Integreerbaarheid

[PeterPan]

Als f(x) = x².sin(1/x²) op (0;1] en f(0) = 0,

dan is

\(f'(x) = 2x\sin(\frac{1}{x^2})-\frac{2\cos(\frac{1}{x^2})}{x}\)

De functie is niet continu in 0,

en niet Riemann-integreerbaar, omdat f' niet begrensd is

en niet Lebesgue-integreerbaar, omdat

\(\int_{0}^{1} |f'|\ d\lambda = \infty\)

[graph=0,1,-2,2]'pow(x,2)*sin(1/pow(x,2))','2*x*sin(1/pow(x,2))-2*cos(1/pow(x,2))/x'[/graph]

Niet continu in 1 punt is erg mager. Vraag: hoe discontinu kan f' zijn? (mij niet bekend).

Niet R-integreerbaar omdat f' niet begrensd is is ook nog al magertjes.

Vraag: Als we eisen dat f' begrensd is, hoe is dan de situatie?

Antwoord: f' hoeft niet continu te zijn en ook niet R-integreerbaar. Hoe het zit met L-integreerbaarheid is mij onbekend.

[eendavid]

edit: foutje, vraag verkeerd gelezen.

[TD]

Niet continu in 1 punt is erg mager. Vraag: hoe discontinu kan f' zijn? (mij niet bekend).

Hoe het zit met L-integreerbaarheid is mij onbekend.

Interessante vragen. Nergens continu kan in het eerste geval niet denk ik, maar "hoe discontinu"...?

[eendavid]

Ik vermoed niet dat het veel ophef zal veroorzaken, maar een eindig aantal discontinuë punten kan steeds. (tel verschuivingen op). Ik vraag me af of je zo tot een antwoord van een aftelbaar aantal discontinuïteiten kan komen, door bijvoorbeeld een factor 1/n² toe te voegen aan elke term(met n de nummer horende bij het rationale getal in ]0,1[)

[TD]

Ergens gelezen:

So how discontinuous can a derivative be? In 1881

Vito Volterra (1860 – 1940) described a function g

that is differentiable on ] 1 , 0 [ , but whose derivative

is discontinuous on an infinite set of points.* He

showed g is differentiable and bounded, but not

Riemann-integrable. In fact, it is discontinuous on a

set of positive measure, for Henri Lebesgue (1875 –

1941) showed that a function is integrable in

Riemann’s sense if and only if the set of

discontinuities has measure zero. (For example, the

rationals have measure zero.) So this shows the

qualifications that come with the Fundamental

Theorem of Calculus are necessary since a

derivative need not be Riemann-integrable.

*Volterra’s function can be found in Lebesgue’s

Theory of Integration by Thomas Hawkins, AMS

Chelsea Publishing, 2001, p. 57.

[PeterPan]

Ik neem aan dat de quote zo begint:

So how discontinuous can a derivative be? In 1881

Vito Volterra (1860 – 1940) described a function g

that is differentiable on [0,1], but whose derivative

is discontinuous on an infinite set of points.* He

showed g' has an antiderivative and is bounded, but not

Riemann-integrable.

Nu is er sinds 1881 vast wel meer onderzoek hiernaar gedaan, maar om dat uit te zoeken is waarschijnlijk literatuuronderzoek nodig. Het voorbeeld van Volterra laat in ieder geval de mogelijkheid open op een differentieerbare functie, waarvan de afgeleide begrensd is en nergens continu.