Kansrekening

[Brinx]

Nee, want je gooit niet nog een keer, je hebt al twee keer gegooid (de twee kinderen bestaan al).

De vraag is: als ik twee keer een munt heb gegooid, en ik weet dat één keer daarvan kop was, wat is dan de kans dat de andere keer ook kop was?

De kans op 2 keer kop is 25%

De kans op kop en munt is 50%

Dus 1/3

Ook hier ben ik het niet met je uitkomst eens, Cassanne. Ik zeg dat er in dit geval 50% kans is dat de andere munt ook kop is. Ik benader het op de volgende manier:

Als je twee keer met een munt gooit (of een keer met twee munten), en je noemt het eerste resultaat A en het tweede resultaat B, dan krijg je de volgende verdeling van mogelijke uitkomsten:

Code: Selecteer alles

A B kans

--------

M M 25%

K M 25%

M K 25%

K K 25%

waarin M voor munt staat en K voor kop. Bekijk je de subset hiervan waarvoor geldt dat munt A op Kop uitkwam, zan zie je dat in de helft van die gevallen munt B ook op Kop uitkwam. Hetzelfde geldt andersom, wanneer je de rollen van A en B verwisselt. Dit probleem is dus inderdaad analoog aan het meisjes/jongens aanbelprobleem, en heeft dezelfde uitkomst.

Het antwoord waarop ik uitkwam klopt nog steeds wanneer je als gegeven beschouwt dat het eerste (opendoende) kind een meisje is, om Cassanne's vraag te beantwoorden.

Grappig dat zo'n eenduidige vraag toch voor zoveel verwarring kan zorgen, trouwens: dat is volgens mij vaak het geval wanneer het om kansrekening gaat.

[Jan van de Velde]

Cassanne, ik mis hier bijvoorbeeld een Rogier of een TD in deze discussie. Kun je niet beter dit hele jongens-meisjes-voordeurenverhaal afsplitsen en in wiskunde plaatsen?

Bij deze dus. Topic komt oorspronkelijk uit: http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=33780 -- Bart

[Bart]

[Als je twee keer met een munt gooit (of een keer met twee munten), en je noemt het eerste resultaat A en het tweede resultaat B, dan krijg je de volgende verdeling van mogelijke uitkomsten

En dat is het punt waar jij de fout in gaat. De munten (of in dit geval de kinderen) zijn niet te onderscheiden.

Zou de vraagstelling zijn dat in het huis twee kinderen zitten: rene en kees (dat zijn zowel jongens als meisjesnamen) en er wordt gegeven dat rene open doet en een meisje is, dat is de kans dat kees een jongen is 50%. Dit omdat je onderscheid kunt maken tussen je objecten met als gevolg dat het eerste proces (rene doet de deur open) geen invloed heeft op de tweede.

In het geval van de vraagstelling is er geen onderscheid te maken tussen de twee kinderen. j-m en m-j zijn daarom hetzelfde en daarmee is de kans op jm 2/3.

[Brinx]

Bart, ik ben het niet met je eens. Misschien zit ik helemaal fout, maar ik zie niet in hoe het feit dat je geen onderscheid maakt tussen de kinderen invloed heeft op de kans dat degene die de deur niet open doet een meisje is.

Zou de vraagstelling zijn dat in het huis twee kinderen zitten: rene en kees (dat zijn zowel jongens als meisjesnamen) en er wordt gegeven dat rene open doet en een meisje is, dat is de kans dat kees een jongen is 50%.

Welke namen je de kinderen geeft lijkt me niet uit maken uiteraard: als je in jouw voorbeeld de namen achterwege laat kom je op dezelfde situatie uit die ik eerder schetste, namelijk: een meisje doet open (gegeven), de kans dat de andere bewoner dan ook een meisje is is dan 50% - zoals je hierboven zelf ook zegt. Het getallenvoorbeeld dat ik eerder gaf stemt hier volledig mee overeen. De resultaten uit die post:

In 250.000 gevallen doet de jongen open, en is de tweede persoon een meisje;

In 250.000 gevallen doe het meisje open, en is de tweede persoon een jongen.

In 250.000 gevallen doet een jongen open en is de tweede persoon een jongen.

In 250.000 gevallen doet een meisje open en is de tweede persoon een meisje.

De dikgedrukte gevallen vormen samen de subset van gebeurtenissen waar de vraag betrekking op heeft: namelijk dat een meisje als eerste de deur open doet.

