Even dubbelchecken

[PhilipVoets]

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt

Ik vraag mij af of het hier niet gewoon misging. dA/dt is immers geen breuk. Het is dus ook niet mogelijk om dA te vervangen door dB/B. Als er initieel gekozen was voor een andere notatie dan was dit ook nooit in iemand opgekomen, bijvoorbeeld:

\(C = \dot{A} \mbox{ of } \frac{d}{dt} A\)

Kan iemand uitleggen waarom wat hier gebeurt wel wiskundig gezien verantwoord is?

Stel dat ik het op een andere manier zou doen, dan zou ik denken:
dA = dB/B —> A = ln(B) + K
C = dA/dt = d(ln(B))/dt (beetje zoals in Van ‘t Hoff-vergelijking)
Dus: ∫C(t)dt over t1 tot t2 = ∫ln(B) over ln(B(t1)) tot ln(B(t2)) —> C_gemiddeld(t2 - t1) = ln(B(t2)) - ln(B(t1)) = ln(ln(B(t2))/ln(B(t1)))/(t2 - t1).
Dat lijkt me hetzelfde resultaat met een andere aanvliegroute. Nogmaals, ik sta open voor suggesties!

[PhilipVoets]

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt

Ik vraag mij af of het hier niet gewoon misging. dA/dt is immers geen breuk. Het is dus ook niet mogelijk om dA te vervangen door dB/B. Als er initieel gekozen was voor een andere notatie dan was dit ook nooit in iemand opgekomen, bijvoorbeeld:

\(C = \dot{A} \mbox{ of } \frac{d}{dt} A\)

Kan iemand uitleggen waarom wat hier gebeurt wel wiskundig gezien verantwoord is?

Stel dat ik het op een andere manier zou doen, dan zou ik denken:
dA = dB/B —> A = ln(B) + K
C = dA/dt = d(ln(B))/dt (beetje zoals in Van ‘t Hoff-vergelijking)
Dus: ∫C(t)dt over t1 tot t2 = ∫ln(B) over ln(B(t1)) tot ln(B(t2)) —> C_gemiddeld(t2 - t1) = ln(B(t2)) - ln(B(t1)) = ln(ln(B(t2))/ln(B(t1)))/(t2 - t1).
Dat lijkt me hetzelfde resultaat met een andere aanvliegroute. Nogmaals, ik sta open voor suggesties!

*d(ln(B)) natuurlijk, dus: ∫d(ln(B)). Echt foutgevoelig op deze manier

[flappelap]

Stel dat geldt: dA = dB/B en C = dA/dt

Dan geldt: C = (dB/B)/dt

Ik vraag mij af of het hier niet gewoon misging. dA/dt is immers geen breuk. Het is dus ook niet mogelijk om dA te vervangen door dB/B. Als er initieel gekozen was voor een andere notatie dan was dit ook nooit in iemand opgekomen, bijvoorbeeld:

\(C = \dot{A} \mbox{ of } \frac{d}{dt} A\)

Kan iemand uitleggen waarom wat hier gebeurt wel wiskundig gezien verantwoord is?

Het is notationieel inderdaad nogal slordig, maar ik interpreteer het als volgt:

A en B zijn functies van een enkele variabele (t, zo blijkt later). De vergelijking dA = dB/B is voor mij dan equivalent aan

\(A(t) = ln[B(t)] + const. \)

of, uitgedrukt in de variabele t,

\( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{B}\frac{dB}{dt}\)

De reden voor deze interpretatie is de volgende vergelijking, \(C = \frac{dA}{dt}\). De afgeleiden opvatten als breuken waarbij je met differentialen omschuift is formeel gezien niet correct omdat een afgeleide geen simpele breuk is (er is nog een limiet aanwezig), maar is gerechtvaardigd vanuit de kettingregel; dezelfde manipulaties doe je b.v. bij het scheiden van variabelen.

De notatie "C = (dB/B)/dt" vat ik dan ook op als

\(C(t) = \frac{1}{B}\frac{dB}{dt}\)

met \(B = B(t)\). Maar ik denk wel dat het verstandig is dat als TS dit soort berekeningen vaker nodig heeft, hij b.v. Stewart's Calculus nog eens goed doorneemt, want de notatie is verwarrend. Zo zag ik van de week nog iemand op Physicsforums een tweede orde differentiaalvergelijking oplossen met scheiden van variabelen, waarbij hij de tweede afgeleide ook als simpele breuk opvat. Dat gaat natuurlijk mis. Wat dat betreft is scheiden van variabelen een nogal verwarrende techniek voor wie de oorsprong ervan niet kent.

[PhilipVoets]

Is de overkoepelende conclusie hier: de redenering en conclusie kloppen, maar het is allemaal wat knullig genoteerd?

[flappelap]

Is de overkoepelende conclusie hier: de redenering en conclusie kloppen, maar het is allemaal wat knullig genoteerd?

Ja, w.m.b. wel.

[PhilipVoets]

Is de overkoepelende conclusie hier: de redenering en conclusie kloppen, maar het is allemaal wat knullig genoteerd?

Ja, w.m.b. wel.

Daar doe ik het maar voor als niet-wis-/-natuurkundige Dank voor het meedenken!