijkomen die die geïdentificeerde vectoren dan zuiver op grond van dat kanonieke isomorfisme ook nog beide moeten bezitten?

[Math-E-Mad-X]

Ik snap niet helemaal wat je bedoelt...

 
 

ik stel mij voor dat de geïdentificeerde vectoren wat betreft hun vectoreigenschappen gelijk zijn

het zijn allebei vectoren, dus ze voldoen aan de axioma's voor de elementen van een vectorruimte.. in die zin zijn ze 'gelijk' maar dat geldt voor alle vectoren uit alle vectorruimtes...
 
Het identificieren van twee vectoren wil alleen maar zeggen dat er een isomorfisme bestaat dat de ene vector op de andere afbeeldt. Dat heeft dus verder niks met de eigenschappen van die vectoren zelf te maken.

 

Is het nu zo dat daar bij een kanoniek isomorfisme nog extra eigenschappen bijkomen

 

De extra "eigenschap" van de vectoren v en u uit mijn vorige post is het feit dat ze voldoen aan de vergelijking f(v) = u, met f het kanonieke isomorfise. Maar dat had ik al verteld, dus ik weet niet of dit je vraag beantwoordt.

[Professor Puntje]

Laat E(x, y, z, ...) een welgevormde uitspraak zijn over vectoren x, y, z, ... uit een vectorruimte V waarbij die uitspraak bovendien is te formuleren binnen de taal van de axiomatisch gefundeerde abstracte algebraïsche theorie van de vectorruimten.

Bij de identificatie van twee isomorfe vectorruimten V en V' volgens een isomorfisme f: V → V' stel ik mij dan voor dat uitspraken van de vorm E(a, b, c, ...) en E(f(a), f(b), f(c), ...) voor alle concrete vectoren a, b, c, ... uit V logisch equivalent zijn. In die zin kunnen we volgens het isomorfisme corresponderende vectoren dan zien als inwisselbaar (of "gelijk").

Is dit zo juist?

[Math-E-Mad-X]

Nee, je kunt niet zomaar zeggen dat alle uitspraken over v ook waar zijn voor f(v).
 
Voor elke uitspraak die je doet over v zul je moeten bewijzen dat het ook opgaat voor f(v). Echter, in de ART zal zo'n bewijs in vrijwel alle gevallen weggelaten worden. Bovendien is zo'n bewijs meestal triviaal. Als je een eigenschap E(v) hebt bewezen, en E(f(v)) is ook waar, dan kun je meestal gewoon overal in het bewijs van E(v) de v vervangen door f(v) en op die manier  een bewijs voor E(f(v)) verkrijgen.
 
Maar let op dat dit dus niet voor alle mogelijke uitspraken geldt. Sommige uitspraken zullen wel waar zijn voor v en niet waar zijn voor f(v), maar ik denk niet dat je zo'n eigenschap ooit in de ART tegen zult komen. Of eventueel zul je een kleine aanpassing aan E moeten doen om hem ook waar voor f(v) te laten zijn, maar ook dan zal die aanpassing zo'n kleine formaliteit zijn dat ze meestal niet genoemd wordt.
 
 
Merk op dat precies hetzelfde geldt voor de driehoeken uit Dijkgraafs college. Het feit dat we twee driehoeken als congruent beschouwen wil zeggen dat als we een uitspraak doen over de hoeken van één driehoek, die uitspraken ook waar zullen zijn voor de andere driehoek. Maar dat geldt niet voor uitspraken waarbij het formaat een rol speelt.
 
En ook als ze in alle meetkundige opzichten identiek zijn, inclusief formaat, dan geldt nog steeds dat we kunnen zeggen dat de ene driehoek links op het scherm staat en de andere driehoek rechts op het scherm. Dit is echter zo'n flauwe en triviale opmerking dat we hier meestal niet eens over na zouden denken. Hoe dan ook, er zullen altijd uitspraken zijn die wel voor de ene waar zijn en niet voor de andere.

[Professor Puntje]

Je kunt "identificatie" interpreteren als een in de wiskundige praktijk geboden maar strikt formeel gezien wat slordige manier van formuleren die je in (veel) concrete gevallen door het gebruik van (al dan niet kanonieke) isomorfismen kunt vervangen en verantwoorden. Dat is als ik het goed begrijp jouw visie en voorstel? Die aanpak begrijp ik.
 
Maar ik vraag mij af of er niet méér mogelijk is in die zin dat je formeel kunt aangeven voor welk type uitspraken E(a, b, c, ...) en E(f(a), f(b), f(c), ...) die uitspraken voor alle concrete vectoren a, b, c, ... uit V wel logisch equivalent zijn. Daarmee zou het dan ook mogelijk worden om redeneringen die identificatie gebruiken direct te toetsen zonder alles eerst weer in de taal van isomorfismen terug te vertalen.
 
