De grote raadseltopic

[Iwerke]

Juist Peter Pan iedereen heeft evenveel kans

als je het volledige bewijs wil zien:

http://www.hhofstede.nl/raadsels/oplgeefhe...hetbierdoor.htm

[Math]

Raadsel 4

Uit hoeveel driehoeken bestaat onderstaande figuur?

[EvilBro]

De rechter en linker onderhoek zijn expres zo getekend? Of hadden dat ook driehoekjes moeten zijn?

[Math]

De rechter en linker onderhoek zijn expres zo getekend? Of hadden dat ook driehoekjes moeten zijn?

Expres.

[EvilBro]

Expres.

Dan gok ik op 74.

[PeterPan]

De rechter en linker onderhoek zijn expres zo getekend? Of hadden dat ook driehoekjes moeten zijn?

Hoeveel driehoekjes zou dat schelen denk je?

74

Mee eens.

Teken de ontbrekende streepjes links en rechts onderaan er even bij. Dat scheelt 4 driehoekjes.

Het is makkelijk te tellen door de driehoekjes afwisselend wit en zwart te kleuren.

Het aantal driehoekjes met zwarte basis van lengte 1,2,3,4,5,6 is respectievelijk

6+5+4+3+2+1, 5+4+3+2+1, 4+3+2+1, 3+2+1, 2+1, 1

dus samen 1.6+2.5+3.4+4.3+5.2+1.6 = 6+10+12+12+10+6=56.

Het aantal driehoekjes met witte basis van lengte 1,2,3 is respectievelijk

5+4+3+2+1, 3+2+1, 1

dus samen 15+6+1=22

Alles bij elkaar 56+22-4 = 74.

[Iwerke]

ik heb geteld vorige keer en als ik er geen gemist heb zijn het er 54

maar aangzien de bovenste antwoorden heb ik er precies wel een aantal gemist

[PeterPan]

Raadsel 5

An, Jan en hond Pluto maken een lange rechte wandeling. Ze starten tegelijk en op dezelfde plek.

An loopt met een snelheid van 4 km/u en Jan met een snelheid van 6 km/u. Pluto loopt tussen hen heen en weer met snelheid 5 km/u.

Waar bevindt zich Pluto t.o.v. An en Jan na 5 uur lopen en in welke richting loopt hij dan (van An naar Jan of omgekeerd)?

[EvilBro]

Pluto loopt tussen hen heen en weer met snelheid 5 km/u.

Dit snap ik niet helemaal. Is de snelheid van Pluto ten opzichte van An? (Want als de snelheid ten opzichte van de grond is dan haalt hij Jan nooit in en dan vind ik het een raar raadseltje).

[Giel_5]

Pluto loopt tussen hen heen en weer met snelheid 5 km/u.

Dit snap ik niet helemaal. Is de snelheid van Pluto ten opzichte van An? (Want als de snelheid ten opzichte van de grond is dan haalt hij Jan nooit in en dan vind ik het een raar raadseltje).

Tja of dat is nu juist de oplossing.

Pluto loopt na 5 uur:

- 5km voor An

- 5km achter Jan

En loopt in de richting van Jan

[PeterPan]

Olala, een foutje. Pluto loopt met een snelheid van 8 km/u.

Pluto loopt van An naar Jan, keert om en loopt met dezelfde snelheid naar An, keert weer om en loopt met dezelfde snelheid weer naar Jan, keert om ...

[Diadem]

An loopt dus 4 km/u, Jan 6 km/u en Pluto loopt 8 km/u.

Als we An stil zetten loopt Jan dus 2 km/u en Pluto 4 km/u, precies 2x zo snel als Jan. Als pluto op een punt \(x_n\) bij An is, dan geldt voor het punt waarop hij Jan bereikt \(2x = 4(x - x_n) \Rightarrow x=2 x_n\). Hij doet er nog eens zo lang over om An weer te bereiken. Dus \(x_{n+1} = 3 x_n\)

Probleem is dat \(x_0 = 0\) dus hij loopt in het begin eerst een oneindig aantal keer heen en weer, en wat er daarna precies gebeurd is lijkt mij niet zo makkelijk te voorspellen. Dit zit eruit als een typisch chaotisch systeem.

[PeterPan]

Dit zit eruit als een typisch chaotisch systeem.

Chaostheorie heeft hier niets mee van doen. In de chaostheorie gaat het om kleine startverschillen die in de loop der tijd steeds grotere verschillen (chaos) opleveren.

[Diadem]

Dit zit eruit als een typisch chaotisch systeem.

Chaostheorie heeft hier niets mee van doen. In de chaostheorie gaat het om kleine startverschillen die in de loop der tijd steeds grotere verschillen (chaos) opleveren.

Precies. Maar de plaatsfunctie van Pluto gedraagt zich chaotisch rond t=0. Als pluto ietsje later of eerder begint met lopen dan An en/of Jan dan zal hij zich na 5 uur op een totaal andere plaats bevinden.

Misschien voor de oplossing van dit raadsel niet zo relevant. Er is vast een slimme manier om het op te lossen die ik nog niet gezien heb. Maar wel waar.

[PeterPan]

Maar de plaatsfunctie van Pluto gedraagt zich chaotisch rond t=0.

Neen, in tegendeel.

Wat je wil zeggen is denk ik, dat het probleem numeriek slecht geconditioneerd is in de uitgangssituatie, maar als eenmaal een eerste (numerieke) stap gezet is loopt het vervolg geheel voorspelbaar. Kenmerkend voor chaotische processen is juist dat het vervolg geheel onvoorspelbaar is. Dus met chaostheorie heeft dit helemaal niets van doen.

Oplossing 5

Film de wandeling. Ik beweer:

Na 5 uur lopen bevindt de hond zich op plaats X (bedenk zelf maar iets) en loopt in richting Y (kies voor Y An of Jan).

Laat in die situatie de film teruglopen. Je zult dan zien dat Pluto, An en Jan op tijdstip 0 (5 uur terug in de tijd) in een punt zijn samengekomen.

Dus waar Pluto zich zal bevinden na 5 uur lopen is onbepaald.