innercore pressure

[Professor Puntje]

Beschouw de aarde als een zuivere bol met straal R en met een bolsymmetrisch variërende dichtheid ρ(r ) en valversnelling g(r ). Dan levert een uit de aarde gesneden bolschijf met een straal r en dikte dr aan de totale inwaartse kracht het aandeel dF bij. We hebben dan:

\( \mbox{d} F = \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, \cdot \, 4 \pi r^2 \,\, \mbox{d} r \)

 
Laat verder aan het oppervlak van de aarde een (lucht)druk p₀ heersen. Dan drukt er op het oppervlak van de aarde een kracht F₀  = p₀ . 4 π R² .  De totale inwaartse kracht F(h) op het boloppervlak dat zich in de aarde en op een afstand h van het middelpunt van de aarde bevindt is dan:

 

\( \mbox{F}(h) \,\, = \,\, \mbox{p}_0 \cdot 4 \pi \mbox{R}^2 \,\, + \,\, \int_h^R \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, 4 \pi r^2 \,\, \mbox{d} r \)

 

En daarmee vinden we voor de inwaartse druk p(h) op een afstand h van het middelpunt van de aarde dat:

 

\( \mbox{p}(h) = \frac{1}{4 \pi h^2} \,\, \cdot \,\, \left ( \mbox{p}_0 \, 4 \pi \mbox{R}^2 + \int_h^R \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, 4 \pi r^2 \,\, \mbox{d} r \right ) \)

 

\( \mbox{p}(h) = \frac{1}{h^2} \,\, \cdot \,\, \left ( \mbox{p}_0 \, \mbox{R}^2 + \int_h^R \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, r^2 \,\, \mbox{d} r \right ) \)

 
 
Edit: Hoewel ik niet zie wat ik fout doe zie ik nu wel een probleem optreden voor h -> 0.

[ukster]

Formule #15 in Maple ingevuld voor de condities in het plaatje (schaal een beetje aangepast). de druk ligt dan tussen 2,8 ...4,6 miljoen atm
in werkelijkheid zal de druk ertussen in liggen vanwege het grillige verloop van g en ρ.
Ik vraag me af of in de formule voor druk het boloppervlak moet voorkomen. je mag de afstand tot de kern toch zien als een drukkolom? (A=1m²)

druk 804 keer bekeken

[Professor Puntje]

Ik vertrouw dat kolomverhaal niet, de aarde is geen stapel tegels die op een vaste bodem drukt. Aan de andere kant is de formule die ik met een "taps toelopende kolom" gevonden heb ook verdacht. Als ik er tijd voor heb zal ik het nog eens met een zorgvuldiger aanpak proberen.

[Michel Uphoff]

Met zo'n kolom bereken je eenvoudig de hydrostatische druk. Dat is hier een correcte methode, dus niets moeilijker maken dan hoeft. De uitkomsten komen dan ook mooi overeen met de PREM data. Zie mijn uitkomsten en die data een paar berichten terug.

[Professor Puntje]

@ Michel Uphoff

Ik ben meer geïnteresseerd in het juiste begrip dan in de juiste uitkomst. Omdat ik nog niet helemaal begrijp hoe de hydrostatische druk in de aarde werkt ga ik er nog maar even mee verder. Met het begin van mijn afleiding is - denk ik - niets mis. De problemen ontstaan vermoedelijk bij het "stapelen" van de neerwaartse krachten van de bolschillen. Evenwicht eist in feite enkel maar dat iedere bolschil voor zich in evenwicht is. Maar eens zien wat we dan vinden.
 

Beschouw de aarde als een zuivere bol met straal R en met een bolsymmetrisch variërende inwendige druk p(r ), dichtheid ρ(r ) en valversnelling g(r ). Een uit de aarde gesneden bolschijf met een straal r en dikte dr heeft dan een inwaarts gericht gewicht dG . We hebben dan:

\( \mbox{d} G = \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, \cdot \, 4 \pi r^2 \,\, \mbox{d} r \)

 

Nu moet iedere infinitesimale bolschil binnen de aarde in evenwicht zijn. Dus moet er gelden:
 

\( \mbox{p}(r + \mbox{d}r) \cdot 4 \pi (r + \mbox{d}r)^2 \, + \, \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, \cdot \, 4 \pi r^2 \,\, \mbox{d} r \, - \, \mbox{p}(r) \cdot 4 \pi r^2 \, = \, 0 \)

 

\( \mbox{p}(r + \mbox{d}r) \cdot (r + \mbox{d}r)^2 \, + \, \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, \cdot \, r^2 \,\, \mbox{d} r \, - \, \mbox{p}(r) \cdot r^2 \, = \, 0 \)

 

