eerste afgeleide van y=sin(x)

[tempelier]

Voor een net bewijs moet het onderstaande nog bewezen worden:

\( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h)} {h} = 1 \)

Ik heb daar ooit in een schoolboek een meetkundig bewijs met een tekeningetje voor gezien.

Het staat ook in Goniometrie en Trigonometrie van Wijdenes.
(wat je waarschijnlijk wel zult bezitten)

Wel staat er voor de verwante limiet met de tangens een slordigheidje in.

[tempelier]

Via een Taylor series is ook erg mooi:

$$sin(x)= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} $$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{3x^2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{x^2}{1 \cdot 2} + \frac{x^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$$
$$\frac{d(sin(x))}{dx}=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}=cos(x)$$

Dat is helaas geen bewijs.
Want om de Taylor reeks te bepalen heeft men de n-de afgeleide van x nodig en dat is nu net de opgave.

[Professor Puntje]

Voor een net bewijs moet het onderstaande nog bewezen worden:

\( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h)} {h} = 1 \)

Ik heb daar ooit in een schoolboek een meetkundig bewijs met een tekeningetje voor gezien.

Het staat ook in Goniometrie en Trigonometrie van Wijdenes.
(wat je waarschijnlijk wel zult bezitten)

Wel staat er voor de verwante limiet met de tangens een slordigheidje in.

Bedankt! Bladzijde 101.

[TD]

Dat is helaas geen bewijs.
Want om de Taylor reeks te bepalen heeft men de n-de afgeleide van x nodig en dat is nu net de opgave.

Niet noodzakelijk, dat hangt af van de definitie van sin(x) en dat punt maakte Professor Puntje eerder al.

[flappelap]

Heeft TS specifiek moeite met de afgeleide van sin(x), of met afgeleiden in het algemeen?

In dat laatste geval helpt het misschien om eerst weer es de definitie los te laten op b.v. f(x)=ax+b of x^n.

[flappelap]

Dat is helaas geen bewijs.
Want om de Taylor reeks te bepalen heeft men de n-de afgeleide van x nodig en dat is nu net de opgave.

Niet noodzakelijk, dat hangt af van de definitie van sin(x) en dat punt maakte Professor Puntje eerder al.

Waar komt zo'n definitie dan vandaan? Die kun je toch alleen motiveren door de coëfficiënten uit te drukken als afgeleiden?

Dat lijkt mij nogal merkwaardig, maar ala, ben geen wiskundige.

[tempelier]

Dat is helaas geen bewijs.
Want om de Taylor reeks te bepalen heeft men de n-de afgeleide van x nodig en dat is nu net de opgave.

Niet noodzakelijk, dat hangt af van de definitie van sin(x) en dat punt maakte Professor Puntje eerder al.

Het is zeer ongebruikelijk om het zo te doen,
daarbij is het dan nog geen goed bewijs daar de cos dan soortgelijk moet zijn gedefinieerd.

Ook schiet het niet werkelijk op,
om aan te tonen dat de machtreeks de zelfde is als de classieke sinus heeft men toch weer de afgeleide nodig.

[aadkr]

hartelijk dank tempelier
vriendelijke groet
aad

[aadkr]

flappelap de eerste afgeleide van y=x^n kan ik makkelijk afleiden met het binomium van Newton.
Tempelier , bedankt voor de tip van het boek
Goniometrie en Trigonometrie van Wijdenes.
Aad

[aadkr]

In het bericht van jkien wo 27 jan 2021, 19:24
staat precies de zelfde eerste afgeleide van y=sin(x)
Deze afleiding staat ook in mijn boek van drs. L van der Linde
""eenvoudige hogere wiskunde gericht op de toepassing::
Maar is deze formule af te leiden?

[tempelier]

flappelap de eerste afgeleide van y=x^n kan ik makkelijk afleiden met het binomium van Newton.
Tempelier , bedankt voor de tip van het boek
Goniometrie en Trigonometrie van Wijdenes.
Aad

Graag gedaan hoor.

PS.
Dat afleiden via het binomium van Newton werkt alleen voor n= 1 , 2 , 3 , 4, ...........
Voor reële waarden kan het via de e-macht.

[Professor Puntje]

In het bericht van jkien wo 27 jan 2021, 19:24
staat precies de zelfde eerste afgeleide van y=sin(x)
Deze afleiding staat ook in mijn boek van drs. L van der Linde
""eenvoudige hogere wiskunde gericht op de toepassing::
Maar is deze formule af te leiden?

Daar ontbreekt alleen nog het meetkundige bewijs van onderstaande limiet aan:

\( \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h)} {h} = 1 \)

Als je dat meetkundige bewijs uit Wijdenes er aan toevoegt ben je klaar.

Tip: de wiskundeboeken van Wijdenes en vooral Schuh zijn wat precisie betreft onovertroffen. Ze zijn tweedehands nog verkrijgbaar.

[ukster]

Ik ken het boek niet
Zoiets als dit ?

[tempelier]

Yep dat is de goede tekening.

Meestal wordt de limiet voor de tangens ook via de insluit methode meegenomen.
Daar zit echter een angeltje onder het gras.
Het is niet zonder meer duidelijk dat de boog korter\langer is tangens.
Dat moet echter wel worden meegenomen.

[TD]

Niet noodzakelijk, dat hangt af van de definitie van sin(x) en dat punt maakte Professor Puntje eerder al.

Waar komt zo'n definitie dan vandaan? Die kun je toch alleen motiveren door de coëfficiënten uit te drukken als afgeleiden?

Dat lijkt mij nogal merkwaardig, maar ala, ben geen wiskundige.

Wat bedoel je met 'vandaan'? Definities zijn keuzes.

Als je vertrekt van een functie, op een of andere manier gedefinieerd maar niet als machtreeks, en als je er afgeleiden van kan bepalen, dan kan je inderdaad via Taylorreeksen er een machtreeks van opstellen a.d.h.v. de afgeleiden. Maar dat neemt de andere mogelijkheid niet weg: er zijn geen afgeleiden nodig om een machtreeks neer te schrijven en, via die weg, een functie te definiëren aan de hand van een machtreeks.

Tempelier noemt dat 'zeer ongebruikelijk', maar dat is het zeker niet.

Het is zeer ongebruikelijk om het zo te doen,