Wellicht sla ik echt compleet de plank mis hoor, en als iemand me duidelijk kan maken waarom geef ik het graag toe. Maar zou iemand dat dan kunnen doen aan de hand van dat getallenvoorbeeld dat ik eerder gaf? Want ik kan daar met de beste wil van de wereld de fout niet in ontdekken...

[Bart]

Maar nu doe je een steekproef en dat was de vraag niet.

Nog eens proberen:

Er is 1 enkel huis waarin twee kinderen aanwezig zijn. Deze twee kinderen kunnen dus twee meisjes zijn (kans 25%), twee jongens (kans 25%) of een jongen en meisje (kans 50%). Merk op dat ik niet de notatie jm, mm, mj, jj gebruik omdat ik op dat moment onderscheid aan het maken ben.

Op het moment dat de deur geopend wordt weet je dat een van de twee kinderen een meisje is. De combinaties die overblijven zijn een jongen en een meisje (kans voorheen 50%) of twee meisjes (kans voorheen 25%). De kans dat nu het andere kind een jongen is moet dus 2/3 zijn.

[Brinx]

Aha, ik zie nu waarom we zo hardnekkig op verschillende antwoorden uitkwamen. Bij de manier waarop jij de vraag benaderde ging je er vanuit dat bij een jongen en een meisje in een huis het meisje altijd degene is die open doet. Op die manier is de kans dat de andere bewoner een jongen is inderdaad 2/3, dat ben ik met je eens. Maar bij die benadering stel je dus impliciet dat wanneer er een jongen en een meisje bij elkaar wonen het meisje altijd naar de voordeur gestuurd wordt door haar broer(tje).

De steekproefmanier die ik hanteerde ging niet van die aanname uit, en daardoor kom ik op een andere kans uit. Toch vind ik niet dat de methode die ik hanteerde per se onjuist zou zijn. Het is gewoon een andere manier om een kans uit te rekenen - en in dit geval ging dat gepaard met een andere randvoorwaarde dan degene waarmee jij werkte.

[EvilBro]

m open = een meisje doet open.

mm = gezin heeft 2 meisjes.

jm = gezin heeft een jongen en een meisje.

P(x|y) = kans op x gegeven y.

P(x,y) = kans op x en y.

gevraagd: P(mm | m open)

P(mm | m open) = P(mm, m open)/P(m open) = P(m open|mm)*P(mm)/P(m open)

P(m open) = P(m open | mm)*P(mm) + P(m open | jm)*P(jm)

P(mm) = 0.25

P(jm) = 0.5

P(m open|mm) = 1

P(m open|jm) = 0.5

P(m open) = 1*0.25 + 0.5*0.5 = 0.5

P(mm| m open) = 1*0.25/0.5 = 0.5

[Brinx]

....en EvilBro's berekening gaat van dezelfde aanname uit als ik: bij een jongen en een meisje in een huis is de kans dat de jongen open doet even groot als de kans dat het meisje open doet. Het feit dat er een meisje open doet wanneer je aanbelt houdt niet automatisch in dat het meisje altijd open zou doen wanneer je met een jongen/meisje-huis te maken hebt. In die zin wil ik wel opmerken dat de aanname die ik hanteerde (jongen heeft net zoveel kans om open te doen als meisje, in zo'n huis) me logischer klinkt.

[Bart]

Aha, ik zie nu waarom we zo hardnekkig op verschillende antwoorden uitkwamen. Bij de manier waarop jij de vraag benaderde ging je er vanuit dat bij een jongen en een meisje in een huis het meisje altijd degene is die open doet.

Ja, want het meisje heeft zojuist namelijk al opengedaan.

[Cassanne]

In kansrekening gaat het er niet om wat logisch is Het gaat er om wat de exacte vraag is.

En die was niet: ALS een meisje open doet, wat is de kans op een zusje

maar: een meisje doet open, wat is de kans dat er twee meisjes zijn

Een jongen doet nooit de deur open in deze som Het is een aanname dat een meisje opendoet.

[Rogier]

die mag iemand mij eens voorrekenen, want volgens mij zijn de antwoorden allebei fout, nog afgezien van het feit dat de kans op de geboorte van een meisje net iets kleiner is dan die op de geboorte van een jongetje (zie ander topic hier op dit forum)

volgens mij is het juiste antwoord ca 33%.  

gooi kop of munt met vier muntjes

¼ kop-kop

¼ kop-munt

¼ munt-kop

¼ munt-munt

meisje is kop. IN het 4e huis kan geen meisje open doen. In huis 1 is er nog een meisje, in huizen twee en drie nog een jongetje.

De kans is toch echt 50%.

