Snelheid berekenen bij niet-constante acceleratie

[bbusterr]

Dus toch met energie werken...

Om de één of andere reden had ik het idee dat dat misschien niet zou werken (weet echt niet waarom ik dat dacht).

Het ziet er wel uit alsof het zou kunnen werken.

Dan krijg je dus de snelheid bij een bepaalde afstand. Dat is al handig, natuurlijk.

Misschien is het hiermee makkelijker de snelheid te bepalen bij een tijdstip of tijdsinterval.

Ik weet zelf nog niet helemaal hoe hiermee te beginnen, maar ik zal wat proberen

[EvilBro]

De wet behoud impuls mag men hier niet toepassen omdat er bij het begin externe krachten nodig zijn om de deeltjes in rust te houden.

Wat een onzin. Dit is werkelijk waar het slechtse excuus dat je tot nu toe bedacht hebt om je ongelijk niet onder ogen te komen. Er is geen enkel bezwaar om slechts te kijken vanaf het moment dat jouw externe krachten stoppen te bestaan. Vanaf dat moment zijn er geen externe krachten meer en zou impulsbehoud dus moeten gelden (volgens jouw eigen redenatie). Dat doet ie niet. Je formule is fout,

Dat ie fout is, is niet zo vreemd. Je gebruikt een formule die geldt voor het brengen van een testdeeltje (met verwaarloosbare invloed) vanuit oneindig naar een bepaald punt in een onveranderlijk krachtveld. Het krachtveld is alleen niet onveranderlijk. Daarom gaat je hele redenatie de mist in.

Hieronder heb ik voor je even een simulatie geschreven. Hier kun je Octave gratis downloaden om het te runnen. Zo kun je een beetje experimenteren. Je zult zien dat als je de massa van een van de deeltjes veel kleiner maakt dan de andere je formule voor het andere deeltje redelijk klopt. Je hebt dan immers van het andere deeltje een testdeeltje gemaakt.

Enkele resultaten van deze simulatie:

Kotje 586 keer bekeken

rood = kotje: zwart = werkelijk, op de x-as staat de afstand tussen de deeltjes, de y-as is de snelheid van de deeltjes.

De linker figuren zijn de figuren die de totale impuls van het systeem weergeven. De rechter geven de absolute snelheden van de beide deeltjes. Bij de bovenste figuren hebben de deeltjes dezelfde massa. Bij de onderste is een deeltje tien keer zwaarder dan de ander.

Zoals je kan zien is de totale impuls bij de zwarte lijnen de hele tijd 0. Dit geldt niet voor de rode lijnen. Dit zou wel moeten gelden want ten alle tijden is de kracht op het ene deeltje gelijk aan de kracht op het andere deeltje (op teken na).

\(F_1 = F \mbox{ en } F_2 = -F\)

Voor de versnelling geldt dus:

\(a_1 = \frac{F}{m_1} \mbox{ en } a_2 = -\frac{F}{m_2}\)

naar snelheid:

\(v_1 = \frac{1}{m_1} \int F dt \mbox{ en } v_2 = -\frac{1}{m_2} \int F dt\)

naar impuls:

\(p_1 = m_1 \cdot \frac{1}{m_1} \int F dt \mbox{ en } p_2 = -m_2 \cdot \frac{1}{m_2} \int F dt\)

naar totale impuls:

\(p_1 + p_2 = \int F dt - \int F dt = 0\)

Je kan aan de simulatie ook mooi zien dat je jouw formule best als benadering voor de snelheid kan gebruiken als de massa van de een maar een stuk groter is dan de ander.

Source code:

Code: Selecteer alles

clear all;

close all;

N = 1000;

dt = 0.001;

G = 1;

m1 = 1;

m2 = 1;

A = [1 dt (0.5*(dt^2)); 0 1 dt; 0 0 1];

AA = [A zeros(3); zeros(3) A];

x = [0 0 0 2 0 0]';

dx = x(4)-x(1);

F = G*m1*m2/(dx^2);

x(3) = sign(dx)*F/m1;

x(6) = -sign(dx)*F/m2;

for i = 1:1:N,

  x = AA*x;

dx = x(4)-x(1);

F = G*m1*m2/(dx^2);

x(3) = sign(dx)*F/m1;

x(6) = -sign(dx)*F/m2;

r(i) = dx;

v1real(i) = x(2);

  v2real(i) = x(5);

v1kotje(i) = sqrt(2*G*m2*((1./r(i)) - (1/2)));

v2kotje(i) = -sqrt(2*G*m1*((1./r(i)) - (1/2)));

  if dx < 0.1,

break;

end

end

plot(r,abs(v1real),'k');

hold on;

plot(r,abs(v2real),'k');

plot(r,abs(v1kotje),'r');

plot(r,abs(v2kotje),'r');

figure;

plot(r, (m1.*v1real + m2.*v2real),'k');

hold on;

plot(r, (m1.*v1kotje + m2.*v2kotje), 'r');

