Fatale wiskundige slordigheden

[flappelap]

Een paar kanttekeningen bij het stuk van Norton:

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Ja, maar hier gaat het over DV's met gegeven randcondities, natuurlijk.

[die hanze]

@ kwasie

Ik betwijfel niet aan de juistheid van jouw voorbeelden maar het gaat hier niet over mensen die rekenfouten maken en daardoor een goede theorie fout toepassen.

Norton's dome is een perfect voorbeeld voor deze discussie. Professor puntje heeft blijkbaar bij het eerste zicht van een tegenvoorbeeld determinisme in de klassieke mechanica al opgegeven. Een oppervlakkige kijk op norton's dome geeft inderdaad de indruk dat de klassieke mechanica niet deterministisch is. Dit is echter een van de voorbeelden waarbij je net wel moet oppassen met wiskundige details. Norton's dome is GEEN mooi "glad" zich netjes gedragende curve. Hetlijkt enkel op een mooie halve bol als je hem plot maar zijn 2de afgeleide is niet gedefinieerd op de pool. In de klassieke mechanica hebben we steeds aangenomen (al dan niet expliciet) dat alle functies steeds oneindig afleidbaar zijn. Dit is niet het geval bij norton's dome.

Professor puntje doet dit af als flauwe excuses. Toch vreemd voor iemand die klaagt dat fysici te lax omspringen met wiskunde plots klaagt over flauwe excuses als wiskundige details er net wel zeer belangrijk zijn. Je zei in een vorig topic dat norton's dome net zoals een perfect vlak of een perfect bol is, je kunt niet verder naast de waarheid zitten. Norton's dome is een zeer pathologische potentiaal waar je heel goed moet opletten.

Als alles netjes goed gaat wordt er geklaagd over wiskundige details, gaan er dingen mis en mensen kijken naar der wiskundige subtiliteiten dan wordt dit plots afgedaan als zever en ****** om een of ander academisch dogma te beschermen(determinisme) . Zo weet ik het ook niet meer hoor.

[Professor Puntje]

@ die hanze

Wat jij hier aanvoert zijn niet ter zake doende uitvluchten. Dat je daarbij wiskundige subtiliteiten vermeldt maakt nog niet dat die uitvluchten daardoor ineens respectabel en relevant worden. Dat is de wereld op zijn kop. Ik heb in een eerdere reactie al uiteen gezet waarom je de plank mis slaat, maar als je daar niet op in gaat heeft verdere discussie geen zin. Ik ken de gangbare trucs om ongewenste feiten buiten de deur te houden maar al te goed, en ik weet hoe hopeloos de strijd is om daar doorheen te breken. Wat jij hier doet is de Newtonse mechanica zo te herdefiniëren dat tegenvoorbeelden per definitie onmogelijk worden. Je verandert het probleem om je gelijk te halen, een bekende discussietruc. Als je ondanks het aangevoerde tegenvoorbeeld wilt blijven geloven dat de wereld volgens de Newtonse mechanica wel deterministisch is dan moet je dat maar doen. Ik heb mijn best gedaan.

[tempelier]

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Dat is niet waar, ik snap wat je bedoelt maar het is wel verkeerd geformuleerd.

Dan was het dus kennelijk niet nodig om het correct te formuleren?

Dat is het dus wel.

Dat ik je blunder begrijp is niet maatgevend, het is mijn werk geweest daar anderen op te wijzen.

Je zorgeloosheid is iets, wat getuigt van een verkeerde instelling.

[tempelier]

Een paar kanttekeningen bij het stuk van Norton:

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Ja, maar hier gaat het over DV's met gegeven randcondities, natuurlijk.

Blijft staan dat Marco's opmerking dan toch nog onjuist is.

[die hanze]

In het geval over norton's dome gaat het niet om een tekort aan randvoorwaarden maar over de afleidbaarheid(lipschitz continuïteit) van de dome. Blijkbaar is dit een uitvlucht en maken fysici zich zorgen om niets als ze telkens vermelden dat bij alles wat ze doen ze er steeds gaan uitgaan dat de functie oneindig afleidbaar is.

Flauw excuus eigenlijk, wie heeft een afleidbare functie nodig als je alle wetten in differentiaal vergelijkingen uitdrukt ?

[Marko]

Een paar kanttekeningen bij het stuk van Norton:

1. Dat een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen kent is binnen de natuurkunde niets bijzonders. Al was het maar omdat iedere vergelijking +C sowieso voldoet.