Maar als een dergelijke aanpak mogelijk is zal dat vast al eens ergens gepubliceerd zijn, en dan zal ik dat ooit ook nog wel eens tegenkomen. Voor nu laat ik dit onderwerp maar even rusten, want anders leidt het te veel af van mijn studie van de ART.

[Math-E-Mad-X]

Je kunt "identificatie" interpreteren als een in de wiskundige praktijk geboden maar strikt formeel gezien wat slordige manier van formuleren die je in (veel) concrete gevallen door het gebruik van (al dan niet kanonieke) isomorfismen kunt vervangen en verantwoorden. Dat is als ik het goed begrijp jouw visie en voorstel? Die aanpak begrijp ik.

 
Ja, dat is inderdaad mijn visie.

Maar ik vraag mij af of er niet méér mogelijk is in die zin dat je formeel kunt aangeven voor welk type uitspraken E(a, b, c, ...) en E(f(a), f(b), f(c), ...) die uitspraken voor alle concrete vectoren a, b, c, ... uit V wel logisch equivalent zijn.

 
Ik denk dat het heel lastig is om formeel een type uitspraken te definieren. Als je dat probeert ga je weer een heel andere kant van de wiskunde op. Dat is meer de richting van de formele logica.

[Math-E-Mad-X]

Wat denk ik wel het dichtste in de buurt komt van je voorstel, is een heel algemeen toegepaste methode voor het bewijzen van stellingen met betrekking tot equivalentieklassen.
 
Het idee is dat je een uitspraak E wil bewijzen over een bepaalde equivalentiklasse X. Dit bewijs wordt dan opgesplitst in twee stappen:
 
1) Kies een element x (de 'representant') uit de equivalentieklasse en bewijs dat de stelling klopt voor dat element.
2) Laat zien dat het bewijs onafhankelijk is van de gekozen representant. Oftwel, laat zien dat het niet uit had gemaakt als je een ander element y uit X had gekozen in stap 1.
 
Je hebt dan dus bewezen dat ieder element uit X de eigenschap E heeft, en daarom mag je E als een eigenschap van de equivalentieklasse zelf beschouwen.

[Professor Puntje]

Ja, dat is inderdaad mijn visie.

Mooi! Die aanpak is voor mij ook te begrijpen, dus zolang ik geen formele onderbouwing tegenkom waarmee "identificatie" meer handen en voeten gegeven kan worden houd ik het daarbij.

 

Ik denk dat het heel lastig is om formeel een type uitspraken te definieren. Als je dat probeert ga je weer een heel andere kant van de wiskunde op. Dat is meer de richting van de formele logica.

 
Formele logica vind ik ook interessant, dus dat is wat mij betreft geen probleem.

[Professor Puntje]

Wat denk ik wel het dichtste in de buurt komt van je voorstel, is een heel algemeen toegepaste methode voor het bewijzen van stellingen met betrekking tot equivalentieklassen.
 
Het idee is dat je een uitspraak E wil bewijzen over een bepaalde equivalentiklasse X. Dit bewijs wordt dan opgesplitst in twee stappen:
 
1) Kies een element x (de 'representant') uit de equivalentieklasse en bewijs dat de stelling klopt voor dat element.
2) Laat zien dat het bewijs onafhankelijk is van de gekozen representant. Oftwel, laat zien dat het niet uit had gemaakt als je een ander element y uit X had gekozen in stap 1.
 
Je hebt dan dus bewezen dat ieder element uit X de eigenschap E heeft, en daarom mag je E als een eigenschap van de equivalentieklasse zelf beschouwen.

 
Die aanpak ken ik. Probleem is nog wel dat een vector v uit V en een daaraan dubbelduale vector v** uit V** in verschillende vectorruimten (namelijk V en V**) leven.
 
Wel zou je een "dubbelverzameling van V" aan te duiden als V^/** kunnen vormen die precies alle geordende tweetallen (v,v) met v uit V en alle geordende tweetallen (v**,v) met v uit V bevat. Voor ieder geordend tweetal w = (v,v') uit V^/** noem je dan het eerste element v van het geordende tweetal w = (v,v') het origineel van w aan te duiden als or(w). En verder noem je voor ieder geordend tweetal w = (v,v') uit V^/** het tweede element v' van het geordende tweetal w = (v,v') de kopie van w aan te duiden als cop(w). 
 
De elementen van deze dubbelverzameling gedragen zich voor zover het hun originelen betreft precies zo als de elementen van de vereniging van V en V**. Maar als je de vectoren in V met hun dubbeldualen in V** wilt identificeren schakel je over op de kopieën van de elementen van V^/**. 
 
Ik kan op het moment niet overzien of dit werkt, en ik heb er momenteel ook niet de tijd voor om het nader uit te werken.