[kotje]

EvilBro schreef:

Wat een onzin. Dit is werkelijk waar het slechtse excuus dat je tot nu toe bedacht hebt om je ongelijk niet onder ogen te komen. Er is geen enkel bezwaar om slechts te kijken vanaf het moment dat jouw externe krachten stoppen te bestaan. Vanaf dat moment zijn er geen externe krachten meer en zou impulsbehoud dus moeten gelden (volgens jouw eigen redenatie). Dat doet ie niet. Je formule is fout,

Eerst beweren dat alles wat ik zeg onzin is en daarna zelf beweren dat de zaak ongeveer kan kloppen vind ik zelf onzin vertellen.

Trouwens dat voor een conservatieve kracht geldt dat de toename van kinetische energie gelijk is aan de vermindering van de potentiële energie is een zeer goede formule, die naar ik meen hier van toepassing is. (het gaat hier wel over toename of vermindering).

Ik heb vroeger in verschillende talen geprogrammeerd(basic,turbo pascal, assembly). Ik heb echter voorlopig geen goesting om dit terug op te rakelen, zij een nieuwe te leren. Dus je code ontcijferen op juistheid zou mij teveel tijd vragen en ik heb geen tijd en voorlopig geen goesting.

Ik zou ook wel eens jouw oplossing van het probleem willen zien en dan niet gesimuleerd. Ik ben al blij dat jouw simulatie mij gelijk geeft voor bepaalde verhoudingen van de massa's.

Als ge jouw taalgebruik aanpast kan ik wel respect opbrengen voor jouw post.

Ge kunt trouwens evengoed zeggen dat jouw simulatie een benadering is van mijn oplossing.( ik heb even de code bekeken voor zover ik de zaak nog begrijp)

[EvilBro]

Eerst beweren dat alles wat ik zeg onzin is en daarna zelf beweren dat de zaak ongeveer kan kloppen vind ik zelf onzin vertellen.

Nee, je moet beter lezen. Ik zeg niet dat de zaak ongeveer kan kloppen. Ik zal heel duidelijk zijn: De formule die jij geeft is geen oplossing voor het hier gevraagde. Dit kan ook niet het geval zijn vanwege het impuls argument. Jouw oplossing geeft alleen een zinvolle BENADERING op het moment dat een van de deeltjes veel zwaarder is dan de ander (en dan alleen voor de snelheid van het lichte deeltje). Dit komt, zoals ik al gezegd heb, omdat de situatie dan de situatie benadert waarvan je de formule hebt gejat (deeltje in een vast krachtenveld vanuit oneindig naar een bepaalde positie brengen).

Trouwens dat voor een conservatieve kracht geldt dat de toename van kinetische energie gelijk is aan de vermindering van de potentiële energie is een zeer goede formule, die naar ik meen hier van toepassing is.

Je bent jezelf weer eens volledig aan het misleiden. Kijk naar het stukje in mijn vorige post waarin ik in 5 eenvoudige stappen aantoon waarom je resultaat niet kan kloppen. Schets anders eens voor de gein het krachtenveld dat de twee deeltjes veroorzaken in twee situaties. Je zult zien dat het niet hetzelfde is en dat je je formule niet mag toepassen.

Ik zou ook wel eens jouw oplossing van het probleem willen zien en dan niet gesimuleerd.

We knopen een stelsel aan een deeltje. De versnelling van dit deeltje t.o.v. de vaste x-as (dus niet van dit stelsel maar van het stelsel waar oorspronkelijk in gemeten werd) komt nu bij het andere deeltje, dus:

\(a(t) = \frac{d^2 r}{dt^2} = -G \frac{m_1+m_2}{r^2}\)

We krijgen dan dus de differentiaalvergelijking:

\(r^2 \cdot \frac{d^2 r}{dt^2} = -G \cdot (m_1+m_2)\)

Deze kan ik niet oplossen (en ik krijg Maxima ook niet zover dat die het kan). Het voordeel van deze formule is natuurlijk wel dat het makkelijk te controleren is of een eventuele simulatie een goed antwoord geeft omdat de rechterkant constant is. Ik gok erop dat je niet wilt weten wiens resultaten inderdaad aan deze voorwaarde voldoet...

Ik ben al blij dat jouw simulatie mij gelijk geeft voor bepaalde verhoudingen van de massa's.