Ja, maar hier gaat het over DV's met gegeven randcondities, natuurlijk.

Klopt, maar wat mij betreft komt dat in de basis op hetzelfde neer:

Een natuurkundige wet kan geformuleerd worden als DV. In die vorm biedt het vaak ook een inzicht in onderliggende fenomenen. Maar een DV op zich betekent niets. De fysicus (of wie hem ook toepast) moet hem door geschikte begrenzingen te kiezen vertalen in een beschrijving van de onderliggende situatie. Dat is zo wanneer je begin- en/of randvoorwaarden moet opstellen, dat is ook als er wiskundig gesproken meerdere functies aan de DV voldoen.

Het bestaan van meerdere oplossingen zou (pas) een probleem zijn als je op basis van de fysische realiteit geen keuze kunt maken of zelfs de verkeerde keuze zou maken.

[tempelier]

Het bestaan van meerdere oplossingen zou (pas) een probleem zijn als je op basis van de fysische realiteit geen keuze kunt maken of zelfs de verkeerde keuze zou maken.

In de kwantummechanica kan volgens sommigen een deeltje op twee plaatsen tegelijk zijn.

[Professor Puntje]

@ die hanze

Het simpele feit is en blijft dat de Newtonse mechanica met Norton's dome geen raad weet. En ja - dat kun je keurig in wiskundige termen vertalen. Maar dat bevestigt slechts weer en doet dan ook helemaal niets af aan het feit dat de Newtonse mechanica met Norton's dome geen raad weet (of beter gezegd: dat de Newtonse mechanica voor Norton's dome geen unieke oplossing voor de evolutie in de tijd geeft). De Newtonse mechanica was niet bedoeld als een zuiver wiskundige exercitie, maar als een beschrijving van de fysische werkelijkheid. Het al dan niet deterministisch zijn van de evolutie van fysische systemen volgens de Newtonse mechanica zegt dan ook iets over de fysische werkelijkheid zelf in het geval deze werkelijkheid aan de Newtonse mechanica zou voldoen. Omdat men lange tijd heeft geloofd dat de Newtonse mechanica de fysische werkelijkheid accuraat beschrijft werden daar ook filosofische conclusies over de fysische werkelijkheid uit getrokken zoals dat deze deterministisch zou zijn. Verder is er geen reden waarom Norton's dome in de praktijk niet met een zelfde precisie zou kunnen worden gerealiseerd als bijvoorbeeld een perfect plat vlak of een halve bol. Het verwijderen van Norton's dome als legitiem te beschouwen situatie in de fysische werkelijkheid is simpelweg struisvogelpolitiek, Een dergelijke gekortwiekte mechanica beschrijft immers niet meer de gehele fysische werkelijkheid en laat dan ook geen conclusies meer toe over het al dan niet deterministisch zijn van die fysische werkelijkheid. Norton's dome bewijst simpelweg dat de breed gedragen conclusie dat de fysische werkelijkheid volgens de Newtonse mechanica deterministisch zou zijn ongerechtvaardigd was en is.

En daar laat ik het bij. Voortzetting van deze non-discussie is zinloos.

[Marko]

Ik denk dat je te kort door de bocht gaat.

De vraag was:

Zijn er gevallen waarin een natuurkundige theorie, die verder prima leek te werken, tot voorspellingen komt die niet in overeenstemming zijn met waarnemingen, omdat er bij het afleiden van de theorie stappen zijn genomen die wiskundig formeel genomen niet zijn toegestaan?


Jij komt met Norton's dome als voorbeeld. Of liever gezegd, je komt met een link naar de Wikipedia-pagina over Norton's dome, niet eens naar het oorspronkelijke artikel. Je poneert de conclusie van Norton als een vaststaand feit, maar dat er talloze artikelen zijn met kritiek op het artikel van Norton laat je achterwege en je gaat ook niet in op tegenwerpingen in dit topic tegen de argumenten uit het artikel van Norton. Ik vraag me zo zoetjes aan af of je dat artikel eigenlijk zelf wel hebt gelezen.

Hoe dan ook is het te kort door de bocht. "Heb ik op internet gelezen" maakt iets nog geen vaststaand feit.

[Marko]

Het bestaan van meerdere oplossingen zou (pas) een probleem zijn als je op basis van de fysische realiteit geen keuze kunt maken of zelfs de verkeerde keuze zou maken.