\( \mbox{p}(r + \mbox{d}r) \cdot (r + \mbox{d}r)^2 \, \, - \, \mbox{p}(r) \cdot r^2 \, + \, \rho(r) \, \mbox{g}(r) \, \, r^2 \,\, \mbox{d} r \, = \, 0 \)

 

\( \frac{\mbox{p}(r + \mbox{d}r) \cdot (r + \mbox{d}r)^2 \, \, - \, \mbox{p}(r) \cdot r^2}{\mbox{d} r} \, + \, \rho(r) \, \mbox{g}(r) \,\, r^2 \, = \, 0 \)

 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( \mbox{p}(r) \cdot r^2 \right ) \, + \, \rho(r) \, \mbox{g}(r) \,\, r^2 \, = \, 0 \)

 
Waarbij aan het oppervlak van de aarde de luchtdruk p₀ heerst, hetgeen de onderstaande randvoorwaarde oplevert:
 

\( \mbox{p}(\mbox{R}) = \mbox{p}_0 \)

 
 

[ukster]

Da's duidelijk,dus 

hydrostatische druk 803 keer bekeken

[attachment=27709:hydrostatic pressure.jpg]
 
de formule

binnenkern druk 803 keer bekeken

geeft een druk van 1,7 miljoen atm in de kern

[Michel Uphoff]

Of, zonder formules: Het maakt geen klap uit wat de vorm van de kolom is, alleen de hoogte en dichtheid doen ter zake.
 
Het (diepere) inwendige van de wat grotere hemellichamen (de sferoïden) mag je voor berekeningen als een vloeistof beschouwen, dat gebeurt in de astrofysica dan ook standaard. En dan is het eenvoudigweg het hydrostatisch evenwicht op een bepaalde diepte berekenen.
 
Zie ook deze bijlage:

Hydrostatic Equilibrium And Planetary Differentiation

(374.21 KiB) 105 keer gedownload

[ukster]

@PP
Is dit wat je bedoeld in je redenatie?

drukvergelijking 811 keer bekeken

drukvergelijking 804 keer bekeken

dus als we hier de Prem data op los laten komt het goed?

[Professor Puntje]

@PP
of is dit wat je bedoeld in je redenatie?
drukvergelijking.jpg

 
Met de productregel voor differentiëren kom je daar volgens mij inderdaad op uit.

[Michel Uphoff]

@ Ukster: geeft een druk van 1,7 miljoen atm in de kern

 
Die formule veronderstelt constante dichtheid, en wordt ook in de bijlage genoemd. Daar wordt tevens opgemerkt dat de verkregen uitkomst voor de Aarde ongeveer de helft is van de werkelijkheid. Hoe je het ook wendt of keert, je zal het verloop van de dichtheid mee moeten nemen in de berekening.

[ukster]

En dat klopt dan weer met wat we al wisten...

[Professor Puntje]

@ ukster
 
Die laatste stap (met de integraal) volg ik niet, die heb je later aan je bericht toegevoegd....

[ukster]

Zelf niet over nagedacht.....
Dit is de door Maple gegenereerde notatie.  Cl zal een initional condition zijn.
 
jouw redenatie in #20 is van cruciaal belang voor het verdere verloop van de discussie
je brengt hiermee een drukgradiënt in, die het verdere drukverloop natuurlijk in belangrijke mate beinvloed

[Professor Puntje]

Laat:
 

\( f(r) = \frac{\int_R^r - \rho(h) \mbox{g}(h) \, h^2 \,\, \mbox{d}h + \mbox{C}}{r^2} \)

 
Dan geldt:
 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( f(r) \cdot r^2 \right ) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( \frac{\int_R^r - \rho(h) \mbox{g}(h) \, h^2 \,\, \mbox{d}h + \mbox{C}}{r^2} \cdot r^2 \right ) \)

 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( f(r) \cdot r^2 \right ) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( \int_R^r - \rho(h) \mbox{g}(h) \, h^2 \,\, \mbox{d}h + \mbox{C} \right ) \)

 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( f(r) \cdot r^2 \right ) = - \rho(r) \mbox{g}(r) \, r^2 \)

 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} r} \left ( f(r) \cdot r^2 \right ) + \rho(r) \mbox{g}(r) \, r^2 \, = \, 0 \)

 
Dus je hebt gelijk, p(r) = f(r ) is inderdaad een oplossing!

[Professor Puntje]

jouw redenatie in #20 is van cruciaal belang voor het verdere verloop van de discussie

je brengt hiermee een drukgradiënt in, die het verdere drukverloop natuurlijk in belangrijke mate beinvloed

 
Dank je - maar ik ben er nog niet gerust op dat het voor de druk bij r -> 0 nu wel goed gaat....