Kronecker delta's

[flappelap]

Dus: je definieert de Kronecker delta zoals gebruikelijk,

https://nl.wikipedia.org/wiki/Kroneckerdelta

en dan blijkt dat het ding, als je het als een 1,1 tensor opvat, dezelfde componenten heeft in alle coordinaten stelsels. Da's alles.

[Math-E-Mad-X]

Maar wat op internet rondgesnuffeld. Is het de bedoeling dat we de Kronecker delta als tensor aldus opvatten?

\(\)

\( \delta_b^a \, := \, \frac{\partial x^a}{\partial x^b} \)

\(\)

Die definitie levert voor ieder coördinatenstelsel x¹, x² , ... , xⁿ een vierkant blok van n² enen en nullen.

Ik zou zeggen dat die definitie alleen maar de componenten van de tensor geeft.
De tensor zelf zou ik zo definiëren (op een 3-dimensionale manifold):

\( \frac{\partial}{\partial x^1} \otimes dx^1 + \frac{\partial}{\partial x^2} \otimes dx^2 + \frac{\partial}{\partial x^3} \otimes dx^3\)

[Professor Puntje]

En dat is dan geschreven in basistensoren?

[Professor Puntje]

Die uitdrukking heeft dan wel het voordeel dat het direct duidelijk is dat dat ding een tensor is, want de som van tensoren van het zelfde type is ook zelf weer een tensor van datzelfde type. Maar om nu te zeggen dat dat ding niets anders is dan \( \delta_a^b \) gaat mij wat ver.

[wnvl1]

Om aan te tonen dat het om een tensor gaat, kunnen we het volgende bewijzen.


$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \delta_d^c \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^c} \frac{\partial x^d}{\partial \bar{x}^b}$$

We stellen c gelijk aan d en noemen dit n. Als c verschilt van d is de delta toch nul.

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \sum_n \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^n} \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^b}$$

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial \bar{x}^b}$$

en dit is 1 als a gelijk is aan b en anders 0.

[flappelap]

En dat is dan geschreven in basistensoren?

Ja, in de zgn. coordinatenbasis. Maar uiteindelijk maakt dat niks uit; de componenten zijn immers in elke basis hetzelfde.

[Professor Puntje]

Om aan te tonen dat het om een tensor gaat, kunnen we het volgende bewijzen.


$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \delta_d^c \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^c} \frac{\partial x^d}{\partial \bar{x}^b}$$

We stellen c gelijk aan d en noemen dit n. Als c verschilt van d is de delta toch nul.

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \sum_n \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^n} \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^b}$$

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial \bar{x}^b}$$

en dit is 1 als a gelijk is aan b en anders 0.

Dat streepje staat voor "in het nieuwe coördinatenstelsel"? Verder is het mij niet duidelijk waarvan je bewijs uit gaat. Wat mij betreft zou het startpunt de gebruikelijke definitie moeten zijn:

\(\)

\( \delta_a^b = 1 \, \mbox{voor} \, a=b \,\,\, \& \,\,\, \delta_a^b = 0 \, \mbox{voor} \, a \neq b \)

\(\)

Van de aldus gedefinieerde Kronecker delta is mij niet duidelijk dat het een tensor is. Volgens mij is eerst een aangepaste interpretatie of definitie nodig voordat je de Kronecker delta als een tensor mag beschouwen. Zoals bijvoorbeeld door Math-E-Mad-X is gegeven.

[Professor Puntje]

Wikipedia definieert:

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor#As ... nal_arrays

Daar zou \( \delta_a^b \) dus aan moeten voldoen.

[Professor Puntje]

Goed - laten we \( \delta_a^b \) dan interpreteren als de afbeelding die voor iedere basis f = (e₁, e₂, ... , e_n) van de n-dimensionale vectorruimte V de eenheidsmatrix I_n tot beeld heeft.

