vergelijking

[Professor Puntje]

Gaat het zo?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... +b*x+%3D+0

[tempelier]

Niet precies, ik heb het met Maple ontwikkeld, zonder veel aan te passen.
Dat ging heel soepel, daarna wat vereenvoudig onder aanname dat de contanten geen nul waren.

Maple had er geen moeite mee, maar het bleef onbruikbaar door de ingewikkeldheid.
Benadering met de tweede graad werd al niks:

\(2gkx^2+(3gu\cos\phi)x - 6u^3sin\phi\cos^2\phi =0\)

PS.
Ik hoop dat ik hem goed heb overgetikt.

[Professor Puntje]

Deel de vergelijking links en rechts door \( \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{k}^2} \) en laat:

\(\)

\( a(\theta) = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u} \cos(\theta)} \)

\(\)

\( b(\theta) = \frac{\mathrm{k}^2 \tan(\theta)}{\mathrm{g}} + \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u} \cos(\theta)} \)

\(\)

Dan bestaat er een oplossing m.b.v. de Lambert W functie.

[Xilvo]

Ik wacht nog steeds op een uitleg waar de formule vandaan komt, dan wordt het (voor mij) wat interessanter.
Het lijkt iets met een (gegooid/afgeschoten?) voorwerp in een zwaartekrachtsveld te zijn, die g is niet toevallig 9,81.

Misschien zit er wel een fout in - niemand is onfeilbaar - en zitten we voor niets ons hoofd hierover te breken.

[Marko]

Inderdaad. Het staat weliswaar in wiskunde, en wiskundig gezien is het interessant om te kijken hoe je de vergelijking zou kunnen oplossen. Maar het is een natuurkundig probleem, dus buig je allereerst over het probleem zelf en daarna pas over de uitwerking.

Zoals ik al eerder schreef, afhankelijk van de precieze situatie is het wellicht prima mogelijk om termen te verwaarlozen of andere benaderingen toe te passen. Maar dan moet je wel weten wat de situatie is.

[ukster]

https://math.stackexchange.com/question ... tion-for-x
Geen idee waar deze vergelijking vandaan komt!
De genoemde aanwijzingen/aanpak zeggen mij weinig.
Maple weigert vanuit de gegeven vergelijking x uit te drukken in u,g,k en θ zoals bedoeld in vraag 1
Maple komt wel met het genoemde resultaat voor x als de 1e afgeleide naar θ gelijk aan nul gesteld wordt.
mijn vraag is nu waarom dit zo is!

[Marko]

Onder andere omdat je door differentiëren van die ellendige ln-term af komt.

[Professor Puntje]

Hier de oplossing compleet met bewijs. De op te lossen vergelijking luidt:

\(\)

\( \frac g{k^2}\ln(\frac {u \cos(\theta)-kx}{u \cos(\theta)})+x\tan(\theta)+\frac{gx}{ku\cos(\theta)}=0 \)

\(\)

Deel deze vergelijking links en rechts door \( \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{k}^2} \) en laat:

\(\)

\( a(\theta) = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u} \cos(\theta)} \)

\(\)

\( b(\theta) = \frac{\mathrm{k}^2 \tan(\theta)}{\mathrm{g}} + \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u} \cos(\theta)} \)

\(\)

Dan hebben we:

\(\)

\( \ln (1 - a \, x) \, + \, b \, x = 0 \)

\(\)

\( \ln (1 - a \, x) \, + \, \frac{ ab \, x }{a} = 0 \)

\(\)

\( \ln (1 - a \, x) \, + \, \frac{ ab \, x \, - \, b}{a} = \, - \frac{b}{a} \)

\(\)

\( \ln \left ( (1 - a \, x) \, e^{\frac{ ab \, x \, - \, b}{a}} \right ) = \, \ln( e^{- \frac{b}{a} } ) \)

\(\)

\( (1 - a \, x) \, e^{\frac{ ab \, x \, - \, b}{a}} = \, e^{- \frac{b}{a} } \)

\(\)

\( (a \, x \, - \, 1) \, e^{\frac{ ab \, x \, - \, b}{a}} = \, - e^{- \frac{b}{a} } \)

\(\)

\( (ab \, x \, - \, b) \, e^{\frac{ ab \, x \, - \, b}{a}} = \, - b \, e^{- \frac{b}{a} } \)

\(\)

\( \frac{ab \, x \, - \, b}{a} \, e^{\frac{ ab \, x \, - \, b}{a}} = \, - \frac{ b \, e^{- \frac{b}{a} }}{a} \)

\(\)

\( \frac{ab \, x \, - \, b}{a} \, = \, \mathrm{W} \left ( - \frac{ b \, e^{- \frac{b}{a} }}{a} \right ) \)

\(\)

\( ab \, x \, - \, b \, = \, a \cdot \mathrm{W} \left ( - \frac{ b \, e^{- \frac{b}{a} }}{a} \right ) \)

\(\)

\( ab \, x \, = \, a \cdot \mathrm{W} \left ( - \frac{ b \, e^{- \frac{b}{a} }}{a} \right ) \, + \, b \)

\(\)

\( x \, = \, \frac{a \cdot \mathrm{W} \left ( - \frac{ b \, e^{- b/a }}{a} \right ) \, + \, b}{ab} \)

[efdee]

Zie bericht 328. Ik heb slecht gelezen. Ik zag de ln niet. Sorry.

[ukster]

Knap bedacht PP
ik dacht deze Lambert W expressie met Maple te evalueren tot een simplified uitdrukking maar misschien heb ik de verkeerde instructie gebruikt?

[Professor Puntje]

Op het eerste gezicht krijg je dat inderdaad bij substitutie van a(θ) en b(θ) in de uitdrukking voor x. Het kan best zijn dat verdere vereenvoudiging niet mogelijk is. Kun je dat resultaat nog even in de oorspronkelijke vergelijking stoppen om te zien we daarmee inderdaad een geldige oplossing te pakken hebben?