Je formule geeft is geen enkel geval de juiste situatie weer (of impuls klopt niet, of snelheid klopt niet). Dit is wat ook volgt uit de simulatie. Zoals uitgelegd in een vorige post is er een aspect van wat jij gezegd hebt te gebruiken als benadering. Dit zien als 'gelijk hebben' is op zijn minst wonderlijk aangezien het totaal niet je bedoeling was om een benadering te doen en het overeenkomen van jouw antwoorden met de werkelijke antwoorden (op een punt dan ook nog eens!) een toevalstreffer was (anders had je van te voren wel gemeld dat het een benadering was en welke voorwaarden moesten gelden voor de benadering).

Als ge jouw taalgebruik aanpast kan ik wel respect opbrengen voor jouw post.

Je zou eens meer moeten nadenken over de daadwerkelijke inhoud i.p.v. te focussen op taalgebruik. Daarnaast geeft mijn taalgebruik prima weer wat ik ervaar: je beweert weer eens iets willekeurigs, blijkt ongelijk te hebben en gaat dan lopen hannissen over van alles en nog wat omdat je je ongelijk niet wilt (kunt?) erkennen.

Ge kunt trouwens evengoed zeggen dat jouw simulatie een benadering is van mijn oplossing.

Dat zou je kunnen zeggen, maar dat zou niet kloppen. De simulatie geeft namelijk een consistente oplossing voor alle situaties. Jouw 'oplossing' doet dat in geen enkele situatie.

[kotje]

Als men met zijn emoties redeneert is het niet meer nodig de discussie verder te zetten. Wat gij doet is beweringen doen en trachten aan te tonen dat ge er meer van weet dan ik. Ik meen hier al genoeg te hebben bewezen dat ik problemen kan oplossen. Ik heb zo een vermoeden dat het jouw bedoeling is de mensen op een nogal grove manier te wijzen op een eventuele fout. Ik zal er mij er niet mee bezig houden de vele topics aan te duiden waar ge na een grove fout op een stille manier de aftocht blaast. Er zijn vele topics aan te geven waar ik mijn ongelijk toegeef, trouwens ik ben blij dat ik fouten maak dan heb ik weer iets geleerd. Ik geef toe dat ik met die impuls in mijn maag zit, maar van mijn formule ben ik zeker.

[EvilBro]

Als men met zijn emoties redeneert is het niet meer nodig de discussie verder te zetten.

Maar ik redeneer niet met mijn emoties. Ik redeneer met argumenten. De emoties die je denkt waar te nemen zijn geen onderdeel van de argumenten, slechts een gevolg van het constant geconfronteerd worden met jouw beperkingen en onwilligheid deze te erkennen.

Ik zal er mij er niet mee bezig houden de vele topics aan te duiden waar ge na een grove fout op een stille manier de aftocht blaast.

Zonde... want zo doe je een ongefundeerde uitspraak en slechts een poging tot 'character assassination'. Drogreden! Daarbij ben ik WEL geinteresseerd in mijn grove fouten: bring them on!

Ik geef toe dat ik met die impuls in mijn maag zit, maar van mijn formule ben ik zeker.

Het eerste deel van de bovenstaande zin is niet logisch te verenigen met het tweede gedeelte. Je formule is fout in deze situatie (zie eerdere argumenten). Het is mij allang duidelijk dat je dit van mij niet kan aannemen en dat je kennelijk hiervoor de argumenten niet snapt. Hopelijk komt er nog iemand anders die je op een andere wijze kan uitleggen dat je onzin uitkraamt.

[kotje]

EvilBro schreef:

Maar ik redeneer niet met mijn emoties. Ik redeneer met argumenten. De emoties die je denkt waar te nemen zijn geen onderdeel van de argumenten, slechts een gevolg van het constant geconfronteerd worden met jouw beperkingen en onwilligheid deze te erkennen.

Dat noem ik nu eens onzin verkopen.

[EvilBro]

Dat noem ik nu eens onzin verkopen.

Valt het jou ook op dat je niet inhoudelijk op de zaak in wilt gaan?

[kotje]

EvilBro schreef:

Valt het jou ook op dat je niet inhoudelijk op de zaak in wilt gaan?

We zitten in een impasse. Ik weet niet waar ik eventueel fout ben. Gij steunt mijn fout op het niet opgaan van wet behoud impuls(op eerste zicht toch). Toch is mijn methode eenvoudig en begrijpelijk en steunt op de wet behoud energie. Gij smijt met voor de meeste van ons hier met onbegrijpelijke dingen om mij(ons) te overdonderen. Daarnaast geeft ge de indruk een schoolmeester te zijn, die alles weet; m.a.w gij wilt ons herleiden tot eenvoudige ja-knikkers. Ik zeg je ge kunt fouten maken en zijt beperkt zoals iedereen.

[EvilBro]

Toch is mijn methode eenvoudig en begrijpelijk en steunt op de wet behoud energie.

Daar hebben we het al over gehad. Hij steunt verkeerd. De wet van behoud van energie geldt natuurlijk, maar omdat het krachtveld verandert is de potentiaal van een punt afhankelijk van de tijd.

