Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

De vrije online versie van WolframAlpha weet er ook geen raad mee, dus toch eerst maar wat benaderingen toepassen. Daarbij gebruiken we het volgende:

Aangezien r = √(x² +R²) geldt:

\( r \geq \mathrm{R} \)

\( \frac{r_s}{r} \leq \frac{2,95 . 10^3}{7,0 . 10^8} \)

\( \frac{r_s}{r} \leq 4,2 . 10^{-6} \)

\( \frac{r_s}{r} \ll 1 \,\,\,\,\,\, (9) \)

En omdat op ieder punt van de lichtbaan x een projectie van de voerstraal r op de x-as behelst hebben we steeds x² ≤ r² zodat dan eveneens:

\( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} \ll 1 \,\,\,\,\,\,\, (10) \)

\(\)

Bedenk dat we spreken over een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert.

[Professor Puntje]

Gebruik makend van (9) en (10) laat zich (6) nu ook schrijven als:

\( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1 - \frac{r_s}{r}}{ \sqrt{1 + \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} - \frac{r_s}{r} }} \cdot c \)

\(\)

Wat zich laat benaderen door:

\( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = (1 - \frac{r_s}{r}) ( 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} + \frac{r_s}{2r} ) \cdot c \)

\(\)

En dat mogen we op haar beurt weer benaderen door:

\( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = ( 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} + \frac{r_s}{2r} - \frac{r_s}{r}) \cdot c \)

\( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = ( 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} - \frac{r_s}{2r} ) \cdot c \,\,\,\,\,\,\,\, (11) \)

[Professor Puntje]

Als voorbereiding op de toepassing van formule (7) berekenen we nu eerst de partiële afgeleiden naar R van 1/r en 1/r³:

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r} = \frac{\partial }{\partial R} (R^2 + x^2)^{-1/2} \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r} = -\frac{1}{2} (R^2 + x^2)^{-3/2} \cdot 2R \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r} = - \frac{R}{r^3} \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r^3} = \frac{\partial }{\partial R} (R^2 + x^2)^{-3/2} \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r^3} = -\frac{3}{2} (R^2 + x^2)^{-5/2} \cdot 2R \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r^3} = - 3 \frac{R}{r^5} \)

Toepassing van (11) levert nu::

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial }{\partial R} \{ ( 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} - \frac{r_s}{2r} ) \cdot c \} \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = ( - \frac{r_s x^2}{2} \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r^3} - \frac{r_s}{2} \frac{\partial }{\partial R} \frac{1}{r} ) \cdot c \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = (\frac{3 r_s x^2}{2} \frac{R}{r^5} + \frac{r_s}{2} \frac{R}{r^3}) \cdot c \)

\( \frac{\partial }{\partial R} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = (\frac{3 x^2}{r^2} + 1) \cdot \frac{r_s R}{2 r^3} \cdot c \,\,\,\,\,\,\,\, (12) \)

[HansH]

infi.png

Uit bovenstaande schetsje zien we dat:

\( \mathrm{d}x^2 = r^2 \mathrm{d} \alpha^2 + \mathrm{d} r^2 \,\,\,\,\,\, (3) \)

Wat je hier doet volgen mij is dx uitdrukken in alpha en r, maar uiteindelijk moet je uitkomen op een verband tussen x en y, immers je verwacht een bepaalde vorm met al of niet 2 pieken. Hoe bereid je het vervolg van je redenatie daarop voor?

[Professor Puntje]

Nog even geduld, ik heb mijn formule voor dφ/dx bijna gereed, en op een dusdanig gedefinieerde momentane afbuiging is ook het grafiekje in MathPages gebaseerd. Aan de hand van mijn formule zullen we vervolgens kunnen nagaan of die in het grafiekje getekende twee pieken terecht zijn. Tenzij ik in mijn afleiding ergens een fout gemaakt heb natuurlijk...

Ziehier de relevante passage van MathPages:

Bron: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

[ukster]

Ik ben wel benieuwd of jouw finale uitkomst overeen gaat komen met wat in deze korte verhandeling van emeritus professor Masud Chaichian wordt beschreven.

Deflection of light by the Sun

(202.37 KiB) 137 keer gedownload

[Professor Puntje]

Ik poog in dit topic niet om een of ander record te breken, maar enkel om te controleren of die twee pieken in het artikel op MathPages correct zijn.