Je vergeet rekening te houden met het feit dat in de situatie "1 jongen en 1 meisje", die weliswaar twee keer zo vaak voorkomt als "2 meisjes", de kans maar half zo groot is dat er ook een meisje opendoet. Gegeven het feit dat er een meisje opendoet is het daarom half zo waarschijnlijk dat je in die eerste situatie zit.

Ik heb ooit nog een variant hiervan gepost:

Ook leuk zijn listige vragen over gezinnen twee kinderen:

• Je belt op naar een gezin, waarvan je weet dat ze 2 kinderen hebben. Er neemt een meisje op. Hoe groot is de kans dat beide kinderen meisjes zijn?
• Je belt op naar een gezin, en er neemt een meisje op. Als je vraagt hoeveel kinderen er in totaal wonen, zegt ze: twee. Hoe groot is de kans dat beide kinderen meisjes zijn?
• Je belt op naar een gezin, waarvan je weet dat ze 2 kinderen hebben waarvan minstens één dochter. Er neemt een meisje op. Hoe groot is de kans dat beide kinderen meisjes zijn?
• Je belt op naar een gezin, waarvan je weet dat ze 2 kinderen hebben. De vader neemt op, en als je vraagt of hij een dochter heeft zet hij: ja. Hoe groot is de kans ze beide kinderen meisjes zijn?

[Rogier]

En die was niet: ALS een meisje open doet, wat is de kans op een zusje

maar: een meisje doet open, wat is de kans dat er twee meisjes zijn

Dat is hetzelfde

Beide keren wordt er gevraagd naar de voorwaardelijke kans P[twee meisjes|een meisje doet open]

[Brinx]

Haha, ook hier is er nog steeds sprake van een verschil in interpretatie van de vraagstelling. Het lijkt me wel de moeite waard om hier nog even over door te discussieren. Cassanne, de twee vragen die volgens jou verschillend zijn:

En die was niet: ALS een meisje open doet, wat is de kans op een zusje

maar: een meisje doet open, wat is de kans dat er twee meisjes zijn

zijn volgens mij equivalent. Als je aanbelt bij een huis waarin twee kinderen wonen kunnen er verschillende dingen gebeuren (jongen doet open / meisje doet open), en de vraag had betrekking op een geval waarin een meisje open doet. Dat zie ik dus als een subset van het totale scala aan mogelijkheden, volgens mijn getallenvoorbeeld. Bij de interpretatie van Bart en Cassanne is er wel sprake van die (volgens mij scheve) aanname dat er bij een meisje/jongen combinatie altijd het meisje open doet.

Kortom, de vraag vermeldt niet de extra voorwaarde: 'bij een jongen en een meisje doet het meisje altijd open', maar plaatst je gewoon in de situatie waarin er open wordt gedaan door een meisje. En dat betekent dat je gewoon twee takken wegsnoeit in de boom van mogelijkheden die bij dat getallenvoorbeeld hoort (namelijk de takken waarin een jongen de deur opendeed), en kijkt wat de kansen op nog een meisje zijn wanneer er gegeven is dat een meisje de deur open doet.

Volgen jullie deze redenering? Volgens mij is die namelijk correct, en het lijkt me interessant om er nader op in te gaan waarom jullie hem niet correct vinden.

[edit]: Ah, Rogier was me voor. Rogier, ik maak op uit jouw opmerking dat jouw uitkomst dezelfde is als die waarop ik uitkom?

[Rogier]

Rogier, ik maak op uit jouw opmerking dat jouw uitkomst dezelfde is als die waarop ik uitkom?

Yep!

[Jan van de Velde]

Ik denk dat Cassanne en ik ons moeten neerleggen bij de wijze waarop dit soort zaken in de kansrrekening meestal wordt geïnterpreteerd. Maar ik blijf ongelukkig met deze zaak. Jullie zeggen dat in een jongetje-meisje huis de kans dat een meisje opendoet 50 % is. Cassanne en ik zeggen dat die kans er niet toe doet, omdat gegeven is dat er een meisje voor mijn neus staat, zodat de kans dat ik voor elk van de drie huizen met minstens een meisje sta al op voorhand 100 % is.

hier een soort balletje balletje:



De balletje-balletje man laat mij de bovenste rij zien.

dan dekt hij de zaak af als in het middelste plaatje.

dan gooit hij er een zakdoek over en verwijdert drie van de vier stenen, zodat er nog een over is. Die laat hij half afgedekt zien zoals in het derde plaatje.

Ik moet raden welk kleur ik NIET zie. Ik zou zeggen 1/3 blauw, 2/3 rood.