[wnvl1]

Om aan te tonen dat iets een tensor is, moet je aantonen dat de componenten op dezelfde manier transformeren zoals coördinaten. Met streepje is in het nieuwe coördinatenstelsel en zonder streepje is in het oude coördinaten stelsel.

Ik ben uitgegaan van bovenstaande transformatieregel en het blijkt dat de getransformeerde \(\bar{\delta}^{c}_{d}\) in het nieuwe coördinatenstelsel hetzelfde doet als de originele \(\bar{\delta}^{a}_{b}\). Het ding is 1 als beide indices gelijk zijn en anders nul.

[flappelap]

Ik zou zo'n Kronecker delta als volgt definiëren. Ik doe dat middels de componenten, omdat de transformatie-eigenschappen daarvan immers slechts een gevolg zijn van het definiërende karakter van een tensor als multi-lineaire afbeelding. De Kronecker delta definiëer ik via een vector V en een duale vector omega, hoewel je het rechtstreeks voor willekeurige tensoren kunt uitbreiden (Einstein sommatieconventie):

\( \delta^a_{b} V^b = V^a , \ \ \ \ \ \delta^a_{b} \omega_a = \omega_b \)

Je weet hoe een (duale) vector transformeert, dus je kunt hieruit de transformatie-eigenschappen van de Kronecker delta herleiden. Je zult dan vinden dat de componenten ervan inderdaad transformeren als een 1,1 tensor. Vervolgens kun je ook afleiden dat de numerieke waarden ervan gelijk zijn aan 1 als a=b, en 0 anders. Tot slot maak je je dan nog zorgen in hoeverre deze numerieke waarden afhangen van de gekozen basis (want die hebben we immers niet gekozen); daarvoor neem je aan dat je in een basis werkt waarvoor de definitie opgaat (1 als a=b, en 0 anders), en toon je via de zojuist aangetoonde transformatie-eigenschappen aan dat deze definitie voor alle coördinaten werkt, en de kronecker delta inderdaad een tensor is onder algemene coördinatentransformaties. Bovenstaande definitie zou anders ook niet werken, natuurlijk.

Die laatste check is echter niet triviaal, want eigenlijk moet je bij het woord 'tensor' altijd de specifieke groep van transformaties vermelden. In de algemene relativiteitstheorie zijn dit bijna altijd impliciet de algemene coördinatentransformaties. Maar we zagen eerder al dat de epsilon-tensor alleen een tensor is voor die transformaties waarbij de determinant plusminus 1 is; onder algemene coördinatentransformaties is dat ding dus geen tensor. Ook een ding als de Christoffel-connectie is alleen een tensor onder een beperkte groep transformaties (waaronder de Lorentz-transformaties), maar zeker NIET onder algemene coördinatentransformaties.

Je kunt het vast ook met meer fancy-pancy wiskunde doen (met name wiskundigen hebben nog wel es een fetish voor coördinaat-onafhankelijke notatie), maar voor mij persoonlijk biedt dat geen extra inzicht.

[flappelap]

Om aan te tonen dat iets een tensor is, moet je aantonen dat de componenten op dezelfde manier transformeren zoals coördinaten.

Misschien begrijp ik je verkeerd, maar coördinaten x^a transformeren niet als een vector. De componenten van een tensor transformeren dus zeker niet op dezelfde manier als de componenten van een coördinatenfunctie.

[flappelap]

Om aan te tonen dat het om een tensor gaat, kunnen we het volgende bewijzen.


$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \delta_d^c \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^c} \frac{\partial x^d}{\partial \bar{x}^b}$$

We stellen c gelijk aan d en noemen dit n. Als c verschilt van d is de delta toch nul.

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \sum_n \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial x^n} \frac{\partial x^n}{\partial \bar{x}^b}$$

$$\bar{\delta_b^a} \, = \, \frac{\partial \bar{x}^a}{\partial \bar{x}^b}$$

en dit is 1 als a gelijk is aan b en anders 0.

