weerstanden

[Professor Puntje]

Oh ja - natuurlijke getallen dus. Maar of nul een natuurlijk getal is, daarover verschillen de meningen. Een weerstand van nul is eigenlijk net zo min een weerstand als een weerstand van oneindig. Dat zijn eerder manieren om het circuit te veranderen.

[Xilvo]

Oh ja - natuurlijke getallen dus. Maar of nul een natuurlijk getal is, daarover verschillen de meningen.

Je kunt nul meenemen of niet. De oplossingen met nul zijn verder niet zo interessant, de eerste schakeling levert vanzelf nul als een parallelweerstand nul is. Het reduceert dan tot een veel simpelere vraag.

[ukster]

Sorry ,mijn fout..
ik bedoelde de verzameling strikt positieve getallen (zonder nul) Zo,+
Vooralsnog zie ik geen slimmigheidjes.
Ook wil ik niemand met dit vraagstuk foppen.
Ik begreep van Xilvo dat hij de computer inmiddels aan het werk heeft gezet.
Dat betekend dat hij een oplossingsalgoritme heeft bedacht.
De computer berekent (alle) mogelijk oplossingen en geeft de resultaten.
De processingtime zou dan wel eens behoorlijk uit de hand kunnen lopen.

[Xilvo]

De computer rekent (alle) mogelijkheden na en geeft de resultaten.
De processingtime zou wel eens behoorlijk uit de hand kunnen lopen.

Dat is altijd de makke met een programma, het rekent (bij dit soort problemen) nooit alle mogelijkheden door.

[Professor Puntje]

Maar nu ben ik toch wel heel benieuwd of dit een door ukster zelf bedacht vraagstuk is of niet. In het eerste geval zou er eventueel helemaal geen simpele oplossingswijze kunnen zijn...

[ukster]

Niet door mij bedacht.
De genoemde uitkomsten waren de "op goed geluk" antwoorden van WillemB

[WillemB]

Volgens mij is enige deductie wel mogelijk, aangezien gegeven a<b<c<d,
en elke schakeling bevat 4 weerstanden die gelijk zijn aan a, b,c,en d

Als voorbeeld, schakeling fig 1, daar moet de uitkomst gelijk zijn aan 1 van de weerstanden,
daardoor kan die betreffende weerstand alleen een van de twee ondersten zijn,
want als die in de bovenste zou zitten kan het eind resultaat nooit groter zijn, wel kleiner,
dat reduceert het aantal mogelijkheden al tot 3 voor schakeling 1.

Zou is wellicht voor de andere schakelingen door logisch redeneren het aantal mogelijkheden
ook beperkt en zou je op die manier wellicht ook tot een oplossing komen.

Zo voor schakeling fig 3 en 4, daar kan de weerstand die geiijk is aan de uitkomst,
nooit de losse rechtse serie weerstand kunnen zijn, anders wordt het totaal te groot.
Daardoor wordt het aantal mogelijkheden ook weer beperkt.

[Professor Puntje]

Inderdaad kun je zo al redenerend al het nodige over R1 t/m R16 te weten komen.

[Professor Puntje]

Ik vermoed dat je hier iets met groepentheorie kunt doen, immers gaat het hier over de permutaties van vier verschillende weerstanden en de circuits die daar als functies f, g en h (met zekere symmetrieën) op opereren om vervangweerstanden op te leveren.

[Xilvo]

Numeriek blijken alle oplossingen ook tot die met een maximale weerstand van 1000 Ohm en alle weerstanden groter dan 0 Ohm, veelvouden van 1, 2, 3 en 4 Ohm te zijn.
Het aantal mogelijke combinaties van 4 weerstanden neemt razendsnel toe met de waarde van de grootste weerstand.
Zonder slimmigheidjes die het aantal mogelijkheden drastisch reduceert kom ik niet veel verder.

[Professor Puntje]

Ik was van plan vandaag flink met dit vraagstuk aan de slag te gaan maar daar is een stevige hoofdpijn tussengekomen. Toch heb ik nog wel wat bedacht:

Neem aan dat het circuit van fig. 1 een vervangweerstand a heeft. Dat kan dan alleen als R₃ of R₄ gelijk aan a is, en voor de vervangweerstand van het circuit maakt het niet uit welke we kiezen. Kies R₃. Dan hebben we:

\(\)

\( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{a + R_4} = \frac{1}{a} \,\,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

Verder moeten R₁, R₂, a en R₄ allemaal positieve natuurlijke getallen zijn. Het lijkt mij dat (1) flinke beperkingen oplegt aan wat R₁, R₂, a en R₄ kunnen zijn. We zien al zo dat R₁ en R₂ groter dan R₃ = a moeten zijn. Dus:

(2) De a heeft van a, b, c, en d de kleinste of de op één na kleinste waarde.

[Xilvo]

Verder moeten R₁, R₂, a en R₄ allemaal positieve natuurlijke getallen zijn. Het lijkt mij dat (1) flinke beperkingen oplegt aan wat R₁, R₂, a en R₄ kunnen zijn.

Dat klopt maar dan moet je de vervangingsweerstand eerst uitrekenen.
Ik bekijk alle mogelijke (verschillende) combinaties (in schakeling 1 levert omwisselen van R1 en R2 of R3 en R4 geen andere weerstand op). Is een vervangingsweerstand geen gehele waarde dan doet die sowieso niet mee.

We zien al zo dat R₁ en R₂ groter dan R₃ = a moeten zijn.

Dat soort zaken neem ik niet mee maar dat zet niet echt zoden aan de dijk.

[Professor Puntje]

Formule (1) lijkt hierop: https://nl.wikipedia.org/wiki/Vermoeden ... 91s-Straus

Maar mogelijk is de precieze vorm van (1) ook al ergens onderzocht.

Voor de andere figuren zijn wellicht ook dergelijke diofantische vergelijkingen op te stellen.

[Xilvo]

Ik zie nog niet hoe je hier het programma significant sneller mee krijgt.
Voor een grootste weerstand van n Ohm kan de tweede (b) alle waardes van 1 tot n krijgen, de derde (c) alle waardes tot b, de vierde alle waardes tot c. Dat loopt enorm hard op.

[Professor Puntje]

Dat zal zo zijn, maar door steeds grotere n te nemen krijg je sowieso nooit het totaal in beeld. De uiteindelijke oplossing moet van een wiskundig bewijs komen. Daar ben ik naar op zoek.