[kotje]

Ja. Leg mij even uit in welk soort energie wordt het verlies van potentiële energie omgezet als het deeltje beweegt.

[EvilBro]

Leg mij even uit in welk soort energie wordt het verlies van potentiële energie omgezet als het deeltje beweegt.

Wat begrijp je niet aan het volgende?

De wet van behoud van energie geldt natuurlijk

Natuurlijk wordt potentiele energie omgezet in kinetische energie. Het punt is niet dat de wet van behoud van energie niet geldt (zoals ik al eerder zei). Het punt is dat je je potentiele energie verschil niet correct berekent en daardoor dus ook niet je kinetische energie verschil. Je gebruikt formules die helemaal niet algemeen gelden. Dit schijn ik je niet duidelijk te kunnen maken. Misschien dat wiki dat wel kan:

In order to derive the following formula, the reference point where PE = 0 is set at an infinite distance away from the source of the gravitational field provided by mass m2. Thus, unlike the PE = mgh approximation formula, this formula assumes a preset reference point that cannot be arbitrarily defined. In order for the equation to be valid, m2 must remain practically stationary so that its gravitational field does not change over time.

The gravitational potential energy of a mass m1 at a distance R from another mass m2 is

\(PE = -G \frac{m_1 m_2}{R}\)

[eendavid]

Kotje, het gaat hier over twee puntmassa's die elkaar aantrekken langs de verbindingslijn. Ze zullen dus in een rechte lijn naar elkaar toe versnellen. Dit alles gebeurt in één dimensie, dus poolcoordinaten zijn niet nodig.

De situatie is niet hetzelfde als een planeet-zon-systeem, waarvoor de wetten van Kepler gelden.

Misschien is de situatie hier allang voorbij gehold, maar ik zie het probleem niet echt. Dat is gewoon een gravitationaal 2-deeltjesprobleem, en is dus analytisch oplosbaar (je krijgt dan inderdaad gewoon de wetten van Kepler). De banen zijn te berekenen gegeven de beginvoorwaarden, en ook de tijd langs deze baan kan je berekenen. De snelheid berekenen moet dan ook prima lukken, bijvoorbeeld met de perkenwet. Echter, ik ga dat niet in detail uitwerken als ik, zoals Phys suggereert, de vraagstelling verkeerd heb begrepen.

edit: ik zie in de oorspronkelijke vraagstelling nergens dat het initiele impulsmoment 0 is. Maar ook in dat geval is er geen probleem.

[kotje]

EvilBro schreef:

Natuurlijk wordt potentiele energie omgezet in kinetische energie. Het punt is niet dat de wet van behoud van energie niet geldt (zoals ik al eerder zei). Het punt is dat je je potentiele energie verschil niet correct berekent en daardoor dus ook niet je kinetische energie verschil. Je gebruikt formules die helemaal niet algemeen gelden. Dit schijn ik je niet duidelijk te kunnen maken. Misschien dat wiki dat wel kan:

Ik gebruik juist de formules die wiki zegt. Als de deeltjes elkaar naderen(volgens een rechte) dan verliest een deeltje potentiële energie, die omgezet wordt in een even grote hoeveelheid kinetische energie van dit deeltje(het deeltje is in rust vertrokken) anders krijgen we moeilijkheden met wet behoud mechanische energie. Ge zult mij natuurlijk terug verwensen en dom vinden maar ik zie geen reden om mijn berekening te veranderen.

Gij schrijft dat ik de zaak niet correct bereken. Kunt ge dit misschien verbeteren?

Natuurlijk worden de deeltjes versneld en zenden ze in principe gravitatiegolven uit (A.R.T). Maar ik meen dat dit te verwaarlozen is en mogen we ons gewoon beperken tot Newton.

[eendavid]

Elimineer

\( (x_2-x_1)^2 \)

je krijgt nu de laplacevgl. hier kan je de oplossing van berekenen.

Eerlijk gezegd denk ik dat je met eliminatie van x_1-x_2 enkel tot een vergelijking voor het massamiddelpunt komt (let namelijk op het minteken).

Ik heb trouwens nog wat gerekend. Als de beweging 1-dimensionaal is, zoals Phys suggereert, dan kom je met behoud van energie eenvoudig op de snelheid uit:

\(\dot{x}=\sqrt{G\mu}\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}\)

met

\(x_0\)

de beginwaarde voor een in rust zijnde

\(x_0\)

(uiteraard in de gebieden waar

\(x\)

en

\(x_0\)

groter zijn dan 0). x staat hierbij voor

\(x_2-x_1\)

edit: en de resulterende integraal is ook niet al te moeilijk zo te zien. Maple lust daar alleszins wel pap van: t(x) kan hij, inverteren naar x(t) vind hij vrij moeilijk.