Dat streepje staat voor "in het nieuwe coördinatenstelsel"? Verder is het mij niet duidelijk waarvan je bewijs uit gaat. Wat mij betreft zou het startpunt de gebruikelijke definitie moeten zijn:

\(\)

\( \delta_a^b = 1 \, \mbox{voor} \, a=b \,\,\, \& \,\,\, \delta_a^b = 0 \, \mbox{voor} \, a \neq b \)

\(\)

Van de aldus gedefinieerde Kronecker delta is mij niet duidelijk dat het een tensor is. Volgens mij is eerst een aangepaste interpretatie of definitie nodig voordat je de Kronecker delta als een tensor mag beschouwen. Zoals bijvoorbeeld door Math-E-Mad-X is gegeven.

Nogmaals (en wat ik ook in mijn post hiervoor doe): contraheer deze definitie met een vector, en met een duale vector, en check de transformatie-eigenschappen van de componenten van de kronecker delta.

Ik ben het met je eens dat deze definitie niet meteen laat zien dat de kronecker delta een tensor is.

[Professor Puntje]

Ik zou het zo doen. Laat V een n-dimensionale vectorruimte zijn en \( \mathbf{f} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n) \) en \( \mathbf{\hat{f}} = (\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, ... , \mathbf{\hat{e}}_n) \) twee bases van V. We hebben dan: \( \mathbf{\hat{e}}_i = R_i^j \, \mathbf{e}_j \). Laten we de Kronecker delta δ nu beschouwen als de afbeelding die voor iedere basis van de n-dimensionale vectorruimte V de eenheidsmatrix I_n tot beeld heeft. De uitdrukking \( \delta^i_j \) gebruiken we dan voor beelden I_n van die afbeelding en meer bepaald voor de elementen daarvan. Voor alle bases \( \mathbf{f} \) en \( \mathbf{\hat{f}} \) van V geldt dan:

\(\)

\( \delta(\mathbf{\hat{f}}) = I_n \)

\(\)

\( \delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [I_n]^{i'}_{j'} \)

\(\)

\(\delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [R^{-1}]^{i'}_i [R]^i_{j'} \)

\(\)

\( \delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [R^{-1}]^{i'}_i \left ( [I_n]^i_j [R]^j_{j'} \right ) \)

\(\)

\( \delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [R^{-1}]^{i'}_i \left ( [\delta(\mathbf{f}) ]^i_j [R]^j_{j'} \right ) \)

\(\)

\( \delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [R^{-1}]^{i'}_i \left ( \delta^i_j (\mathbf{f}) [R]^j_{j'} \right ) \)

\(\)

\( \delta^{i'}_{j'}(\mathbf{\hat{f}}) = [R^{-1}]^{i'}_i \delta^i_j (\mathbf{f}) [R]^j_{j'} \)

[Professor Puntje]

Die laatste check is echter niet triviaal, want eigenlijk moet je bij het woord 'tensor' altijd de specifieke groep van transformaties vermelden. In de algemene relativiteitstheorie zijn dit bijna altijd impliciet de algemene coördinatentransformaties. Maar we zagen eerder al dat de epsilon-tensor alleen een tensor is voor die transformaties waarbij de determinant plusminus 1 is; onder algemene coördinatentransformaties is dat ding dus geen tensor. Ook een ding als de Christoffel-connectie is alleen een tensor onder een beperkte groep transformaties (waaronder de Lorentz-transformaties), maar zeker NIET onder algemene coördinatentransformaties.

Je kunt het vast ook met meer fancy-pancy wiskunde doen (met name wiskundigen hebben nog wel es een fetish voor coördinaat-onafhankelijke notatie), maar voor mij persoonlijk biedt dat geen extra inzicht.

Zijn de definities van een tensor als multilineaire functionaal en als getallenblok dat voldoet aan bepaalde transformaties als gevolg van een verandering van basis nog wel equivalent als je aanvullende restricties gaat opleggen aan de transformaties die geoorloofd zijn.