Minimale oppervlakte onder een grafiek

[ukster]

toch denk ik dat a = -0,5+√15/2 de oplossing is voor een minimale oppervlakte (Nul)

3e antwoord 1644 keer bekeken

[tempelier]

Dat kan niet goed zijn.
Dit met beroep op de tekening.

[Beau96]

Hi, wellicht even ter verduidelijking: dit was de opgave (in het engels)

Find the minimum value of the area of the region under the curve y=4x-x^3 from x=a to x=a+1 for all a>0

Zelf kan ik alleen op het maximum oppervlakte komen: 5/4 × sqrt5.

Minimum lukt mij voor geen meter helaas

Groetjes

[RedCat]

Een oppervlakte is NOOIT negatief.
Dus moet er onder de Xas als positef worden omgezet.
Dat maakt het een naar sommetje want er zijn drie mogelijkheden rond x=2.

Dit lijkt me de correcte oplossing: de oppervlakte tussen een grafiek, de x-as en de integratiegrenzen is altijd niet-negatief.
Omdat er een nulpunt is in x=2 splits je dit probleem in 3 delen:

deel I. a = 0 .. 1: zoek het minimum van:

\(\int_a^{a+1} 4x - x^3 \;dx\)

als functie van a

deel II. a = 1 .. 2: zoek het minimum van:

\(\int_a^2 4x - x^3 \;dx - \int_2^{a+1} 4x - x^3 \;dx\)

als functie van a

deel III. a > 2: zoek het minimum van

\( - \int_a^{a+1} 4x - x^3 \;dx\)

als functie van a.
(Stap III is in feite niet nodig: boven x=2 zal de grafiek steeds sneller dalen en zal het oppervlak van a tot a+1 steeds groter worden. Hierdoor is er overigens geen maximum: het oppervlak gaat naar (positief) oneindig voor a naar oneindig.)

Het gevraagde minimum is dan het minimum van I, II en III.

ad I: minimum was al gevonden:

\(a = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.61803398874989...\)

en dat geeft een oppervlak van 2.795084971874737...

ad II:
oppervlak =

\(\frac{1}{2}a^4 + a^3 - \frac{5}{2}a^2 - 3a + \frac{25}{4}\)

minimum bij

\(2a^3 + 3a^2 -5a -3 = 0\)

\((2a+1)(a^2+a-3) = 0\)

\(a = \frac{-1+\sqrt{13}}{2} = 1.3027756377319946...\)

en dat geeft een oppervlak van 1.75

[RedCat]

CORRECTIE:
Het extremum van deel I is geen minimum maar een locaal maximum.
We moeten daarom ook kijken naar de randpunten van het interval:
a=0: oppervlak = 1.75, komen we goed weg omdat a>0 moet zijn
a=1: oppervlak = 2.25, eveneens groter dan 1.75

Het minimum oppervlak van deel II = 1.75 blijft dus het minimum voor a>0.

[Professor Puntje]

Hi, wellicht even ter verduidelijking: dit was de opgave (in het engels)

Find the minimum value of the area of the region under the curve y=4x-x^3 from x=a to x=a+1 for all a>0

Zo geformuleerd is de oppervlakte van het gebied onder de curve zodra je voorbij x=2 komt oneindig groot of onbepaald. De opgave is dan ook zeer verwarrend geformuleerd.

[HansH]

zoiets?
1e is uitgezoomd, 2e is beter qua schaal

[Xilvo]

Hi, wellicht even ter verduidelijking: dit was de opgave (in het engels)

Find the minimum value of the area of the region under the curve y=4x-x^3 from x=a to x=a+1 for all a>0

Zo geformuleerd is de oppervlakte van het gebied onder de curve zodra je voorbij x=2 komt oneindig groot of onbepaald. De opgave is dan ook zeer verwarrend geformuleerd.

Zelfs voor x<2 is die oppervlak al oneindig of onbepaald

[HansH]

Zelfs voor x<2 is die oppervlak al oneindig of onbepaald

als ik het oppervlak print onder de curve als functie van x en opp=0 bij x=0 dan krijg ik hetvolgende plaatje: alles mooi gedefinieerd dus.

opp_crrve 1566 keer bekeken

[ukster]

Een oppervlakte is NOOIT negatief.
Dus moet er onder de Xas als positef worden omgezet.
Dat maakt het een naar sommetje want er zijn drie mogelijkheden rond x=2.

ad II:
oppervlak =

\(\frac{1}{2}a^4 + a^3 - \frac{5}{2}a^2 - 3a + \frac{25}{4}\)

minimum bij

\(2a^3 + 3a^2 -5a -3 = 0\)

\((2a+1)(a^2+a-3) = 0\)

\(a = \frac{-1+\sqrt{13}}{2} = 1.3027756377319946...\)

en dat geeft een oppervlak van 1.75

Yepp....

[Xilvo]

Zelfs voor x<2 is die oppervlak al oneindig of onbepaald

als ik het oppervlak print onder de curve als functie van x en opp=0 bij x=0 dan krijg ik hetvolgende plaatje: alles mooi gedefinieerd dus.
opp_crrve.gif

Dat is het oppervlak tussen grafiek en x-as. Niet het oppervlak onder de grafiek, waar ook P. Puntje op doelde.
Als je geen ondergrens aangeeft is het oppervlak oneindig.

[HansH]

normaal gesproken wordt altijd met oppervlak onder de grafiek bedoeld: oppervlak tussen de grafiek en de x-as. Anders zul je expliciet meer gegevens moeten verstrekken anders kom je snel op onzinnige dingen. Volgens mij zoek je het veel te ver. Misschien kan de vraagstellers eens aangeven in welk verband deze som gegeven was: bepaald hoofdstuk, examenvraag ?

[Xilvo]

normaal gesproken wordt altijd met oppervlak onder de grafiek bedoeld: oppervlak tussen de grafiek en de x-as.

Dat is natuurlijk waar. Maar als bij negatieve functiewaardes over het 'oppervlak onder de grafiek' wordt gesproken, dan wekt dat verwarring.

[Professor Puntje]

En de uitdrukking "for all a>0" in de vraagstelling maakt het nog erger.

[Xilvo]

als ik het oppervlak print onder de curve als functie van x en opp=0 bij x=0 dan krijg ik hetvolgende plaatje: alles mooi gedefinieerd dus.

Dat is de grafiek van de integraal, niet van het oppervlak.
Je telt hier het oppervlak onder de x-as negatief.