Afgeleide

[PhilipVoets]

Als je het zo stelt, zou ik dan denken: verandering van klinische toestand in tijd

[flappelap]

Ik kan me voorstellen dat wat Wnvl1 voorstelt al heel aardig in de richting komt, maar ik vind het zonder stapsgewijze afleiding enigszins lastig om te volgen of de aannames vanuit klinisch-fysiologisch oogpunt plausibel zijn. En geldt daarbij dat: p(S) = k . ln(S/S0), zoals in de eerder gestuurde Fechner-afleiding? Dus: p(S,t) = k . (1 - exp(-t/T) . ln(S/S0)? Of mag je dat zo niet stellen?
En tot slot; hoe duidt ik de waarde voor tau (T) hierin? Een soort “referentietijd”?

De tau vertelt je hoe snel p in relatieve zin afneemt in de tijd. Als je t=tau invult, zie je dat p met een factor (1-e^-1)=0.63=63% afneemt. Enigszins vergelijkbaar met de halfwaardetijd van een radioactief element, dus (waarbij de afname per definitie 50% is na één halfwaardetijd).

[PhilipVoets]

Dank, ik vermoedde inderdaad al iets dat conceptueel raakt aan halfwaardetijd
En de p(S)? Dat is gewoon k.ln(S)?
En als laatste vraag: volgens die differentiaalvergelijking is zowel p zelf als dp/dt evenredig met ln(S)? Is er dan een tijdafhankelijke en een tijdonafhankelijke component aan p of is dit puur een kwestie van wiskundige notatie? Volgt daaruit die vertraagde tijdsevolutie (wat maakt dit eigenlijk “vertraagd”)?
Aantal vragen, maar deze materie valt net buiten de voor mij vertrouwde “reguliere” differentiaalvergelijkingen…

[wnvl1]

De evenwichtswaarde vind je door in

$$\tau\frac{dP}{dt}+P=k \cdot lnS$$

de \(\frac{dP}{dt}\) gelijk aan 0 te stellen, dan bekom je dus die \(k\ln S\). Als er een verschil is tussen P en \(k\ln S\), dan wordt dat opgevangen door de \(\frac{dP}{dt}\) die ervoor zorgt dat de P gaat stijgen of dalen.

Het vakgebied waarin je leert om zulke systemen te modelleren heet systeemtheorie. Dezelfde wiskunde ligt vaak aan de basis van het modelleren van economische, elektrische, thermodynamische, ... systemen. Dikwijls ga je hiervoor werken met Laplacetransformaties.

[PhilipVoets]

Helder! De achtergrond in systeemtheorie mis ik, maar op hoofdlijnen kan ik de gedachte volgen.

Dus de vergelijking:

P(S,t) = k . (1 - exp(-t/T) . ln(S/S0)

Zou dus een redelijke/rationele modellering zijn van het beschrevene, wat jullie betreft? Waarbij geldt: P = 0, indien S = S0 (lees: normale referentiewaarde labuitslag, dus geen “stijging of daling van kliniek”) en indien t = 0 (lees: geen tijd verstreken). Tevens lijkt mij dan dat naarmate T kleiner wordt de curve steiler loopt, dus dat een lage waarde voor T feitelijk te interpreteren is als een snel in de tijd ontstane verandering van de labuitslag; t verandert relatief sneller naarmate T lager is)?
Zou het voor de interpretatie nog mogelijk/zinvol zijn om P te noteren t.o.v de uitganswaarde, dus: P(S,t)/P0 i.p.v enkel P(S,t) door aan beide kanten te delen door P0 of is dit bezwaarlijk?

