Fibonacci Priemgetal Driehoeken

[OOOVincentOOO]

Volgens mij denken we hetzelfde maar verwoorden het anders.

Indien je het Youtube filmpje langzaam afspeelt (in het begin) zie je de gelijkzijdige driehoeken ontstaan. Aan het einde zie je 3 spiralen deze omschrijven een groeiende gelijkzijdige driehoek

Voor de simulaties en video gebruik ik priemgetal tabellen dus ik hoef niets te benaderen.

Ik dacht ook aan de volgende omschrijving: p(n), p(n+1)=p(n)+g(n) waarbij de gap te verwaarlozen zodat: p(n)≈p(n+1) is voor grote priem getallen.

Een andere gedachte: je kunt ook willikeurige priemgetal driehoeken creeeren.

p(n+a)=p(n+b)+p(n+c)

Waarbij; a, b en c constanten zijn (gehele getallen). Als ik zo vlot denk moeten ook willekeurige driehoeken uiteindelijk een gelijkzijdige driehoek worden. Misschien dat ik vanavond/vannacht nog een script laat lopen en nog een filmpje schieten.

[Professor Puntje]

Het zou leuk zijn als je dan ook een filmpje schiet waarbij je laat zien hoe de "genormaliseerde driehoek" zich voor toenemende n ontwikkelt. Daarvoor hoef je enkel de zijden p(n), p(n+1) en p(n+2) elk door p(n) te delen zodat je zijden krijgt met de respectieve lengten p(n)/p(n)=1, p(n+1)/p(n) en p(n+2)/p(n). Die genormaliseerde driehoeken moeten als het goed is voor grote n dan een en dezelfde gelijkzijdige driehoek met e_x als basis benaderen.

[OOOVincentOOO]

Goed idee. Ik kan de genormaliseerde driehoek plotten in de hoek linksboven bijvoorbeeld.

Misschien ook nog een driehoek index definieren. De totale omtrek normaliseren op 1. En dan de oppervlakte: waargenomen driehoek delen door opp. ideale gelijkzijdige driehoek met zijden: 1/3, 1/3, 1/3.

Vanavond eens kijken.

[OOOVincentOOO]

mmm, binnen de zelfde grafiek plotten is moeilijk. Deze veranderd steeds van scalering. Misschien een klein apart grafiekje maken.

[Professor Puntje]

OK - ik zie wel wat het wordt.

[OOOVincentOOO]

Hallo pp,

Twee video’s gemaakt. Ik heb een convergence driehoek toegevoegd gebaseerd op ideeën van ons gesprek (men ziet altijd de actuele driekhoek). Een beetje intuïtief gekozen voor: beide driehoeken te zien met gelijke omtrek (in een grafiekje). Hierna de ratio tussen oppervlakten berekend. Hopelijk zonder rekenfout!

Betreffende de video: ik stel altijd een zijde van de volgende driehoek op de zelfde lijn als de voorgaande.

Video 1:
Fibonacci priem driehoeken vector optelling: p(n+2)=p(n+1)+p(n):

Observatie: Bij Fibonacci driehoeken ontstaat een spiraal. Convergentie naar gelijkbenig is relatief snel.

Video 2:
Random priem driehoek genomen. Let op niet al deze driehoeken bestaan. Men moet wachten dat de lange zijde korter is dan de som van de twee voorgaande. Deze driehoek heb ik genomen: p(n+311)=p(n+193)+p(n+127):

Observatie: Geen spiraal te herkennen. Convergentie duurt langer.

Dit is het probleem aan wiskunde als je een deur opent…. Altijd meer vragen.

Trouwens, achter de Equilateral fit in de video heb ik speciaal een puntje (.) geplaats! P.

De schaal van ieder frame is een beetje improviseren. Het lukt me nog niet om de laatste video mooi te krijgen. Er is altijd iets niet perfect!

nb. nog bedankt voor een keer terug te grijpen op wiki artikel betreffende gaps. Ik was na de eerste zin over "Bertrand's postulate" al blij iets te begrijpen. De leek mij te ingewikkeld en voelde mij dom. Dankzij jouw zoektocht begrijp ik de prime gaps een beetje, wonderbaarlijk fenomeen!

[Professor Puntje]

Leuke video's! En ik heb er zelf ook weer iets van geleerd. Mijn kennis van de getallentheorie (en in het bijzonder van de priemgetallen) is namelijk nogal beperkt.

[OOOVincentOOO]

Het bleef een beetje knagen waarom de random driehoeken minder regelmaat laten zien in de voorgaande video. De spiraal was moeilijk/niet te zien zoals bij de "Fibonacci Priem Driehoeken".

Ik heb nog een video gedraaid waarbij ik een kleinere random driehoek heb genomen. De 3 spiralen zijn nu te herkennen. Alleen leggen ze een langere weg af naar de oorsprong.

Wiskunde, er blijven altijd onbeantwoorde vragen. Ik baal er een beetje van de voorgaande videos niet perfect vierkant zijn, foutje.... Moet ik maar mee leven.

[Professor Puntje]

Ik begrijp ook niet waarom die driehoeken in je video's ronddraaien....

[OOOVincentOOO]

De grijs skalering voor alle driehoeken (kleinste en de grootste) word bij iedere driehoek opnieuw bepaald. De lichtste grijstint is steeds de nieuwste en grootste driehoek. Misschien veroorzaakt dit een visuele illusie.

De uiteinden van de spiraal zijn de hoekpunten van de de laatste driehoek. Maar inderdaad, het is moeilijk te interpreteren. Misschien kan ik eens proberen de laatste driehoek als lijnen in te tekenen. Maar ik wil niet als een forum trol overkomen. De topic interesseerd mij.

[Professor Puntje]

Je zou het onderzoek verder kunnen uitbreiden door in het algemeen driehoeken met zijden p(f(n)), p(g(n)) en p(h(n)) te bekijken daarin f, g en h nader te kiezen functies van N naar N zijn.

Een interessante vraag is dan voor welke functies f, g en h de bijbehorende driehoeken voor grote n bij benadering gelijkzijdig worden.

[OOOVincentOOO]

Dat gaat me te ver en niet mijn interesse en ervaring gebied. Ik vind het leuk een idee verder uit te werken en een basis raamwerk te creeren. Meer formele beschrijvingen is niet aan mij besteed. Daarvoor heb ik te weinig wiskunde kennis.

nb. Het leuke nog een flimpje gedraaid waar steeds het laatste priem drietal omlijnt is. De rotatie lijkt inderdaad een effect te zijn. Dat komt denk ik doordat een zijde altijd iets korter is: p(n)<p(n+1)<p(n+2). Wat denk jij?

[Professor Puntje]

Ik begrijp nog niet hoe je de positie van die driehoeken bepaalt. Oorspronkelijk was het idee dat de basis van de driehoek steeds langs de x-as ligt, maar dat lijkt hier niet meer het geval.

[OOOVincentOOO]

Daar heb je een goed punt. In het document met de analyse is het inderdaad op de x-as.

Voor de video ligt de opeenvolgende driehoek op een lijn met de zijde van de voorgaande driehoek. De volgende driehoek geef ik dus een rotatie en translatie. Indien je de eerste frames op lage snelheid afspeeld kun je wellicht zien wat ik doe. Beetje creatief geweest om een soort polaire voorstelling te krijgen.

[Professor Puntje]

Inderdaad - met een lage frame snelheid zie ik wat je doet. Doordat de driehoeken steeds groter worden gaat het zaakje vanzelf in een spiraal ronddraaien.