In de kwantummechanica kan volgens sommigen een deeltje op twee plaatsen tegelijk zijn.

En dat is het gevolg van wiens wiskundige slordigheid?

[flappelap]

Het bestaan van meerdere oplossingen zou (pas) een probleem zijn als je op basis van de fysische realiteit geen keuze kunt maken of zelfs de verkeerde keuze zou maken.

In de kwantummechanica kan volgens sommigen een deeltje op twee plaatsen tegelijk zijn.

Als je meet natuurlijk niet. In de Bohmse interpretatie al helemaal niet. En wat "de positie" is van het deeltje buiten metingen om is buiten de Bohmse interpretatie om niet te beantwoorden.

Dus nee, ik vrees dat deze uitspraak een overmystificatie van de QM is.

[flappelap]

@ die hanze

Het simpele feit is en blijft dat de Newtonse mechanica met Norton's dome geen raad weet. En ja - dat kun je keurig in wiskundige termen vertalen. Maar dat bevestigt slechts weer en doet dan ook helemaal niets af aan het feit dat de Newtonse mechanica met Norton's dome geen raad weet (of beter gezegd: dat de Newtonse mechanica voor Norton's dome geen unieke oplossing voor de evolutie in de tijd geeft). De Newtonse mechanica was niet bedoeld als een zuiver wiskundige exercitie, maar als een beschrijving van de fysische werkelijkheid. Het al dan niet deterministisch zijn van de evolutie van fysische systemen volgens de Newtonse mechanica zegt dan ook iets over de fysische werkelijkheid zelf in het geval deze werkelijkheid aan de Newtonse mechanica zou voldoen. Omdat men lange tijd heeft geloofd dat de Newtonse mechanica de fysische werkelijkheid accuraat beschrijft werden daar ook filosofische conclusies over de fysische werkelijkheid uit getrokken zoals dat deze deterministisch zou zijn. Verder is er geen reden waarom Norton's dome in de praktijk niet met een zelfde precisie zou kunnen worden gerealiseerd als bijvoorbeeld een perfect plat vlak of een halve bol. Het verwijderen van Norton's dome als legitiem te beschouwen situatie in de fysische werkelijkheid is simpelweg struisvogelpolitiek, Een dergelijke gekortwiekte mechanica beschrijft immers niet meer de gehele fysische werkelijkheid en laat dan ook geen conclusies meer toe over het al dan niet deterministisch zijn van die fysische werkelijkheid. Norton's dome bewijst simpelweg dat de breed gedragen conclusie dat de fysische werkelijkheid volgens de Newtonse mechanica deterministisch zou zijn ongerechtvaardigd was en is.

En daar laat ik het bij. Voortzetting van deze non-discussie is zinloos.

Het is een semantische discussie: wat versta jij exact onder "de newtonse mechanica"? Vallen daar wiskundige veronderstellingen omtrent de oplossingsruimte ook onder? Zo jal welke?

[Professor Puntje]

@ flappelap

Wat valt hier nog meer over te zeggen? In de definitie van 'die hanze' behoort Norton's dome niet langer tot de Newtonse mechanica. Maar wat hij niet door heeft is dat een dusdanig geherdefinieerde Newtonse mechanica dan ook niet langer relevant is voor het probleem van het determinisme. Je kunt de vraag of de wereld (volgens de klassieke opvating) deterministisch zou zijn niet oplossen door keurige voorbeelden van niet-deterministische systemen uit het studiegebied van de Newtonse mechanica te verbannen. Zoiets is struisvogelpolitiek.

[flappelap]

Nogmaals: dat is geen struisvogelpolitiek; dat hangt van je oplossingsruimte af. Wat is volgens jouw deze oplossingsruimte in "de newtonse mechanica"?

In de QM kun je overigens wellicht iets soortgelijks verzinnen, dat de QM niet meer unitair als je golffuncties buiten L2 bekijkt. Geen idee of dat zo is, dat zou ik moet nakijken; eerlijk gezegd denk ik daar in de context van de QM veel meer over na dan in de context van de klassieke mechanica.

Ander voorbeeldje: vallen zwaartekrachtsvelden die niet naar 0 gaan op ruimtelijk oneindig voor jou ook onder oplossingen van "de klassieke mechanica"?

Dus nogmaals: definieer eens heel precies wat je met die term bedoelt, daarna kunnen we het over struisvogelpolitiek hebben