[HansH]

infi.png

Uit bovenstaande schetsje zien we dat:

\( \mathrm{d}x^2 = r^2 \mathrm{d} \alpha^2 + \mathrm{d} r^2 \,\,\,\,\,\, (3) \)

je beschrijft hier een verband tussen x, r en alpha, maar uiteindelijk moet er een relatie zijn tussen alpha en r zodat het verband tussen x en y de curve beschrijft met al of niet de 2 pieken. Daarna volgt een hele afleiding, maar ik zou eigenlijk eerst beschrijving van een manier van aanpak verwachten hoe je denkt tot dat verband tussen x en y te komen en welke verdere relaties je daarvoor wilt gebruiken. Blijkbaar gebruik je de schwarzschild metriek die een verband definieert tussen t, r en alpha e die 2 ga je combineren? als je aangeeft wat je gaat doen en waarom is het beter te volgen denk ik.

[HansH]

Ik ben wel benieuwd of jouw finale uitkomst overeen gaat komen met wat in deze korte verhandeling van emeritus professor Masud Chaichian wordt beschreven.Deflection of light by the Sun.pdf

die 2 pieken in de afbuiging zie ik in dit verhaal nog niet echt terug. Dat zou dan de kromtecirkel in elk punt zijn die dan bij die 2 pieken een kleinere straal zou moeten krijgen vanwege de grotere toe of afname van de kromming aldaar.

[Professor Puntje]

Het was mij niet mogelijk om vooraf te beschrijven wat ik precies zou gaan doen want dat wist ik zelf ook nog niet. Ook weet ik niet zeker of die twee pieken er wel zijn. Dit hele topic is nu juist bedoeld om te controleren of er inderdaad twee pieken zijn. Daarvoor heb ik een formule nodig die de curve in de MathPages grafiek beschrijft. En in mijn volgende berichtje zal ik ook tot zo'n formule komen. Daarna kunnen we dan uitvogelen hoeveel pieken er zijn, en alle hulp is mij daarbij welkom.

[HansH]

Ik ben wel benieuwd of jouw finale uitkomst overeen gaat komen met wat in deze korte verhandeling van emeritus professor Masud Chaichian wordt beschreven.Deflection of light by the Sun.pdf

Het lastige met dit soort afleidingen vind ik dat er een afbuiging bereken wordt tov iets wat als recht assenstelsel wordt aangenomen, maar omdat ruimtetijd gekromd is komt bij mij dan gelijk de vraag boven: wat is dan je referentie van wat recht is? Ik zou denken dat je dan aanneemt dat recht dan datgene is wat er ontstaat als je de zon weg zou nemen en dan berekent wat er gebeurt als je de zon weer terugzet. maar in de schwartschild metriek komen hoeken en stralen voor dus dan komt bij mij gelijk de vraag boven: tov wat zijn die hoeken en stralen dan gedefinieerd als alles krom is. Zonder die uitleg heeft een serie formules voor mij in iedere geval weinig zin.

[Professor Puntje]

Combinatie van (7), (11) en (12) geeft:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{(\frac{3 x^2}{r^2} + 1) \cdot \frac{r_s R}{2 r^3} \cdot c }{( 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} - \frac{r_s}{2r} ) \cdot c} \)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{(\frac{3 x^2}{r^2} + 1) \cdot \frac{r_s R}{2 r^3}}{ 1 -\frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} - \frac{r_s}{2r} } \)

\(\)

Op grond van (9) en (10) laten zich dan nog twee opeenvolgende benaderingen toepassen:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = (\frac{3 x^2}{r^2} + 1) \cdot \frac{r_s R}{2 r^3} \cdot (1 + \frac{r_s}{2r} \frac{x^2}{r^2} + \frac{r_s}{2r} ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = (\frac{3 x^2}{r^2} + 1) \cdot \frac{r_s R}{2 r^3} \)

\(\)

Bedenk nu dat we voor een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert hebben dat R = R_zon en dan vinden we uiteindelijk:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left (\frac{3 x^2}{\mathrm{R}_{zon}^2 + x^2} + 1 \right ) \cdot \frac{r_s \mathrm{R}_{zon}}{2 ( \mathrm{R}_{zon}^2 + x^2 )^{3/2}} \,\,\,\,\,\,\,\, (13) \)

[Professor Puntje]

@HansH

Hoe de coördinaten van de Schwarzschild metriek precies gedefinieerd zijn kun je nalezen in Taylor & Wheeler Exploring Black Holes. Er is inderdaad een tricky punt in mijn afleiding namelijk dat ik in navolging van MathPages aanneem dat ik voor relatief zwakke velden zoals die van onze zon met inachtneming van de Schwarzschild metriek toch de "gewone" meetkunde van het xy-vlak mag blijven gebruiken. Over het hoe en waarom daarvan kon ik geen nadere informatie vinden. Als die aanname niet juist is dan is ook mijn afleiding ongeldig.

[Professor Puntje]

Heeft iemand de programmatuur om op basis van formule (13) een fraaie grafiek van \( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} \) als functie van x te genereren?

[HansH]

Heeft iemand de programmatuur om op basis van formule (13) een fraaie grafiek van \( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} \) als functie van x te genereren?