[wnvl1]

Dat klopt wat je schrijft. Dit is wat we noemen een eerste orde systeem. Het meest simpele systeem dat je kan hebben.
Je kan schrijven

$$P(t)=P_{\infty}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$

[PhilipVoets]

Enige lastige is dat de breuk t/T klinisch wat lastig te duiden is en daardoor waarschijnlijk het model klinisch minder bruikbaar maakt. In de huidige curve geldt bovendien: hoe groter t, hoe steiler de curve, terwijl je eigenlijk opzoek bent naar een vorm waarbij de curve juist steiler loopt naarmate de tijd waarin ΔS plaatsvindt juist korter is. De (ongetwijfeld wiskundig onjuiste/verminkte) intuïtieve vorm die de klinische toestand het best beschrijft, is m.i.:

ΔP = k₁ . (1 - exp(-k₂/Δt)) . ln(ΔS/S)

Is een dergelijke vergelijking af te leiden door P(S₂,t₂) en P(S₁,t₁) van elkaar af te trekken o.i.d.?

[PhilipVoets]

Enige lastige is dat de breuk t/T klinisch wat lastig te duiden is en daardoor waarschijnlijk het model klinisch minder bruikbaar maakt. In de huidige curve geldt bovendien: hoe groter t, hoe steiler de curve, terwijl je eigenlijk opzoek bent naar een vorm waarbij de curve juist steiler loopt naarmate de tijd waarin ΔS plaatsvindt juist korter is. De (ongetwijfeld wiskundig onjuiste/verminkte) intuïtieve vorm die de klinische toestand het best beschrijft, is m.i.:

ΔP = k₁ . (1 - exp(-k₂/Δt)) . ln(ΔS/S)

Is een dergelijke vergelijking af te leiden door P(S₂,t₂) en P(S₁,t₁) van elkaar af te trekken o.i.d.?

*S moet zijn S₀, dus: ΔP = k₁ . (1 - exp(-k₂/Δt)) . ln(ΔS/S₀)

[wnvl1]

Je interpretatie van \(\Delta t\) is de tijd waarin S verandert met \(\Delta S\)?

Als je werkt met een continu systeem, dan ga je misschien eerder op zoek gaan naar een model waarin \(\frac{dS}{dt}\) voorkomt. Dat zou dan gelinkt kunnen worden aan \(\frac{dp}{dt}\). Dus de snelheid van de verandering van p is gerelateerd aan de snelheid van de verandering van S.

[PhilipVoets]

Je interpretatie van \(\Delta t\) is de tijd waarin S verandert met \(\Delta S\)?

Yes. Misschien dan toch:

dp/dt = k . dS/(S . dt)?

[Xilvo]

Je interpretatie van \(\Delta t\) is de tijd waarin S verandert met \(\Delta S\)?

Yes. Misschien dan toch:

dp/dt = k . dS/(S . dt)?

Wat gebeurt er met p (de "klinische toestand") als S toegenomen is maar daarna constant blijft? verandert p dan ook niet meer?

[PhilipVoets]

Je interpretatie van \(\Delta t\) is de tijd waarin S verandert met \(\Delta S\)?

Yes. Misschien dan toch:

dp/dt = k . dS/(S . dt)?

Wat gebeurt er met p (de "klinische toestand") als S toegenomen is maar daarna constant blijft? verandert p dan ook niet meer?

Klopt, p blijft constant als S constant blijft (of nog wel toeneemt, maar S reeds zodanig hoog is dat receptorverzadiging is opgetreden). Het kan dus niet zo zijn dat enkel verandering van t (bij gelijkblijvende S) leidt tot verandering van p. Het gaat er puur om dat de dt iets zegt over de snelheid waarmee dS optreedt, maar op zichzelf geen invloed heeft.

[PhilipVoets]

Misschien is dit ook wiskundig gewoon niet te modelleren / vangen. Eigenlijk wil je beschrijven hoe p verandert per dS/S per dt

[Xilvo]

Als het geen volledig willekeurig proces is, dan is het altijd met een model te benaderen.
Maar er zullen vaak andere factoren meespelen, hier misschien leeftijd, geslacht en algemene gezondheidstoestand van de patiënt.

[wnvl1]

Je kan ook altijd proberen om inspiratie te halen bij PID regelaars. Een deel van de terugkoppeling is proportioneel, een deel integrerend en een deel differentiërend.

https://nl.wikipedia.org/wiki/PID-regelaar